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10.如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为(-1,1)，AB平行于x轴，则点C的坐标为（
A.(3,1)
B.(-1,1)
C.(3,5)
D.(-1,5)
C
）A.(3,1)
B.(-1,1)
C.(3,5)
D.(-1,5)
答案
10.C
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先，由AB平行于x轴的性质可知A、B两点纵坐标相等，结合AB的长度和点A的坐标，可先求出点B的坐标；再根据正方形邻边垂直且长度相等的性质，BC边垂直于AB（即BC平行于y轴），即可由点B的坐标推导出点C的坐标。
【解析】
解：
∵AB平行于x轴，点A的坐标为(-1,1)，
∴点B的纵坐标与点A相同，为1。
∵正方形ABCD的边长为4，即AB=4，
∴点B的横坐标为-1+4=3，即点B的坐标为(3,1)。
又
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，BC=4，即BC平行于y轴，
∴点C的横坐标与点B相同，为3，纵坐标为1+4=5，
∴点C的坐标为(3,5)。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征、正方形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特点：平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，结合正方形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：首先，由AB平行于x轴的性质可知A、B两点纵坐标相等，结合AB的长度和点A的坐标，可先求出点B的坐标；再根据正方形邻边垂直且长度相等的性质，BC边垂直于AB（即BC平行于y轴），即可由点B的坐标推导出点C的坐标。
【解析】
解：
∵AB平行于x轴，点A的坐标为(-1,1)，
∴点B的纵坐标与点A相同，为1。
∵正方形ABCD的边长为4，即AB=4，
∴点B的横坐标为-1+4=3，即点B的坐标为(3,1)。
又
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，BC=4，即BC平行于y轴，
∴点C的横坐标与点B相同，为3，纵坐标为1+4=5，
∴点C的坐标为(3,5)。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征、正方形的性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特点：平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，结合正方形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.[2026·安庆期中改编]已知在平面直角坐标系内，点M，N的坐标分别为$(3a-2,a+5),(4,-6)$，且直线$MN// y$轴，则线段MN的长为（
A.1
B.11
C.13
D.39
C
）A.1
B.11
C.13
D.39
答案
11.C
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先回忆平行于y轴的直线上点的坐标特征：平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，据此可以列出关于a的方程，求出a的值；其次，横坐标相同的两点，线段长度等于两点纵坐标差的绝对值，代入数值计算即可得到MN的长度。
【解析】
∵ 直线$MN// y$轴，
∴ 点M和点N的横坐标相等，即$3a-2=4$，
解得：$a=2$。
将$a=2$代入点M的纵坐标$a+5$，得$2+5=7$，
∴ 点M的坐标为$(4,7)$。
∵ 点M、N横坐标均为4，线段MN的长为两点纵坐标差的绝对值，
∴ $MN=|7 - (-6)|=|13|=13$。
【答案】
C
【知识点】
平行于y轴的点的坐标特征；平面直角坐标系线段长度计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标与直线位置的关系，解题关键是牢记平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，注意计算线段长度时要取纵坐标差的绝对值，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：首先回忆平行于y轴的直线上点的坐标特征：平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，据此可以列出关于a的方程，求出a的值；其次，横坐标相同的两点，线段长度等于两点纵坐标差的绝对值，代入数值计算即可得到MN的长度。
【解析】
∵ 直线$MN// y$轴，
∴ 点M和点N的横坐标相等，即$3a-2=4$，
解得：$a=2$。
将$a=2$代入点M的纵坐标$a+5$，得$2+5=7$，
∴ 点M的坐标为$(4,7)$。
∵ 点M、N横坐标均为4，线段MN的长为两点纵坐标差的绝对值，
∴ $MN=|7 - (-6)|=|13|=13$。
【答案】
C
【知识点】
平行于y轴的点的坐标特征；平面直角坐标系线段长度计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标与直线位置的关系，解题关键是牢记平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，注意计算线段长度时要取纵坐标差的绝对值，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
12. 在平面直角坐标系中，已知点$A(-3,2)$，$B(3,4)$，过点$A$作直线$l// x$轴，$C$是直线$l$上的一个动点，当线段$BC$的长度最小时，点$C$的坐标是
(3,2)
。答案
12.$(3,2)$
解析
【分析】
解题时先明确直线l的坐标特征：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，因此点C的纵坐标和点A的纵坐标相同，都是2。再根据“垂线段最短”的性质，当BC垂直于直线l时，线段BC的长度最小；此时BC平行于y轴，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，因此点C的横坐标和点B的横坐标相同，即可求出C点坐标。
【解析】
∵ 直线$l//x$轴，且过点$A(-3,2)$，
