1 已知两个相似三角形，其中一组对应边上的高线长分别是2和6，那么这两个三角形的相似比为 （）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$

B

根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高线之比等于相似比。已知两个相似三角形一组对应边上的高线长分别为2和6，因此它们的相似比为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。

2 已知$△ ABC ∽ △ A_{1}B_{1}C_{1}$，$AC = 12$，$A_{1}C_{1} = 8$，$△ ABC$的高$AD$为$6$，那么$△ A_{1}B_{1}C_{1}$的高$A_{1}D_{1}$为。

$\boldsymbol{4}$

解：
∵ △ABC ∽ △A₁B₁C₁，
∴ 相似三角形对应高的比等于相似比，即 $\frac{AD}{A_1D_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$。
将$AC=12$，$A_1C_1=8$，$AD=6$代入得：
$\frac{6}{A_1D_1} = \frac{12}{8}$，
解得 $A_1D_1 = 4$。

3[2026 江苏无锡锡山区期末]如图，$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，$AD$和$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的高，若$AD=3$，$A'D'=4$，则$\dfrac{AB+BC+AC}{A'B'+B'C'+A'C'}$的值为（）


A.$\dfrac{9}{16}$
B.$\dfrac{16}{9}$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.$\dfrac{3}{4}$

D

根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，由$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD和$A'D'$是对应高，$AD=3$，$A'D'=4$，可得两三角形的相似比为$\frac{AD}{A'D'}=\frac{3}{4}$。又因为相似三角形的周长比等于相似比，因此$\frac{AB+BC+AC}{A'B'+B'C'+A'C'}=\frac{3}{4}$。

4 [2025 浙江杭州期末]
如图，△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形(顶点在格点上)，那么△ABC与△DEF的周长之比为（）

A.$1:\sqrt{2}$
B.$1:2$
C.$1:3$
D.$1:4$

A

设每个小正方形的边长为1，由勾股定理计算得：△ABC的三边长分别为$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AB=2$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；△DEF的三边长分别为$DF=2$，$DE=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。可得三边对应比值均为$\frac{1}{\sqrt{2}}$，即△ABC与△DEF的相似比为$1:\sqrt{2}$。根据相似三角形周长之比等于相似比，得两三角形周长之比为$1:\sqrt{2}$。

5 如图，$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=\sqrt{6}$，$AC=2$，$BE⊥ AB$于$B$，点$D$为射线$BE$上一点，连结$AD$，若$△ ABD$与$△ ABC$相似.
(1)求$AD$的长；
(2)请求出$△ ABD$与$△ ABC$的周长比.

解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=\sqrt{6}$，$AC=2$，
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(\sqrt{6})^2-2^2}=\sqrt{2}$。
$\because BE⊥ AB$，$\therefore ∠ ABD=90°=∠ ACB$。
$△ ABD$与$△ ABC$相似分两种情况：
① 当$△ ABD ∽ △ ACB$时，
$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{AD}{\sqrt{6}}$，
解得$AD=3$；
② 当$△ ABD ∽ △ BCA$时，
$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\frac{AD}{\sqrt{6}}$，
解得$AD=3\sqrt{2}$。
综上，$AD$的长为$3$或$3\sqrt{2}$。
(2) 相似三角形的周长比等于相似比：
① 当$△ ABD ∽ △ ACB$时，周长比为$\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
② 当$△ ABD ∽ △ BCA$时，周长比为$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$。
综上，$△ ABD$与$△ ABC$的周长比为$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\sqrt{3}$。

6 已知$△ ABC$的各边长分别为2,5,6,与其相似的$△ A'B'C'$的最大边长为18,则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比等于 ()

A.$1:3$
B.$1:6$
C.$1:9$
D.$4:9$

C

首先确定△ABC的最大边长为6，已知相似的△A'B'C'最大边长为18，因此两三角形的相似比为6:18=1:3。根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得两三角形的面积比为$(1:3)^2=1:9$。

7 两个相似三角形的面积比是4：9，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是
（）

A.12
B.12或24
C.27
D.12或27

D

根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知两相似三角形面积比为4:9，可得两三角形的相似比为$\sqrt{4}:\sqrt{9}=2:3$。又因为相似三角形的周长比等于相似比，因此两三角形的周长比为2:3。分两种情况计算：
1. 若周长为18的是较大的三角形，设另一个三角形周长为$x$，则$\frac{x}{18}=\frac{2}{3}$，解得$x=12$；
2. 若周长为18的是较小的三角形，设另一个三角形周长为$x$，则$\frac{18}{x}=\frac{2}{3}$，解得$x=27$。
因此另一个三角形的周长是12或27。

8 如图,中位线MN将△ABC分成面积为$S_1,S_2$的上下两部分$(S_1＜S_2)$,则$\frac{S_1}{S_2}=$.

