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一、对因式分解的概念模糊而出错
1.下列从左到右的变形为因式分解的是 （
A.$m^2 - m +1 = m(m -1 + \frac{1}{m})$
B.$a^2(a -1) = a^3 - a^2$
C.$x^2 - (y -1)^2 = (x + y -1)(x - y -1)$
D.$a^2 -2a +1 = (a -1)^2$
1.下列从左到右的变形为因式分解的是 （
D
）A.$m^2 - m +1 = m(m -1 + \frac{1}{m})$
B.$a^2(a -1) = a^3 - a^2$
C.$x^2 - (y -1)^2 = (x + y -1)(x - y -1)$
D.$a^2 -2a +1 = (a -1)^2$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个变形是不是因式分解，首先要牢记因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式。判断时要紧扣三个要点：①等式左边必须是多项式；②等式右边必须是几个整式的乘积形式；③变形前后恒等。我们可以按照这三个标准逐一排查每个选项。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的变形，叫做因式分解。
选项A：右边的式子中含有$\frac{1}{m}$，属于分式，不是整式，不符合因式分解的要求，故A错误；
选项B：该变形是把整式的乘积化为多项式，属于整式乘法，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故B错误；
选项C：根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，$x^2-(y-1)^2=[x+(y-1)][x-(y-1)]=(x+y-1)(x-y+1)$，选项给出的右边第二个括号符号错误，变形不恒等，故C错误；
选项D：左边是多项式$a^2-2a+1$，右边是两个整式$(a-1)$的乘积形式，且变形恒等，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，容易出错的点有三个：一是忽略因式分解结果必须是整式的要求，二是混淆因式分解和整式乘法的方向，三是套用乘法公式时符号出错，掌握定义的核心要点就能准确判断。
【难度系数】
0.8
要判断一个变形是不是因式分解，首先要牢记因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式。判断时要紧扣三个要点：①等式左边必须是多项式；②等式右边必须是几个整式的乘积形式；③变形前后恒等。我们可以按照这三个标准逐一排查每个选项。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的变形，叫做因式分解。
选项A：右边的式子中含有$\frac{1}{m}$，属于分式，不是整式，不符合因式分解的要求，故A错误；
选项B：该变形是把整式的乘积化为多项式，属于整式乘法，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故B错误；
选项C：根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，$x^2-(y-1)^2=[x+(y-1)][x-(y-1)]=(x+y-1)(x-y+1)$，选项给出的右边第二个括号符号错误，变形不恒等，故C错误；
选项D：左边是多项式$a^2-2a+1$，右边是两个整式$(a-1)$的乘积形式，且变形恒等，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，容易出错的点有三个：一是忽略因式分解结果必须是整式的要求，二是混淆因式分解和整式乘法的方向，三是套用乘法公式时符号出错，掌握定义的核心要点就能准确判断。
【难度系数】
0.8
二、用提公因式法分解因式易丢项、弄错符号而出错
2.分解因式：$-49ab^2y -14a^2bx +7ab.$
2.分解因式：$-49ab^2y -14a^2bx +7ab.$
答案
2.原式$=-7ab(7by+2ax-1)$
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，由于原式首项系数为负，通常将负号一起提出来，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，组合得到公因式；第二步提取公因式，将原式每一项都除以公因式得到括号内的多项式，注意不要漏除最后一项的常数项，还要注意各项符号的变化；最后可通过整式乘法反向验证结果是否正确。
【解析】
首先确定公因式：
1. 系数部分：49、14、7的最大公约数是7，原式首项系数为负，因此系数公因式取-7；
2. 字母部分：各项均含有字母a、b，且a、b的最低次数均为1，因此字母部分公因式为ab；
综上，公因式为$-7ab$。
