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1. 如图是由四个全等的直角三角形拼成的一个大正方形，则图中阴影部分的面积为 （
A.$a^2 - b^2$
B.$2ab$
C.$a^2 + b^2$
D.$4ab$
C
）A.$a^2 - b^2$
B.$2ab$
C.$a^2 + b^2$
D.$4ab$
答案
1. C
2. 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a$，$b$，$c$分别是$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边长.若$b+c=32$，$a=8$，则$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积是（
A.60
B.48
C.36
D.24
A
）A.60
B.48
C.36
D.24
答案
2. A
3. 已知在$△ ABC$中，$AB=13$，$AC=20$，边$BC$上的高为12，则$△ ABC$的面积为（
A.120或56
B.126
C.126或66
D.56
C
）A.120或56
B.126
C.126或66
D.56
答案
3. C
4. (2025·江苏盐城一模)如图,在长方形纸片ABCD中,AD=4 cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点O.若OA=5 cm,则AB的长为
8
cm.答案
4. 8
5.（教材P91习题4变式）关于勾股定理的证明有一种简洁方法叫作“常春证法”，将两个全等的$△ ABC$和$△ DEF$按如图所示的方式摆放，且$∠ ACB=∠ DFE=90°$，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，点$F$落在$AC$上，点$C$与点$E$重合，斜边$AB$与斜边$DE$相交于点$M$，连接$AD$，$BD$.
(1) $∠ AMC=\_\_\_\_\_\_°$，四边形$ACBD$的面积为________（用含$a,b$的代数式表示）；
(2) 请利用“常春图”证明勾股定理.
(1) $∠ AMC=\_\_\_\_\_\_°$，四边形$ACBD$的面积为________（用含$a,b$的代数式表示）；
(2) 请利用“常春图”证明勾股定理.
答案
5. (1) 90 $\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2$
解析: 由题意,得$△ ABC≌△ DEF$,且 $BC=a, AC=b, AB=c$, 则 $∠ BAC=∠ EDF,EF=BC=a,DF=AC=b,DE=AB=c.$
因为$∠ DFE=90°$,所以$∠ EDF+∠ DEF=90°.$ 所以$∠ BAC+∠ DEF=90°.$ 所以$∠ AMC=180°-(∠ BAC+∠ DEF)=90°,$即 $AB⊥ CD.$ 又$∠ ACB=90°,$所以$∠ ACB+∠ DFE=180°,$即 $DF// BC.$ 所以 $S_{\mathrm{四边形}ACBD}=S_{△ BCD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}BC· EF+\frac{1}{2}AC· DF=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2.$
(2) 由(1),得 $AB⊥ CD,S_{\mathrm{四边形}ACBD}=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2$,$DE=AB=c.$ 因为 $S_{\mathrm{四边形}ACBD}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}DE· AM+\frac{1}{2}DE· BM=\frac{1}{2}DE· (AM+BM)=\frac{1}{2}DE· AB=\frac{1}{2}c^2,$所以$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2,$即 $a^2+b^2=c^2.$
解析: 由题意,得$△ ABC≌△ DEF$,且 $BC=a, AC=b, AB=c$, 则 $∠ BAC=∠ EDF,EF=BC=a,DF=AC=b,DE=AB=c.$
因为$∠ DFE=90°$,所以$∠ EDF+∠ DEF=90°.$ 所以$∠ BAC+∠ DEF=90°.$ 所以$∠ AMC=180°-(∠ BAC+∠ DEF)=90°,$即 $AB⊥ CD.$ 又$∠ ACB=90°,$所以$∠ ACB+∠ DFE=180°,$即 $DF// BC.$ 所以 $S_{\mathrm{四边形}ACBD}=S_{△ BCD}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}BC· EF+\frac{1}{2}AC· DF=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2.$
