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1. 如图，$△ ABC$与$△ BDE$都是等腰三角形，$BA=BC$，$BD=BE$，$∠ BAC=∠ BDE$，连接$AD$，$CE$。求证：$∠ BAD=∠ BCE$。
答案
1. 证明:
∵ BA=BC, BD=BE,
∴ ∠BAC=∠BCA, ∠BDE=∠BED.
∴ ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 2∠BAC, ∠DBE = 180° - ∠BDE - ∠BED = 180° - 2∠BDE.
∵ ∠BAC = ∠BDE,
∴∠ABC=∠DBE.
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即∠ABD=∠CBE. 在△ABD和△CBE中，$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CBE（SAS）.
∴∠BAD=∠BCE.
∵ BA=BC, BD=BE,
∴ ∠BAC=∠BCA, ∠BDE=∠BED.
∴ ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 2∠BAC, ∠DBE = 180° - ∠BDE - ∠BED = 180° - 2∠BDE.
∵ ∠BAC = ∠BDE,
∴∠ABC=∠DBE.
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD,即∠ABD=∠CBE. 在△ABD和△CBE中，$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
∴ △ABD ≌ △CBE（SAS）.
∴∠BAD=∠BCE.
解析
【分析】
要证明∠BAD=∠BCE，可通过证明两角所在的三角形全等实现。观察图形可知∠BAD属于△ABD，∠BCE属于△CBE，因此优先证明△ABD≌△CBE：首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知∠BAC=∠BDE，可推出两个等腰三角形的顶角∠ABC=∠DBE；再通过角的和差关系得到两三角形的一组夹角∠ABD=∠CBE，结合题目给出的BA=BC、BD=BE两组等边，即可用SAS判定△ABD和△CBE全等，最后由全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明:
∵ BA=BC，BD=BE，
∴ ∠BAC=∠BCA，∠BDE=∠BED。
∴ $∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ BCA = 180° - 2∠ BAC$，$∠ DBE = 180° - ∠ BDE - ∠ BED = 180° - 2∠ BDE$。
∵ ∠BAC = ∠BDE，
∴ ∠ABC=∠DBE。
∴ $∠ ABC+∠ CBD=∠ DBE+∠ CBD$，即$∠ ABD=∠ CBE$。
在△ABD和△CBE中：
$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ CBE$（SAS）。
∴ ∠BAD=∠BCE。
【答案】
∠BAD=∠BCE
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形SAS判定、全等三角形性质
【点评】
本题是共顶点等腰三角形的“手拉手”经典模型，解题的突破口是利用等腰三角形的角的关系推导得到全等所需的夹角相等，掌握这类模型的推导逻辑可以快速解决同类几何证明问题。
【难度系数】
0.8
要证明∠BAD=∠BCE，可通过证明两角所在的三角形全等实现。观察图形可知∠BAD属于△ABD，∠BCE属于△CBE，因此优先证明△ABD≌△CBE：首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知∠BAC=∠BDE，可推出两个等腰三角形的顶角∠ABC=∠DBE；再通过角的和差关系得到两三角形的一组夹角∠ABD=∠CBE，结合题目给出的BA=BC、BD=BE两组等边，即可用SAS判定△ABD和△CBE全等，最后由全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明:
∵ BA=BC，BD=BE，
∴ ∠BAC=∠BCA，∠BDE=∠BED。
∴ $∠ ABC = 180° - ∠ BAC - ∠ BCA = 180° - 2∠ BAC$，$∠ DBE = 180° - ∠ BDE - ∠ BED = 180° - 2∠ BDE$。
∵ ∠BAC = ∠BDE，
∴ ∠ABC=∠DBE。
∴ $∠ ABC+∠ CBD=∠ DBE+∠ CBD$，即$∠ ABD=∠ CBE$。
在△ABD和△CBE中：
$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ CBE$（SAS）。
∴ ∠BAD=∠BCE。
【答案】
∠BAD=∠BCE
【知识点】
等腰三角形性质、全等三角形SAS判定、全等三角形性质
【点评】
本题是共顶点等腰三角形的“手拉手”经典模型，解题的突破口是利用等腰三角形的角的关系推导得到全等所需的夹角相等，掌握这类模型的推导逻辑可以快速解决同类几何证明问题。
【难度系数】
0.8
2.如图，$△ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形，点B在ED的延长线上.
(1)求证：$△ ABD≌△ ACE$；
(2)若$AE=2$，$CE=3$，求$BE$的长.
(1)求证：$△ ABD≌△ ACE$；
(2)若$AE=2$，$CE=3$，求$BE$的长.
答案
2. (1)证明:
∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，
∴AB=AC, AD = AE, ∠BAC = ∠DAE = 60°.
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中，$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS). (2)解:由(1)知△ABD≌△ACE,
∴BD=CE=3.
∵△ADE 是等边三角形，
∴DE=AE=2.
∴BE=BD+DE=5.
∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，
∴AB=AC, AD = AE, ∠BAC = ∠DAE = 60°.
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 在△ABD 和△ACE 中，$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE(SAS). (2)解:由(1)知△ABD≌△ACE,
∴BD=CE=3.
∵△ADE 是等边三角形，
∴DE=AE=2.
∴BE=BD+DE=5.
解析
【分析】
(1)要证明△ABD≌△ACE，首先结合已知的两个等边三角形，根据等边三角形性质可得到两组对应边相等，接下来只需证明两组边的夹角相等即可：两个等边三角形的顶角均为60°，同时减去公共角∠DAC，就能得到相等的夹角，满足SAS的全等判定条件，即可完成证明。
(2)求BE的长度时，首先观察线段BE的组成：点B在ED延长线上，因此BE=BD+DE。借助第一问的全等结论，可得对应边BD=CE，再结合等边三角形ADE的边长与AE相等，将两段线段长度相加即可得到BE的长。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
(2)解：由(1)中全等结论可得BD=CE=3，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE=2，
又
∵点B在ED的延长线上，
∴BE=BD+DE=3+2=5。
【答案】
(1)△ABD≌△ACE得证；(2)BE的长为5
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是共顶点等边三角形“手拉手”模型的基础题型，解题核心是利用等边三角形的边、角性质推导全等所需的条件，再通过全等的性质转化线段长度求解，熟练掌握全等判定和等边三角形性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABD≌△ACE，首先结合已知的两个等边三角形，根据等边三角形性质可得到两组对应边相等，接下来只需证明两组边的夹角相等即可：两个等边三角形的顶角均为60°，同时减去公共角∠DAC，就能得到相等的夹角，满足SAS的全等判定条件，即可完成证明。
(2)求BE的长度时，首先观察线段BE的组成：点B在ED延长线上，因此BE=BD+DE。借助第一问的全等结论，可得对应边BD=CE，再结合等边三角形ADE的边长与AE相等，将两段线段长度相加即可得到BE的长。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
(2)解：由(1)中全等结论可得BD=CE=3，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE=2，
又
∵点B在ED的延长线上，
∴BE=BD+DE=3+2=5。
【答案】
(1)△ABD≌△ACE得证；(2)BE的长为5
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是共顶点等边三角形“手拉手”模型的基础题型，解题核心是利用等边三角形的边、角性质推导全等所需的条件，再通过全等的性质转化线段长度求解，熟练掌握全等判定和等边三角形性质即可轻松解题。
【难度系数】
0.7
