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11. 如图，如果$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$，$∠ B = ∠ C$，那么AB与CD平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）
解：$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$(已知)，
$∠ 1 + ∠ CGD = 180°$(平角的定义)，
$\therefore ∠ 2 = ∠$①______(同角的补角相等)，
$\therefore CE //$②______(同位角相等，两直线平行)，
$\therefore ∠ C = ∠ BFD$(③______)，
$\because ∠ B = ∠ C$(已知)，
$\therefore ∠ B = ∠ BFD$(等量代换)，
$\therefore AB // CD$(④______).
解：$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$(已知)，
$∠ 1 + ∠ CGD = 180°$(平角的定义)，
$\therefore ∠ 2 = ∠$①______(同角的补角相等)，
$\therefore CE //$②______(同位角相等，两直线平行)，
$\therefore ∠ C = ∠ BFD$(③______)，
$\because ∠ B = ∠ C$(已知)，
$\therefore ∠ B = ∠ BFD$(等量代换)，
$\therefore AB // CD$(④______).
答案
11. ①$CGD$;②$BF$;③两直线平行,同位角相等;④内错角相等,两直线平行.
解析
【分析】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解题思路如下：首先根据已知的∠1与∠2互补，结合平角定义得到∠1和∠CGD也互补，利用同角的补角相等得到一组相等的同位角，先推出CE与BF平行；再利用平行线的性质得到∠C和∠BFD相等，结合已知∠B=∠C进行等量代换，得到AB、CD被BF所截形成的内错角相等，最终推出AB与CD平行。
【解析】
解：$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$(已知)，
$∠ 1 + ∠ CGD = 180°$(平角的定义)，
$\therefore ∠ 2 = ∠$①$\boldsymbol{CGD}$(同角的补角相等)，
$\therefore CE //$②$\boldsymbol{BF}$(同位角相等，两直线平行)，
$\therefore ∠ C = ∠ BFD$(③两直线平行，同位角相等)，
$\because ∠ B = ∠ C$(已知)，
$\therefore ∠ B = ∠ BFD$(等量代换)，
$\therefore AB // CD$(④内错角相等，两直线平行).
【答案】
①$CGD$；②$BF$；③两直线平行，同位角相等；④内错角相等，两直线平行
【知识点】
补角的性质，平行线的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于平行线的基础应用题，解题的关键是准确区分平行线的判定和性质：由角的关系推平行用判定定理，由平行推角的关系用性质定理，结合已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解题思路如下：首先根据已知的∠1与∠2互补，结合平角定义得到∠1和∠CGD也互补，利用同角的补角相等得到一组相等的同位角，先推出CE与BF平行；再利用平行线的性质得到∠C和∠BFD相等，结合已知∠B=∠C进行等量代换，得到AB、CD被BF所截形成的内错角相等，最终推出AB与CD平行。
【解析】
解：$\because ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$(已知)，
$∠ 1 + ∠ CGD = 180°$(平角的定义)，
$\therefore ∠ 2 = ∠$①$\boldsymbol{CGD}$(同角的补角相等)，
$\therefore CE //$②$\boldsymbol{BF}$(同位角相等，两直线平行)，
$\therefore ∠ C = ∠ BFD$(③两直线平行，同位角相等)，
$\because ∠ B = ∠ C$(已知)，
$\therefore ∠ B = ∠ BFD$(等量代换)，
$\therefore AB // CD$(④内错角相等，两直线平行).
【答案】
①$CGD$；②$BF$；③两直线平行，同位角相等；④内错角相等，两直线平行
【知识点】
补角的性质，平行线的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于平行线的基础应用题，解题的关键是准确区分平行线的判定和性质：由角的关系推平行用判定定理，由平行推角的关系用性质定理，结合已知条件逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
12.五子连珠棋和象棋、围棋一样,深受广大棋友的喜爱,其规则是:在正方形棋盘中,由黑方先行,轮流弈子,在任一方向(横向,竖向或者是斜着的方向)上连成五子者为胜,如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图,甲执黑子先行,乙执白子后走,若白①的位置是(0,3),白②的位置是(3,1).
(1)请根据题意,画出平面直角坐标系xOy;
(2)若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子,请写出符合题意的其中两个落子处的坐标.