接下来提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=-7ab·7by + (-7ab)·2ax + (-7ab)·(-1)\\&=-7ab(7by+2ax-1)\end{aligned}$
【答案】
$-7ab(7by+2ax-1)$
【知识点】
提公因式法、公因式确定、符号处理
【点评】
本题属于因式分解的基础易错题，易错点有两个：一是提取公因式时容易漏掉最后一项除以公因式得到的常数项1，二是提取带负号的公因式时，括号内各项的符号容易出错，完成分解后可通过单项式乘多项式的运算反向检验结果，避免上述错误。
【难度系数】
0.7
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，由于原式首项系数为负，通常将负号一起提出来，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，组合得到公因式；第二步提取公因式，将原式每一项都除以公因式得到括号内的多项式，注意不要漏除最后一项的常数项，还要注意各项符号的变化；最后可通过整式乘法反向验证结果是否正确。
【解析】
首先确定公因式：
1. 系数部分：49、14、7的最大公约数是7，原式首项系数为负，因此系数公因式取-7；
2. 字母部分：各项均含有字母a、b，且a、b的最低次数均为1，因此字母部分公因式为ab；
综上，公因式为$-7ab$。
接下来提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=-7ab·7by + (-7ab)·2ax + (-7ab)·(-1)\\&=-7ab(7by+2ax-1)\end{aligned}$
【答案】
$-7ab(7by+2ax-1)$
【知识点】
提公因式法、公因式确定、符号处理
【点评】
本题属于因式分解的基础易错题，易错点有两个：一是提取公因式时容易漏掉最后一项除以公因式得到的常数项1，二是提取带负号的公因式时，括号内各项的符号容易出错，完成分解后可通过单项式乘多项式的运算反向检验结果，避免上述错误。
【难度系数】
0.7
三、用公式法分解因式易丢系数、弄错符号而出错
3.下列各式中:①$x^2 + y^2$;②$x^2 - y^2$;③$-x^2 + y^2$;④$-x^2 - y^2$;⑤$1 - \frac{1}{4}a^2b^4$.能用平方差公式分解因式的有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
3.下列各式中:①$x^2 + y^2$;②$x^2 - y^2$;③$-x^2 + y^2$;④$-x^2 - y^2$;⑤$1 - \frac{1}{4}a^2b^4$.能用平方差公式分解因式的有 (
B
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
3.B
解析
【分析】
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先明确平方差公式的结构特征：能用平方差公式分解的多项式必须是二项式，两项均能写成某个整式的平方形式，且两项符号相反（即形如$a^2 - b^2$）。接下来我们按照这个特征逐一验证每个式子即可得出答案。
【解析】
平方差公式分解因式的适用条件：多项式为二项式，两项符号相反，且每一项都可表示为某个整式的平方，即形如$a^2 - b^2$，可分解为$(a+b)(a-b)$。
逐一判断：
①$x^2 + y^2$：两项均为正，符号相同，不符合平方差结构，不能分解；
②$x^2 - y^2$：符合$a^2-b^2$的结构，可分解为$(x+y)(x-y)$，符合要求；
③$-x^2 + y^2$：变形为$y^2 - x^2$，符合平方差结构，可分解为$(y+x)(y-x)$，符合要求；
④$-x^2 - y^2$：变形为$-(x^2+y^2)$，两项符号相同，不符合要求，不能分解；
⑤$1 - \frac{1}{4}a^2b^4$：$1=1^2$，$\frac{1}{4}a^2b^4=(\frac{1}{2}ab^2)^2$，符合平方差结构，可分解为$(1+\frac{1}{2}ab^2)(1-\frac{1}{2}ab^2)$，符合要求。
综上，②③⑤共3个式子可用平方差公式分解因式，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解，幂的运算
【点评】
本题重点考查平方差公式分解因式的适用条件，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，判断时注意先调整多项式的符号顺序，再验证两项是否都为平方项，避免因忽略符号、无法识别隐性平方项出错。
【难度系数】
0.7
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先明确平方差公式的结构特征：能用平方差公式分解的多项式必须是二项式，两项均能写成某个整式的平方形式，且两项符号相反（即形如$a^2 - b^2$）。接下来我们按照这个特征逐一验证每个式子即可得出答案。
【解析】
平方差公式分解因式的适用条件：多项式为二项式，两项符号相反，且每一项都可表示为某个整式的平方，即形如$a^2 - b^2$，可分解为$(a+b)(a-b)$。
逐一判断：
