6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$CE$平分$∠ ACB$，$ED$垂直平分$BC$，$CE=5$，$ED=2$，则$AB$的长度为（）

A.5
B.7
C.10
D.12

B

∵CE平分∠ACB，∠A=90°即EA⊥AC，ED⊥BC，根据角平分线的性质，得AE=ED=2。
∵ED垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质，得BE=CE=5。
又∵点E在AB上，∴AB=BE+AE=5+2=7。

7. 如图，$∠ MON=50°$，$P$为$∠ MON$内一点，$OM$上有点$A$，$ON$上有点$B$，当$△ PAB$的周长取最小值时，$∠ APB$的度数为（）

A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$100°$

C

作点P关于OM的对称点$P_1$，作点P关于ON的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，此时$P_1P_2$与OM、ON的交点即为使$△ PAB$周长最小的点A、B，此时$△ PAB$的周长等于$P_1P_2$的长度，为最小值。
由对称性质可得：$OP_1=OP=OP_2$，$∠ P_1OA=∠ POA$，$∠ P_2OB=∠ POB$，$PA=P_1A$，$PB=P_2B$。
因此$∠ P_1OP_2=2∠ MON=2×50°=100°$，在$△ OP_1P_2$中，$∠ P_1+∠ P_2=180°-100°=80°$。
又因为$PA=P_1A$，$PB=P_2B$，所以$∠ P_1=∠ P_1PA$，$∠ P_2=∠ P_2PB$，可得$∠ P_1PA+∠ P_2PB=∠ P_1+∠ P_2=80°$。
最终$∠ APB=180°-(∠ P_1+∠ P_2)=180°-100°=80°$。

8. 如图，在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$，$BC$的垂直平分线交$BD$于点$E$，连接$CE$。若$∠ A=60°$，$∠ ACE=24°$，则$∠ ABE$的度数为 （）

A.$24°$
B.$30°$
C.$32°$
D.$48°$

C

1. 由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠CBE。
2. 因为点E在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质，得EB=EC，因此∠CBE=∠BCE。
3. 由此推出∠ABE=∠CBE=∠BCE，设∠ABE=x，则∠ABC=2x，∠ACB=x+24°。
4. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，代入∠A=60°得：60°+2x+x+24°=180°，解得3x=96°，x=32°，即∠ABE=32°。

9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CE 垂直平分线段 AD 于点 E,且 CD 平分∠BCE,AC=8 cm,则 AB=。

$\boldsymbol{16\ \mathrm{cm}}$

解：
∵ CE垂直平分线段AD，
∴ AC = CD，CE⊥AD，
∴ ∠ACE = ∠DCE。
∵ CD平分∠BCE，
∴ ∠DCE = ∠BCD。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠ACE + ∠DCE + ∠BCD = 90°，
∴ 3∠ACE = 90°，即∠ACE = ∠DCE = ∠BCD = 30°，
∴ ∠A = 90° - ∠ACE = 60°，
在Rt△ABC中，∠B = 90° - ∠A = 30°，
∴ AB = 2AC。
∵ AC = 8 cm，
∴ AB = 16 cm。
最终

10. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8，对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连接DP。若∠ADB=∠C，则DP长度的最小值为。

$\boldsymbol{8}$

解：
根据垂线段最短，当DP⊥BC时，DP的长度取得最小值。
∵ BD⊥CD，∠A=90°，
∴ ∠A = ∠BDC = 90°，
又∵ ∠ADB = ∠C，
∴ ∠ABD = 180° - ∠A - ∠ADB = 180° - ∠BDC - ∠C = ∠DBC，
即BD平分∠ABC。
∵ DA⊥AB，DP⊥BC，
由角平分线的性质可得：DP = AD，
∵ AD = 8，
∴ DP长度的最小值为8。
最终

11. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与$AC$所在直线相交所得的锐角为$40°$，则底角$∠ B$的度数为________。

解：设AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，则∠ADE=90°，由题意得∠AED=40°。
分两种情况讨论：
① 当交点E在边AC上时：
在Rt△ADE中，∠A = 90° - ∠AED = 90° - 40° = 50°，
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠C = $\frac{180° - ∠A}{2}$ = $\frac{180° - 50°}{2}$ = 65°。
② 当交点E在CA的延长线上时：
在Rt△ADE中，∠DAE = 90° - ∠AED = 90° - 40° = 50°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠DAE = 180° - 50° = 130°，
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠C = $\frac{180° - ∠BAC}{2}$ = $\frac{180° - 130°}{2}$ = 25°。
综上，底角∠B的度数为65°或25°。

12. 如图，在$△ ABC$中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别是M，N。
(1)若$BC=10$，求$△ ADE$的周长；
(2)若$∠ BAC=100°$，求$∠ DAE$的度数。

解：
(1) ∵ DM是AB的垂直平分线，
∴ AD = BD。
∵ EN是AC的垂直平分线，
∴ AE = CE。
∴ △ADE的周长 = AD + DE + AE = BD + DE + CE = BC。
∵ BC = 10，
∴ △ADE的周长为10。
(2) ∵ AD = BD，
∴ ∠B = ∠BAD。
∵ AE = CE，
∴ ∠C = ∠CAE。
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，
∵ ∠BAC = 100°，
∴ ∠B + ∠C = 180° - 100° = 80°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = ∠B + ∠C = 80°，
∴ ∠DAE = ∠BAC - (∠BAD + ∠CAE) = 100° - 80° = 20°。