(1)请根据题意,画出平面直角坐标系xOy;
(2)若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子,请写出符合题意的其中两个落子处的坐标.
答案
12.解:(1)如图：
(2)若甲的下一步落子可以在某个方向上连成四子,则符合题意的落子处的坐标可以为(6,2)或(5,4)或(4,4).
解析
【分析】
(1)要建立平面直角坐标系，需先确定原点、x轴和y轴的位置。已知白①坐标为(0,3)，说明该点在y轴上，纵坐标为3，结合白②的坐标(3,1)，即可确定原点位置，进而画出坐标轴。
(2)要找到能让黑子连成四子的落子点，首先观察现有黑子的位置，找出已有3个黑子共线的情况，再在这条直线上补充一个黑子位置，就能满足连成四子的要求。
【解析】
(1)因为白①的位置是(0,3)，所以该点在y轴上，其纵坐标为3，以该点所在竖直线为y轴，向下平移3个单位长度的水平线为x轴，两轴交点为原点O，即可画出符合要求的平面直角坐标系。
(2)观察黑子的坐标，可发现：
① 横向有3个黑子在直线y=2上，横坐标分别为3、4、5，若在(6,2)处落子，即可形成横向四子连线；
② 纵向有3个黑子在直线x=4上，纵坐标分别为1、2、3，若在(4,4)处落子，即可形成纵向四子连线；
③ 斜向有3个黑子在直线y=x-1上，坐标分别为(2,1)、(3,2)、(4,3)，若在(5,4)处落子，即可形成斜向四子连线。
任选其中两个坐标即可。
【答案】
(1)如图：
(2)示例：$(6,2)$，$(5,4)$（或$(4,4)$，写出两个即可）
【知识点】
平面直角坐标系，坐标确定位置，共线点的坐标特征
【点评】
本题结合五子棋的游戏规则考查平面直角坐标系的相关知识，贴近生活，趣味性强，既要求掌握坐标系的建立方法，又需要具备一定的观察能力，能有效考查对坐标相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要建立平面直角坐标系，需先确定原点、x轴和y轴的位置。已知白①坐标为(0,3)，说明该点在y轴上，纵坐标为3，结合白②的坐标(3,1)，即可确定原点位置，进而画出坐标轴。
(2)要找到能让黑子连成四子的落子点，首先观察现有黑子的位置，找出已有3个黑子共线的情况，再在这条直线上补充一个黑子位置，就能满足连成四子的要求。
【解析】
(1)因为白①的位置是(0,3)，所以该点在y轴上，其纵坐标为3，以该点所在竖直线为y轴，向下平移3个单位长度的水平线为x轴，两轴交点为原点O，即可画出符合要求的平面直角坐标系。
(2)观察黑子的坐标，可发现：
① 横向有3个黑子在直线y=2上，横坐标分别为3、4、5，若在(6,2)处落子，即可形成横向四子连线；
② 纵向有3个黑子在直线x=4上，纵坐标分别为1、2、3，若在(4,4)处落子，即可形成纵向四子连线；
③ 斜向有3个黑子在直线y=x-1上，坐标分别为(2,1)、(3,2)、(4,3)，若在(5,4)处落子，即可形成斜向四子连线。
任选其中两个坐标即可。
【答案】
(1)如图：
(2)示例：$(6,2)$，$(5,4)$（或$(4,4)$，写出两个即可）
【知识点】
平面直角坐标系，坐标确定位置，共线点的坐标特征
【点评】
本题结合五子棋的游戏规则考查平面直角坐标系的相关知识，贴近生活，趣味性强，既要求掌握坐标系的建立方法，又需要具备一定的观察能力，能有效考查对坐标相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
13.定义:若无理数$\sqrt{T}$的被开方数($T$为正整数)满足$n^2＜T＜(n+1)^2$(其中$n$为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“共同体区间”为$(n,n+1)$.例如:因为$1^2＜3＜2^2$,所以$\sqrt{3}$的“共同体区间”为$(1,2)$.请回答下列问题:
(1)$\sqrt{14}$的“共同体区间”为________;
(2)若$x,y$满足关系式:$\sqrt{x-8}+(y+1)^2=0$,求$\sqrt{x(y+6)}$的“共同体区间”.