①$x^2 + y^2$：两项均为正，符号相同，不符合平方差结构，不能分解；
②$x^2 - y^2$：符合$a^2-b^2$的结构，可分解为$(x+y)(x-y)$，符合要求；
③$-x^2 + y^2$：变形为$y^2 - x^2$，符合平方差结构，可分解为$(y+x)(y-x)$，符合要求；
④$-x^2 - y^2$：变形为$-(x^2+y^2)$，两项符号相同，不符合要求，不能分解；
⑤$1 - \frac{1}{4}a^2b^4$：$1=1^2$，$\frac{1}{4}a^2b^4=(\frac{1}{2}ab^2)^2$，符合平方差结构，可分解为$(1+\frac{1}{2}ab^2)(1-\frac{1}{2}ab^2)$，符合要求。
综上，②③⑤共3个式子可用平方差公式分解因式，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解，幂的运算
【点评】
本题重点考查平方差公式分解因式的适用条件，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，判断时注意先调整多项式的符号顺序，再验证两项是否都为平方项，避免因忽略符号、无法识别隐性平方项出错。
【难度系数】
0.7
4.分解因式：
(1)$25 -10(a-b)+(a-b)^2$；
(2)$(3m-2n)^2-(2m-n)^2$。
(1)$25 -10(a-b)+(a-b)^2$；
(2)$(3m-2n)^2-(2m-n)^2$。
答案
4.(1)原式$=(5-a+b)^2$
(2)原式$=[(3m-2n)+(2m-n)][(3m-2n)-(2m-n)]=(5m-3n)(m-n)$
(2)原式$=[(3m-2n)+(2m-n)][(3m-2n)-(2m-n)]=(5m-3n)(m-n)$
解析
【分析】
第(1)题：先观察式子结构，25是5的平方，$(a-b)^2$是平方项，中间项$-10(a-b)$恰好是$-2×5×(a-b)$，符合完全平方公式的结构特征，把5和$(a-b)$分别看作公式中的两个项，套用公式后去括号化简即可。
第(2)题：式子是两个整式的平方相减的形式，符合平方差公式的结构特征，把$(3m-2n)$和$(2m-n)$分别看作公式中的两个项，套用公式后合并同类项，保证分解彻底即可。
【解析】
(1) 原式变形为完全平方公式结构：
$=5^2 - 2×5×(a-b) + (a-b)^2$
根据完全平方公式$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，代入$x=5$、$y=a-b$得：
$=[5-(a-b)]^2$
去括号化简得：
$=(5-a+b)^2$
(2) 原式符合平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$的结构，代入$x=3m-2n$、$y=2m-n$得：
$=[(3m-2n)+(2m-n)][(3m-2n)-(2m-n)]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个括号合并同类项得$3m-2n+2m-n=5m-3n$，
第二个括号合并同类项得$3m-2n-2m+n=m-n$，
因此结果为$(5m-3n)(m-n)$。
【答案】
(1)$(5-a+b)^2$；(2)$(5m-3n)(m-n)$
【知识点】
1. 完全平方公式分解因式
2. 平方差公式分解因式
3. 合并同类项
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对因式分解公式结构的识别能力，解题时需先判断式子对应的公式特征，再准确套用，注意去括号时的符号变化，最终要保证分解结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
第(1)题：先观察式子结构，25是5的平方，$(a-b)^2$是平方项，中间项$-10(a-b)$恰好是$-2×5×(a-b)$，符合完全平方公式的结构特征，把5和$(a-b)$分别看作公式中的两个项，套用公式后去括号化简即可。
第(2)题：式子是两个整式的平方相减的形式，符合平方差公式的结构特征，把$(3m-2n)$和$(2m-n)$分别看作公式中的两个项，套用公式后合并同类项，保证分解彻底即可。
【解析】
(1) 原式变形为完全平方公式结构：
$=5^2 - 2×5×(a-b) + (a-b)^2$
根据完全平方公式$x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$，代入$x=5$、$y=a-b$得：
$=[5-(a-b)]^2$
去括号化简得：
$=(5-a+b)^2$
(2) 原式符合平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$的结构，代入$x=3m-2n$、$y=2m-n$得：
$=[(3m-2n)+(2m-n)][(3m-2n)-(2m-n)]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个括号合并同类项得$3m-2n+2m-n=5m-3n$，
第二个括号合并同类项得$3m-2n-2m+n=m-n$，