(2) 由(1),得 $AB⊥ CD,S_{\mathrm{四边形}ACBD}=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2$,$DE=AB=c.$ 因为 $S_{\mathrm{四边形}ACBD}=S_{△ ACD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}DE· AM+\frac{1}{2}DE· BM=\frac{1}{2}DE· (AM+BM)=\frac{1}{2}DE· AB=\frac{1}{2}c^2,$所以$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2,$即 $a^2+b^2=c^2.$
6. 新趋势 传统文化 “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的. 如图是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、四边形BEFG和四边形AHIG均为正方形. 若$S_{正方形AHIG}=20$，$AD=2$，则$△ GFI$的面积为（
A.2
B.3
C.4
D.$2\sqrt{5}$
C
）A.2
B.3
C.4
D.$2\sqrt{5}$
答案
6. C 解析: 因为 $S_{\mathrm{正方形}AHIG}=20,$ 所以 $AG^2=GI^2=20.$ 因为四边形 $ABCD$ 是正方形,$AD=2,$所以 $AB=AD=2,∠ ABC=90°.$ 所以 $BG=\sqrt{AG^2-AB^2}=4.$ 因为四边形 $BEFG$ 是正方形,所以$∠ F=90°,FG=BG=4.$ 所以 $IF=\sqrt{GI^2-FG^2}=2.$ 所以 $S_{△ GFI}=\frac{1}{2}IF· FG=4.$
7.（2026·江苏镇江期末）如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形.若直角三角形的较长直角边长为$a$，较短直角边长为$b$，大正方形的面积为$S_1$，小正方形的面积为$S_2$，则$(a+b)^2$可以表示为（
A.$S_1 - S_2$
B.$S_1 + S_2$
C.$2S_1 - S_2$
D.$S_1 + 2S_2$
C
）A.$S_1 - S_2$
B.$S_1 + S_2$
C.$2S_1 - S_2$
D.$S_1 + 2S_2$
答案
7. C 解析:由题意,得 $S_1=a^2+b^2$,每个直角三角形的面积为 $\frac{S_1-S_2}{4}=\frac{1}{2}ab$,所以 $2ab=S_1-S_2.$ 因为$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,所以$(a+b)^2=S_1+S_1-S_2=2S_1-S_2.$
8. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形MNKT、正方形EFGH和正方形ABCD的面积分别为$ S_1, S_2, S_3 $。若已知图中阴影部分的面积，且不分别求$ S_1, S_2, S_3 $的值，则下列能求出的值为（
A.$ S_1 + 2S_3 $
B.$ S_3 - \frac{1}{2}S_1 $
C.$ S_1 + S_2 + S_3 $
D.$ S_1 + S_3 - 2S_2 $
D
）A.$ S_1 + 2S_3 $
B.$ S_3 - \frac{1}{2}S_1 $
C.$ S_1 + S_2 + S_3 $
D.$ S_1 + S_3 - 2S_2 $
答案
8. D 解析:设阴影部分的面积为 $a$,每个直角三角形的面积为 $x$,则 $S_2-S_1=4x,S_3-S_2=a+4x,S_3-S_1=a+8x.$ 所以 $S_2=S_1+4x,S_3=S_1+a+8x.$ 对于 A,$S_1+2S_3=S_1+2(S_1+a+8x)=3S_1+2a+16x.$ 因为 $S_1,x$ 未知,所以 $S_1+2S_3$ 不能求出. 故选项 A 不符合题意; 对于 B,$S_3-\frac{1}{2}S_1=S_1+a+8x-\frac{1}{2}S_1=\frac{1}{2}S_1+a+8x.$ 同理,得 $S_3-\frac{1}{2}S_1$ 不能求出. 故选项 B 不符合题意; 对于 C,$S_1+S_2+S_3=S_1+S_1+4x+S_1+a+8x=3S_1+a+12x.$ 同理,得 $S_1+S_2+S_3$ 不能求出. 故选项 C 不符合题意; 对于 D,$S_1+S_3-2S_2=S_1+S_1+a+8x-2(S_1+4x)=a.$ 因为 $a$ 已知,所以 $S_1+S_3-2S_2$ 能求出. 故选项 D 符合题意.