∴ 直线$l$上所有点的纵坐标均为2，可设点$C$的坐标为$(x,2)$。
根据垂线段最短可知：当$BC⊥ l$时，线段$BC$的长度最小。
∵ $l//x$轴，$BC⊥ l$，
∴ $BC//y$轴，
∴ 点$C$的横坐标与点$B(3,4)$的横坐标相同，即$x=3$，
∴ 此时点$C$的坐标为$(3,2)$。
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
1. 平行于坐标轴的点的坐标特征
2. 垂线段最短
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合平行于坐标轴的直线的坐标特征，利用垂线段最短确定动点C的位置，是平面直角坐标系中求最短路径的典型题型。
【难度系数】
0.8
解题时先明确直线l的坐标特征：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，因此点C的纵坐标和点A的纵坐标相同，都是2。再根据“垂线段最短”的性质，当BC垂直于直线l时，线段BC的长度最小；此时BC平行于y轴，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，因此点C的横坐标和点B的横坐标相同，即可求出C点坐标。
【解析】
∵ 直线$l//x$轴，且过点$A(-3,2)$，
∴ 直线$l$上所有点的纵坐标均为2，可设点$C$的坐标为$(x,2)$。
根据垂线段最短可知：当$BC⊥ l$时，线段$BC$的长度最小。
∵ $l//x$轴，$BC⊥ l$，
∴ $BC//y$轴，
∴ 点$C$的横坐标与点$B(3,4)$的横坐标相同，即$x=3$，
∴ 此时点$C$的坐标为$(3,2)$。
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
1. 平行于坐标轴的点的坐标特征
2. 垂线段最短
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合平行于坐标轴的直线的坐标特征，利用垂线段最短确定动点C的位置，是平面直角坐标系中求最短路径的典型题型。
【难度系数】
0.8
13.已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,1),B(5,1),C(6,3),D(2,5).
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出四边形ABCD；
(2)求四边形ABCD的面积.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出四边形ABCD；
(2)求四边形ABCD的面积.
答案
13.解:(1)如图,四边形ABCD即为所求.
(2)四边形ABCD的面积为$4×6-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×1×2=15$.
解析
【分析】
(1) 画四边形的思路：根据平面直角坐标系中点的坐标的定义，横坐标对应x轴上的数值，纵坐标对应y轴上的数值，分别找到A、B、C、D四个点的位置，再按顺序顺次连接四个点即可得到所求四边形。
(2) 求面积的思路：四边形ABCD是不规则图形，没有直接适用的面积公式，因此采用常用的割补法（补形法）求解：将四边形补成一个包含它的最小矩形，用矩形的面积减去矩形内、四边形外的三个直角三角形的面积，即可得到四边形的面积，这种方法可以将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差计算，降低解题难度。
【解析】
(1) 描点：根据各点坐标，A(0,1)在y轴上y=1的位置，B(5,1)在x=5、y=1的交点处，C(6,3)在x=6、y=3的交点处，D(2,5)在x=2、y=5的交点处，描出四个点后，按A→B→C→D→A的顺序顺次连接，得到四边形ABCD。
(2) 计算面积：
① 构造包含四边形ABCD的矩形：矩形的左边界为x=0，右边界为x=6，下边界为y=1，上边界为y=5，因此矩形的长为6，宽为$5-1=4$，矩形面积$=6×4=24$。
② 计算矩形内多余的三个直角三角形的面积：
左侧直角三角形：两条直角边长度分别为2、4，面积$=\frac{1}{2}×2×4=4$；
右上侧直角三角形：两条直角边长度分别为4、2，面积$=\frac{1}{2}×4×2=4$；
右下侧直角三角形：两条直角边长度分别为1、2，面积$=\frac{1}{2}×1×2=1$。
③ 四边形ABCD的面积=矩形面积 - 三个三角形面积之和$=24 - 4 - 4 - 1=15$。
【答案】
(1)如图,四边形ABCD即为所求.
(2)15
【知识点】
坐标描点方法，割补法求面积，坐标与图形性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用和不规则图形的面积计算，核心是掌握割补法将不规则图形转化为规则图形面积和差的解题思路，解题时要结合坐标准确确定各线段长度，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 画四边形的思路：根据平面直角坐标系中点的坐标的定义，横坐标对应x轴上的数值，纵坐标对应y轴上的数值，分别找到A、B、C、D四个点的位置，再按顺序顺次连接四个点即可得到所求四边形。
(2) 求面积的思路：四边形ABCD是不规则图形，没有直接适用的面积公式，因此采用常用的割补法（补形法）求解：将四边形补成一个包含它的最小矩形，用矩形的面积减去矩形内、四边形外的三个直角三角形的面积，即可得到四边形的面积，这种方法可以将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差计算，降低解题难度。
【解析】
(1) 描点：根据各点坐标，A(0,1)在y轴上y=1的位置，B(5,1)在x=5、y=1的交点处，C(6,3)在x=6、y=3的交点处，D(2,5)在x=2、y=5的交点处，描出四个点后，按A→B→C→D→A的顺序顺次连接，得到四边形ABCD。
(2) 计算面积：
① 构造包含四边形ABCD的矩形：矩形的左边界为x=0，右边界为x=6，下边界为y=1，上边界为y=5，因此矩形的长为6，宽为$5-1=4$，矩形面积$=6×4=24$。
② 计算矩形内多余的三个直角三角形的面积：
左侧直角三角形：两条直角边长度分别为2、4，面积$=\frac{1}{2}×2×4=4$；
右上侧直角三角形：两条直角边长度分别为4、2，面积$=\frac{1}{2}×4×2=4$；
右下侧直角三角形：两条直角边长度分别为1、2，面积$=\frac{1}{2}×1×2=1$。
③ 四边形ABCD的面积=矩形面积 - 三个三角形面积之和$=24 - 4 - 4 - 1=15$。
【答案】
(1)如图,四边形ABCD即为所求.