因此结果为$(5m-3n)(m-n)$。
【答案】
(1)$(5-a+b)^2$；(2)$(5m-3n)(m-n)$
【知识点】
1. 完全平方公式分解因式
2. 平方差公式分解因式
3. 合并同类项
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对因式分解公式结构的识别能力，解题时需先判断式子对应的公式特征，再准确套用，注意去括号时的符号变化，最终要保证分解结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
四、没有分解彻底而出错
5.(2024·碑林区月考)分解因式:$m^4 -8m^2 +16=$
5.(2024·碑林区月考)分解因式:$m^4 -8m^2 +16=$
$(m+2)^2(m-2)^2$
.答案
5.$(m+2)^2(m-2)^2$
解析
【分析】
首先观察待分解的多项式，$m^4$可看作$(m^2)^2$，16是$4^2$，中间项$-8m^2$恰好是$2× m^2×4$的相反数，符合完全平方公式的结构特征，可先用完全平方公式分解。分解得到$(m^2-4)^2$后，注意$m^2-4$仍符合平方差公式的结构，还能继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
第一步：利用完全平方公式分解
$m^4 -8m^2 +16=(m^2)^2 - 2· m^2· 4 + 4^2=(m^2 - 4)^2$
第二步：利用平方差公式继续分解，保证分解彻底
$m^2 - 4 = m^2 - 2^2=(m+2)(m-2)$
第三步：整理结果
将$m^2-4=(m+2)(m-2)$代入得：
$(m^2 - 4)^2=[(m+2)(m-2)]^2=(m+2)^2(m-2)^2$
【答案】
$(m+2)^2(m-2)^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解原则
【点评】
本题是因式分解的典型易错题，易错点为分解到$(m^2-4)^2$就停止，忽略$m^2-4$还可继续分解，解题时需牢记因式分解要分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.6
首先观察待分解的多项式，$m^4$可看作$(m^2)^2$，16是$4^2$，中间项$-8m^2$恰好是$2× m^2×4$的相反数，符合完全平方公式的结构特征，可先用完全平方公式分解。分解得到$(m^2-4)^2$后，注意$m^2-4$仍符合平方差公式的结构，还能继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
第一步：利用完全平方公式分解
$m^4 -8m^2 +16=(m^2)^2 - 2· m^2· 4 + 4^2=(m^2 - 4)^2$
第二步：利用平方差公式继续分解，保证分解彻底
$m^2 - 4 = m^2 - 2^2=(m+2)(m-2)$
第三步：整理结果
将$m^2-4=(m+2)(m-2)$代入得：
$(m^2 - 4)^2=[(m+2)(m-2)]^2=(m+2)^2(m-2)^2$
【答案】
$(m+2)^2(m-2)^2$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，因式分解原则
【点评】
本题是因式分解的典型易错题，易错点为分解到$(m^2-4)^2$就停止，忽略$m^2-4$还可继续分解，解题时需牢记因式分解要分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.6
6.分解因式:
(1)$x^2y - 2xy + y$；
(2)$(3x - 1)^2 - 4(3x - 1) + 4$；
(3)$(m^2 + n^2)^2 - 4m^2n^2$；
(4)$25(x - 2y)^2 - 4(y - 2x)^2$。
(1)$x^2y - 2xy + y$；
(2)$(3x - 1)^2 - 4(3x - 1) + 4$；
(3)$(m^2 + n^2)^2 - 4m^2n^2$；
(4)$25(x - 2y)^2 - 4(y - 2x)^2$。
答案
6.(1)原式$=y(x^2-2x+1)=y(x-1)^2$
(2)原式$=(3x-3)^2=9(x-1)^2$
(3)原式$=(m^2+n^2)^2-(2mn)^2=(m^2+n^2+2mn)(m^2+n^2-2mn)=(m+n)^2(m-n)^2$
(4)原式$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]=(x-8y)(9x-12y)=3(x-8y)(3x-4y)$
(2)原式$=(3x-3)^2=9(x-1)^2$
(3)原式$=(m^2+n^2)^2-(2mn)^2=(m^2+n^2+2mn)(m^2+n^2-2mn)=(m+n)^2(m-n)^2$
(4)原式$=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]=(x-8y)(9x-12y)=3(x-8y)(3x-4y)$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的步骤：第一步先提取多项式的公因式，第二步观察提取公因式后剩余的部分，判断能否套用平方差公式或完全平方公式继续分解，第三步检查最终结果是否分解到每一个因式都不能再分解为止。
