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9 教材 P16 习题 T2 变式 下列说法中，正确的是（
A.三角形的内角中最多有一个锐角
B.三角形的内角中最多有两个锐角
C.三角形的内角中最多有一个直角
D.三角形的三个内角都大于 $60°$
C
）A.三角形的内角中最多有一个锐角
B.三角形的内角中最多有两个锐角
C.三角形的内角中最多有一个直角
D.三角形的三个内角都大于 $60°$
答案
9. C
解析
【分析】
本题考查三角形内角和定理的应用，解题核心是牢记“任意三角形的内角和为180°”，解题时可以通过举反例或者反证法逐一验证每个选项的正确性，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐一分析选项：
A选项：锐角三角形的三个内角都是锐角，比如等边三角形三个角均为60°，都是锐角，因此“最多有一个锐角”的说法错误；
B选项：等边三角形有3个锐角，因此“最多有两个锐角”的说法错误；
C选项：假设三角形内有2个直角，两个直角的和为90°×2=180°，则第三个角的度数为180°-180°=0°，不符合三角形内角的定义，因此三角形内角中最多有一个直角，该说法正确；
D选项：若三个内角都大于60°，则三个内角的和大于60°×3=180°，违背三角形内角和为180°的定理，说法错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；三角形内角的性质
【点评】
这道题是三角形内角和的基础考查题，解题时通过举反例可快速排除错误选项，是对基础概念理解情况的检验，熟练掌握内角和定理就能轻松作答。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形内角和定理的应用，解题核心是牢记“任意三角形的内角和为180°”，解题时可以通过举反例或者反证法逐一验证每个选项的正确性，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
根据三角形内角和为180°，逐一分析选项：
A选项：锐角三角形的三个内角都是锐角，比如等边三角形三个角均为60°，都是锐角，因此“最多有一个锐角”的说法错误；
B选项：等边三角形有3个锐角，因此“最多有两个锐角”的说法错误；
C选项：假设三角形内有2个直角，两个直角的和为90°×2=180°，则第三个角的度数为180°-180°=0°，不符合三角形内角的定义，因此三角形内角中最多有一个直角，该说法正确；
D选项：若三个内角都大于60°，则三个内角的和大于60°×3=180°，违背三角形内角和为180°的定理，说法错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；三角形内角的性质
【点评】
这道题是三角形内角和的基础考查题，解题时通过举反例可快速排除错误选项，是对基础概念理解情况的检验，熟练掌握内角和定理就能轻松作答。
【难度系数】
0.9
10 教材 P17 习题 T8 变式 如图,点 D,E 分别在线段 BC,AC 上,连接 AD,BE.若∠A=35°,∠B=25°,∠C=50°,则∠1 的度数为 (
A.$60°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$85°$
B
)A.$60°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$85°$
答案
10. B
解析
【分析】
要计算∠1的度数，可结合三角形内角和定理或外角性质求解：首先找到和∠1相关的三角形，先求出该三角形内其余两个已知角或者可通过已知角推导出来的角的度数，再利用内角和180°计算即可。我们可以先通过△BCE的内角和求出∠BEC，再利用邻补角得到△ADE中∠AED的度数，最后结合△ADE的内角和算出∠1；也可以通过外角性质简化计算步骤。
【解析】
设AD与BE的交点为O，
方法1：
1. 在△BCE中，根据三角形内角和为180°，已知∠B=25°，∠C=50°，可得：
$∠ BEC=180°-∠ B-∠ C=180°-25°-50°=105°$
2. ∠BEC与∠AED为邻补角，因此：
$∠ AED=180°-∠ BEC=180°-105°=75°$
3. 在△ADE中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=35°，∠AED=75°，可得：
$∠ 1=180°-∠ A-∠ AED=180°-35°-75°=70°$
方法2：
1. ∠ADB是△ADC的外角，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可得：
$∠ ADB=∠ A+∠ C=35°+50°=85°$
2. 在△BOD中，根据三角形内角和为180°，已知∠B=25°，∠ADB=85°，可得：
$∠ BOD=180°-∠ B-∠ ADB=180°-25°-85°=70°$
3. ∠1与∠BOD是对顶角，因此$∠ 1=∠ BOD=70°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，核心是将所求角和已知角通过三角形内角和或外角性质建立关联，解题时要准确识别图形中的外角、邻补角、对顶角等特殊角关系。