(第8题图) (第9题图)

$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$

解：
∵ MN是△ABC的中位线，
∴ MN//BC，且$MN=\frac{1}{2}BC$，
∴ $△ AMN ∽ △ ABC$，相似比为$1:2$，
∴ $\frac{S_1}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即$S_{△ ABC}=4S_1$，
∴ $S_2 = S_{△ ABC} - S_1 = 4S_1 - S_1 = 3S_1$，
∴ $\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{3}$。

9[2025福建泉州期中]如图,已知AD是△ABC的中线,点G是△ABC的重心,过G作GE//AB交BC于点E,GF//AC交BC于点F.若△ABC面积为36,则△EFG的面积为.

$\boldsymbol{4}$

解：
∵ 点G是△ABC的重心，
∴ $AG:GD = 2:1$，即 $GD:AD = 1:3$。
∵ AD是△ABC的中线，
∴ $BD = CD = \frac{1}{2}BC$，$S_{△ ABD} = S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = 18$。
∵ $GE// AB$，
∴ $△ GED ∽ △ ABD$，相似比为 $\frac{GD}{AD} = \frac{1}{3}$，
∴ $∠ GED = ∠ B$，$\frac{ED}{BD} = \frac{1}{3}$，$\frac{S_{△ GED}}{S_{△ ABD}} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$，
得 $S_{△ GED} = 18 × \frac{1}{9} = 2$。
∵ $GF// AC$，
∴ $△ GFD ∽ △ ACD$，相似比为 $\frac{GD}{AD} = \frac{1}{3}$，
∴ $∠ GFD = ∠ C$，$\frac{DF}{CD} = \frac{1}{3}$，$\frac{S_{△ GFD}}{S_{△ ACD}} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$，
得 $S_{△ GFD} = 18 × \frac{1}{9} = 2$。
由 $ED = \frac{1}{3}BD$，$DF = \frac{1}{3}CD$，$BD=CD$，得：
$EF = ED + DF = \frac{1}{3}BD + \frac{1}{3}CD = \frac{2}{3}BD = \frac{1}{3}BC$。
又 $∠ GEF = ∠ B$，$∠ GFE = ∠ C$，
∴ $△ EFG ∽ △ BCA$，相似比为 $\frac{EF}{BC} = \frac{1}{3}$，
∴ $\frac{S_{△ EFG}}{S_{△ ABC}} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$，
代入 $S_{△ ABC}=36$，得 $S_{△ EFG} = 36 × \frac{1}{9} = 4$。
最终

10 如图，$△ ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$上的点，且$BD=AD$，$CE=AE$。
（1）求证：$△ ADE ∽ △ ABC$；
（2）若$S_{△ DEF}=2$，求四边形$DBCE$的面积。

(1) 证明：
∵ $BD=AD$，$CE=AE$，
∴ $AD=\frac{1}{2}AB$，$AE=\frac{1}{2}AC$，
即 $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，
又∵ $∠ A = ∠ A$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$。
---
(2) 解：
由题意可知，$DE$是$△ ABC$的中位线，
∴ $DE// BC$，且 $\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴ $∠ EDF = ∠ BCF$，$∠ DEF = ∠ CBF$，
∴ $△ DEF ∽ △ CBF$，
∴ $\frac{EF}{FB}=\frac{DF}{FC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
∵ $△ DEF$和$△ BDF$同高，底边比$EF:FB=1:2$，
∴ $S_{△ BDF}=2S_{△ DEF}=2×2=4$，
同理可得 $S_{△ CEF}=2S_{△ DEF}=4$。
由相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ CBF}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∴ $S_{△ CBF}=4S_{△ DEF}=4×2=8$。
∴ 四边形$DBCE$的面积为：
$S_{△ DEF}+S_{△ BDF}+S_{△ CEF}+S_{△ CBF}=2+4+4+8=18$。
答：四边形$DBCE$的面积为$\boldsymbol{18}$。