(2)15
【知识点】
坐标描点方法，割补法求面积，坐标与图形性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用和不规则图形的面积计算，核心是掌握割补法将不规则图形转化为规则图形面积和差的解题思路，解题时要结合坐标准确确定各线段长度，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
14.在平面直角坐标系中,已知点$A(-a,4-2a)$,$B(2,a+3)$,$C(2,a-5)(a＞0)$.若三角形$ABC$的面积为16,求点$C$的坐标.
答案
14.解:因为点$B(2,a+3),C(2,a-5)$,
所以$BC// y$轴,且$BC=(a+3)-(a-5)=8$.
因为三角形$ABC$的面积为16,且$a＞0$,
所以$\frac{1}{2}(a+2)×8=16$,解得$a=2$.
所以点$C$的坐标为$(2,-3)$.
所以$BC// y$轴,且$BC=(a+3)-(a-5)=8$.
因为三角形$ABC$的面积为16,且$a＞0$,
所以$\frac{1}{2}(a+2)×8=16$,解得$a=2$.
所以点$C$的坐标为$(2,-3)$.
解析
【分析】
解题时先观察点B、C的坐标特征，二者横坐标相同，说明线段BC平行于y轴，可直接通过纵坐标差计算BC的长度；再确定三角形ABC以BC为底时的高：因为BC在直线x=2上，点A到BC的水平距离就是BC所在直线的横坐标与点A横坐标的差，即2-(-a)=a+2；最后结合三角形面积公式列方程求解a的值，代入点C的坐标表达式即可得到结果。
【解析】
解：
∵点B(2,a+3)，C(2,a-5)横坐标相等，
∴BC//y轴，BC的长度为$(a+3)-(a-5)=8$。
∵直线BC的解析式为x=2，点A的横坐标为$-a$，且$a＞0$，
∴点A到直线BC的水平距离（即△ABC中BC边上的高）为$2-(-a)=a+2$。
已知△ABC的面积为16，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$\frac{1}{2}×8×(a+2)=16$
化简得$4(a+2)=16$，解得$a=2$。
将$a=2$代入点C的坐标$(2,a-5)$，得$a-5=2-5=-3$。
【答案】
$(2,-3)$
【知识点】
1. 平行于坐标轴的点的坐标特征
2. 三角形面积公式
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何计算结合的基础题型，解题的突破口是先根据B、C两点坐标的共性快速求出底边长，再利用水平距离求三角形的高，通过建立方程求解未知参数，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
解题时先观察点B、C的坐标特征，二者横坐标相同，说明线段BC平行于y轴，可直接通过纵坐标差计算BC的长度；再确定三角形ABC以BC为底时的高：因为BC在直线x=2上，点A到BC的水平距离就是BC所在直线的横坐标与点A横坐标的差，即2-(-a)=a+2；最后结合三角形面积公式列方程求解a的值，代入点C的坐标表达式即可得到结果。
【解析】
解：
∵点B(2,a+3)，C(2,a-5)横坐标相等，
∴BC//y轴，BC的长度为$(a+3)-(a-5)=8$。
∵直线BC的解析式为x=2，点A的横坐标为$-a$，且$a＞0$，
∴点A到直线BC的水平距离（即△ABC中BC边上的高）为$2-(-a)=a+2$。
已知△ABC的面积为16，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$\frac{1}{2}×8×(a+2)=16$
化简得$4(a+2)=16$，解得$a=2$。
将$a=2$代入点C的坐标$(2,a-5)$，得$a-5=2-5=-3$。
【答案】
$(2,-3)$
【知识点】
1. 平行于坐标轴的点的坐标特征
2. 三角形面积公式
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何计算结合的基础题型，解题的突破口是先根据B、C两点坐标的共性快速求出底边长，再利用水平距离求三角形的高，通过建立方程求解未知参数，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
15.已知三角形 ABC 的三个顶点的坐标分别为$A(0,1),B(2,0),C(4,3).$
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出三角形 ABC;
(2)求三角形 ABC 的面积;
(3)若点 P 在 x 轴上,且三角形 ABP 与三角形 ABC 的面积相等,求点 P 的坐标.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,画出三角形 ABC;
(2)求三角形 ABC 的面积;
(3)若点 P 在 x 轴上,且三角形 ABP 与三角形 ABC 的面积相等,求点 P 的坐标.