(1)$\sqrt{14}$的“共同体区间”为________;
(2)若$x,y$满足关系式:$\sqrt{x-8}+(y+1)^2=0$,求$\sqrt{x(y+6)}$的“共同体区间”.
答案
13.解:(1)$(3,4)$;
(2)由题意得:$x-8=0,y+1=0$,
解得:$x=8,y=-1$,
则$x(y+6)=8×(-1+6)=40$,
$\because 6^2＜40＜7^2$,
$\therefore \sqrt{x(y+1)}$的“共同体区间”为$(6,7)$
(2)由题意得:$x-8=0,y+1=0$,
解得:$x=8,y=-1$,
则$x(y+6)=8×(-1+6)=40$,
$\because 6^2＜40＜7^2$,
$\therefore \sqrt{x(y+1)}$的“共同体区间”为$(6,7)$
解析
【分析】
（1）要确定$\sqrt{14}$的“共同体区间”，核心是找到满足$n^2＜14＜(n+1)^2$的正整数$n$，通过计算相邻正整数的平方就能确定$n$的值，进而得到对应区间。
（2）第二问可分三步求解：第一步，根据算术平方根和平方的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都等于0，据此列方程求出$x$、$y$的值；第二步，将$x$、$y$代入$x(y+6)$计算出被开方数；第三步，找到相邻的两个正整数，使它们的平方分别小于、大于这个被开方数，即可确定对应的“共同体区间”。
【解析】
(1) 计算相邻正整数的平方可得：$3^2=9$，$4^2=16$，因此$3^2＜14＜4^2$，根据“共同体区间”的定义，$\sqrt{14}$的“共同体区间”为$(3,4)$。
(2) 已知$\sqrt{x-8}≥0$，$(y+1)^2≥0$，且$\sqrt{x-8}+(y+1)^2=0$，根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x-8=0\\y+1=0\end{cases}$
解得$x=8$，$y=-1$。
将$x=8$、$y=-1$代入$x(y+6)$得：$8×(-1+6)=8×5=40$。
计算相邻正整数的平方：$6^2=36$，$7^2=49$，因此$6^2＜40＜7^2$，所以$\sqrt{x(y+6)}$的“共同体区间”为$(6,7)$。
【答案】
(1) $(3,4)$；(2) $(6,7)$
【知识点】
新定义理解，非负数的性质，无理数估算
【点评】
本题结合新定义考查基础知识点的应用，解题核心是准确理解“共同体区间”的含义，同时熟练掌握非负性的应用和无理数估算的方法，整体考查内容偏基础，掌握相关知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
（1）要确定$\sqrt{14}$的“共同体区间”，核心是找到满足$n^2＜14＜(n+1)^2$的正整数$n$，通过计算相邻正整数的平方就能确定$n$的值，进而得到对应区间。
（2）第二问可分三步求解：第一步，根据算术平方根和平方的非负性，两个非负数相加和为0时，每个非负数都等于0，据此列方程求出$x$、$y$的值；第二步，将$x$、$y$代入$x(y+6)$计算出被开方数；第三步，找到相邻的两个正整数，使它们的平方分别小于、大于这个被开方数，即可确定对应的“共同体区间”。
【解析】
(1) 计算相邻正整数的平方可得：$3^2=9$，$4^2=16$，因此$3^2＜14＜4^2$，根据“共同体区间”的定义，$\sqrt{14}$的“共同体区间”为$(3,4)$。
(2) 已知$\sqrt{x-8}≥0$，$(y+1)^2≥0$，且$\sqrt{x-8}+(y+1)^2=0$，根据非负数的性质可得：
$\begin{cases}x-8=0\\y+1=0\end{cases}$
解得$x=8$，$y=-1$。
将$x=8$、$y=-1$代入$x(y+6)$得：$8×(-1+6)=8×5=40$。
计算相邻正整数的平方：$6^2=36$，$7^2=49$，因此$6^2＜40＜7^2$，所以$\sqrt{x(y+6)}$的“共同体区间”为$(6,7)$。
【答案】
(1) $(3,4)$；(2) $(6,7)$
【知识点】
新定义理解，非负数的性质，无理数估算
【点评】
本题结合新定义考查基础知识点的应用，解题核心是准确理解“共同体区间”的含义，同时熟练掌握非负性的应用和无理数估算的方法，整体考查内容偏基础，掌握相关知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