(1)先观察到三项都含有公因式y，先提取公因式，剩余部分符合完全平方公式的结构，直接套用公式即可；
(2)将(3x-1)看作一个整体，原式符合完全平方公式a²-2ab+b²的结构，套用公式后化简，再提取公因式得到最终结果；
(3)原式符合平方差公式a²-b²的结构，先套用平方差公式分解，得到的两个因式又分别符合完全平方公式，继续分解即可；
(4)将原式的两项分别写成平方的形式，套用平方差公式分解，再化简每个括号内的整式，提取公因式确保分解彻底。
【解析】
(1) 先提取公因式y，再套用完全平方公式：
原式$=y(x^2-2x+1)=y(x-1)^2$
(2) 把$3x-1$看作整体，套用完全平方公式后化简：
原式$=(3x-1-2)^2=(3x-3)^2=9(x-1)^2$
(3) 先套用平方差公式，再对分解后的两个因式分别套用完全平方公式：
原式$=(m^2+n^2)^2-(2mn)^2=(m^2+n^2+2mn)(m^2+n^2-2mn)=(m+n)^2(m-n)^2$
(4) 先改写为平方差的形式，套用公式后化简，再提取公因式：
原式$=[5(x-2y)]^2-[2(y-2x)]^2=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]=(x-8y)(9x-12y)=3(x-8y)(3x-4y)$
【答案】
(1)$y(x-1)^2$；(2)$9(x-1)^2$；(3)$(m+n)^2(m-n)^2$；(4)$3(x-8y)(3x-4y)$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的基本运算，解题时要严格按照“先提公因式、再套公式、最后核验”的流程操作，灵活运用整体思想可以简化运算，注意最终结果必须分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
因式分解遵循“一提、二套、三查”的步骤：第一步先提取多项式的公因式，第二步观察提取公因式后剩余的部分，判断能否套用平方差公式或完全平方公式继续分解，第三步检查最终结果是否分解到每一个因式都不能再分解为止。
(1)先观察到三项都含有公因式y，先提取公因式，剩余部分符合完全平方公式的结构，直接套用公式即可；
(2)将(3x-1)看作一个整体，原式符合完全平方公式a²-2ab+b²的结构，套用公式后化简，再提取公因式得到最终结果；
(3)原式符合平方差公式a²-b²的结构，先套用平方差公式分解，得到的两个因式又分别符合完全平方公式，继续分解即可；
(4)将原式的两项分别写成平方的形式，套用平方差公式分解，再化简每个括号内的整式，提取公因式确保分解彻底。
【解析】
(1) 先提取公因式y，再套用完全平方公式：
原式$=y(x^2-2x+1)=y(x-1)^2$
(2) 把$3x-1$看作整体，套用完全平方公式后化简：
原式$=(3x-1-2)^2=(3x-3)^2=9(x-1)^2$
(3) 先套用平方差公式，再对分解后的两个因式分别套用完全平方公式：
原式$=(m^2+n^2)^2-(2mn)^2=(m^2+n^2+2mn)(m^2+n^2-2mn)=(m+n)^2(m-n)^2$
(4) 先改写为平方差的形式，套用公式后化简，再提取公因式：
原式$=[5(x-2y)]^2-[2(y-2x)]^2=[5(x-2y)+2(y-2x)][5(x-2y)-2(y-2x)]=(x-8y)(9x-12y)=3(x-8y)(3x-4y)$
【答案】
(1)$y(x-1)^2$；(2)$9(x-1)^2$；(3)$(m+n)^2(m-n)^2$；(4)$3(x-8y)(3x-4y)$
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的基本运算，解题时要严格按照“先提公因式、再套公式、最后核验”的流程操作，灵活运用整体思想可以简化运算，注意最终结果必须分解到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
五、求完全平方式中的参数值易出错
7.已知$25x^2 - mxy + 16y^2$是完全平方式，则$m=$
7.已知$25x^2 - mxy + 16y^2$是完全平方式，则$m=$
$\pm40$
。答案
7.$\pm40$
解析
【分析】
本题考查完全平方式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：和的平方与差的平方，完全平方式的首尾两项均为平方项，中间项是首尾两项底数乘积的2倍，符号可正可负。第一步先将已知的两个二次项转化为平方形式，确定对应的底数；第二步分两种完全平方的情况展开，和原式对比系数求出m的值，注意不要漏解。
【解析】
解：完全平方公式有两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
已知$25x^2=(5x)^2$，$16y^2=(4y)^2$，原式为完全平方式，分两种情况讨论：
① 当原式对应$(5x-4y)^2$时，展开得$25x^2-40xy+16y^2$，