答案
15.解:(1)三角形ABC如图所示.
(2)$S_{三角形ABC}=4×3-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×2×4=4$.
(3)设点$P$的坐标为$(m,0)$.
因为$S_{三角形ABP}=S_{三角形ABC}$,
所以$\frac{1}{2}BP· OA=4$,即$\frac{1}{2}×|2-m|×1=4$.
所以$m=-6$或$m=10$.
所以点$P$的坐标为$(-6,0)$或$(10,0)$.
解析
【分析】
(1) 画三角形ABC的思路：根据三个顶点的坐标，先在平面直角坐标系中分别定位A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)三个点，再依次连接三个点即可完成作图。
(2) 求斜三角形面积的思路：由于△ABC没有边平行于坐标轴，适合用割补法计算。先构造一个包含△ABC、边分别平行于坐标轴的矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
(3) 求P点坐标的思路：点P在x轴上，因此△ABP的高就是点A到x轴的距离（即OA=1），底为BP的长度。设P的坐标为(m,0)，则BP的长度可表示为|2-m|，结合两个三角形面积相等的条件列方程，求解绝对值方程即可得到P的坐标，注意绝对值方程对应两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) 在坐标系中分别描出A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)三个点，顺次连接A、B、C，得到的三角形即为所求。
(2) 计算△ABC的面积：
包含△ABC的矩形（顶点为(0,0)、(4,0)、(4,3)、(0,3)）面积为$4×3=12$，
矩形内△ABC周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×2×1=1$、$\frac{1}{2}×2×3=3$、$\frac{1}{2}×2×4=4$，
因此$S_{三角形ABC}=12-1-3-4=4$。
(3) 设点P的坐标为$(m,0)$，
△ABP中，BP边上的高为点A到x轴的距离，即长度为1，BP的长度为$|2-m|$，
由$S_{三角形ABP}=S_{三角形ABC}=4$，可得：
$\frac{1}{2}×|2-m|×1=4$，
化简得$|2-m|=8$，
解得$m=-6$或$m=10$。
【答案】
(1)
(2) 三角形ABC的面积为4；
(3) 点P的坐标为$(-6,0)$或$(10,0)$。
【知识点】
平面直角坐标系描点，割补法求面积，坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，考查了作图、不规则图形面积计算、利用面积关系求点坐标三类问题，解题时需注意第三问中P点位置有两种可能，要结合绝对值的性质求解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 画三角形ABC的思路：根据三个顶点的坐标，先在平面直角坐标系中分别定位A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)三个点，再依次连接三个点即可完成作图。
(2) 求斜三角形面积的思路：由于△ABC没有边平行于坐标轴，适合用割补法计算。先构造一个包含△ABC、边分别平行于坐标轴的矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
(3) 求P点坐标的思路：点P在x轴上，因此△ABP的高就是点A到x轴的距离（即OA=1），底为BP的长度。设P的坐标为(m,0)，则BP的长度可表示为|2-m|，结合两个三角形面积相等的条件列方程，求解绝对值方程即可得到P的坐标，注意绝对值方程对应两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) 在坐标系中分别描出A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)三个点，顺次连接A、B、C，得到的三角形即为所求。
(2) 计算△ABC的面积：
包含△ABC的矩形（顶点为(0,0)、(4,0)、(4,3)、(0,3)）面积为$4×3=12$，
矩形内△ABC周围三个直角三角形的面积分别为：$\frac{1}{2}×2×1=1$、$\frac{1}{2}×2×3=3$、$\frac{1}{2}×2×4=4$，
因此$S_{三角形ABC}=12-1-3-4=4$。
(3) 设点P的坐标为$(m,0)$，
△ABP中，BP边上的高为点A到x轴的距离，即长度为1，BP的长度为$|2-m|$，
由$S_{三角形ABP}=S_{三角形ABC}=4$，可得：
$\frac{1}{2}×|2-m|×1=4$，
化简得$|2-m|=8$，
解得$m=-6$或$m=10$。
【答案】
(1)
(2) 三角形ABC的面积为4；
(3) 点P的坐标为$(-6,0)$或$(10,0)$。
【知识点】
平面直角坐标系描点，割补法求面积，坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，考查了作图、不规则图形面积计算、利用面积关系求点坐标三类问题，解题时需注意第三问中P点位置有两种可能，要结合绝对值的性质求解，避免漏解。
【难度系数】
0.7