与原式$25x^2 - mxy + 16y^2$对比同类项系数，可得$-m=-40$，解得$m=40$；
② 当原式对应$(5x+4y)^2$时，展开得$25x^2+40xy+16y^2$，
与原式对比同类项系数，可得$-m=40$，解得$m=-40$。
综上，$m=\pm40$。
【答案】
$\pm40$
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是完全平方式相关的典型易错题，解题的关键是牢记完全平方公式包含和、差两种形式，对应的中间项有两种符号可能，避免仅考虑一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
本题考查完全平方式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：和的平方与差的平方，完全平方式的首尾两项均为平方项，中间项是首尾两项底数乘积的2倍，符号可正可负。第一步先将已知的两个二次项转化为平方形式，确定对应的底数；第二步分两种完全平方的情况展开，和原式对比系数求出m的值，注意不要漏解。
【解析】
解：完全平方公式有两种形式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
已知$25x^2=(5x)^2$，$16y^2=(4y)^2$，原式为完全平方式，分两种情况讨论：
① 当原式对应$(5x-4y)^2$时，展开得$25x^2-40xy+16y^2$，
与原式$25x^2 - mxy + 16y^2$对比同类项系数，可得$-m=-40$，解得$m=40$；
② 当原式对应$(5x+4y)^2$时，展开得$25x^2+40xy+16y^2$，
与原式对比同类项系数，可得$-m=40$，解得$m=-40$。
综上，$m=\pm40$。
【答案】
$\pm40$
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是完全平方式相关的典型易错题，解题的关键是牢记完全平方公式包含和、差两种形式，对应的中间项有两种符号可能，避免仅考虑一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.6
8.(2024·阎良区期末)若多项式$x^2 - (m - 1)x + 16$能用完全平方公式进行因式分解，则$m=$
9或-7
。答案
8.9或-7
解析
【分析】
解题时要结合完全平方公式的结构特征分析，完全平方公式有两种形式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$和$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。给定多项式是二次三项式，首项为$x^2$、末项为$16=4^2$，因此中间项对应$\pm 2× x×4$，据此建立关于$m$的方程求解即可，注意要考虑两种情况，避免漏解。
【解析】
解：
∵ 多项式$x^2 - (m - 1)x + 16$能用完全平方公式因式分解，符合完全平方式$a^2\pm2ab+b^2$的结构，其中$a=x$，$b^2=16$即$b=\pm4$。
∴ 中间项$-(m-1)x = \pm 2· x· 4$，
化简得：$-(m-1)=\pm8$。
分两种情况计算：
① 当$-(m-1)=8$时，
$m-1=-8$，解得$m=-7$；
② 当$-(m-1)=-8$时，
$m-1=8$，解得$m=9$。
综上，$m$的值为9或-7。
【答案】
9或-7
【知识点】
1.完全平方公式 2.因式分解
【点评】
本题是因式分解的常考易错题，解题关键是熟记完全平方公式的两种形式，不要忽略中间项可正可负的特征，避免只计算一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.65
解题时要结合完全平方公式的结构特征分析，完全平方公式有两种形式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$和$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。给定多项式是二次三项式，首项为$x^2$、末项为$16=4^2$，因此中间项对应$\pm 2× x×4$，据此建立关于$m$的方程求解即可，注意要考虑两种情况，避免漏解。
【解析】
解：
∵ 多项式$x^2 - (m - 1)x + 16$能用完全平方公式因式分解，符合完全平方式$a^2\pm2ab+b^2$的结构，其中$a=x$，$b^2=16$即$b=\pm4$。
∴ 中间项$-(m-1)x = \pm 2· x· 4$，
化简得：$-(m-1)=\pm8$。
分两种情况计算：
① 当$-(m-1)=8$时，
$m-1=-8$，解得$m=-7$；
② 当$-(m-1)=-8$时，
$m-1=8$，解得$m=9$。
综上，$m$的值为9或-7。
【答案】
9或-7
【知识点】
1.完全平方公式 2.因式分解
【点评】
本题是因式分解的常考易错题，解题关键是熟记完全平方公式的两种形式，不要忽略中间项可正可负的特征，避免只计算一种情况导致漏解。
【难度系数】
0.65