【难度系数】
0.8
要计算∠1的度数，可结合三角形内角和定理或外角性质求解：首先找到和∠1相关的三角形，先求出该三角形内其余两个已知角或者可通过已知角推导出来的角的度数，再利用内角和180°计算即可。我们可以先通过△BCE的内角和求出∠BEC，再利用邻补角得到△ADE中∠AED的度数，最后结合△ADE的内角和算出∠1；也可以通过外角性质简化计算步骤。
【解析】
设AD与BE的交点为O，
方法1：
1. 在△BCE中，根据三角形内角和为180°，已知∠B=25°，∠C=50°，可得：
$∠ BEC=180°-∠ B-∠ C=180°-25°-50°=105°$
2. ∠BEC与∠AED为邻补角，因此：
$∠ AED=180°-∠ BEC=180°-105°=75°$
3. 在△ADE中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=35°，∠AED=75°，可得：
$∠ 1=180°-∠ A-∠ AED=180°-35°-75°=70°$
方法2：
1. ∠ADB是△ADC的外角，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可得：
$∠ ADB=∠ A+∠ C=35°+50°=85°$
2. 在△BOD中，根据三角形内角和为180°，已知∠B=25°，∠ADB=85°，可得：
$∠ BOD=180°-∠ B-∠ ADB=180°-25°-85°=70°$
3. ∠1与∠BOD是对顶角，因此$∠ 1=∠ BOD=70°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，核心是将所求角和已知角通过三角形内角和或外角性质建立关联，解题时要准确识别图形中的外角、邻补角、对顶角等特殊角关系。
【难度系数】
0.8
11 如图,在$△ ABC$中,$P$是$△ ABC$的三条角平分线的交点,则$∠ PBC+∠ PCA+∠ PAB=$
90°
.答案
11. $90°$
解析
【分析】
首先，已知点P是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的定义，可得∠PBC、∠PCA、∠PAB分别是△ABC对应三个内角的一半；其次，回忆三角形内角和定理，三角形的三个内角和为180°，将所求的三个角相加，可转化为△ABC内角和的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵P是△ABC的三条角平分线的交点
∴BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，AP平分∠BAC
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCA=\frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ PAB=\frac{1}{2}∠ BAC$
∵在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC=180°$（三角形内角和定理）
∴$∠ PBC+∠ PCA+∠ PAB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC)=\frac{1}{2}×180°=90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是利用角平分线的性质将所求角和三角形内角建立联系，通过整体代入的方法即可快速求解，是三角形内角相关的常见考题。
【难度系数】
0.8
首先，已知点P是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的定义，可得∠PBC、∠PCA、∠PAB分别是△ABC对应三个内角的一半；其次，回忆三角形内角和定理，三角形的三个内角和为180°，将所求的三个角相加，可转化为△ABC内角和的一半，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵P是△ABC的三条角平分线的交点
∴BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，AP平分∠BAC
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCA=\frac{1}{2}∠ ACB$，$∠ PAB=\frac{1}{2}∠ BAC$
∵在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC=180°$（三角形内角和定理）
∴$∠ PBC+∠ PCA+∠ PAB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB+∠ BAC)=\frac{1}{2}×180°=90°$
【答案】
$90°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是利用角平分线的性质将所求角和三角形内角建立联系，通过整体代入的方法即可快速求解，是三角形内角相关的常见考题。
【难度系数】
0.8
12 教材P12例2变式 如图，在某海面上，客轮C突然发生事故，马上向救护船B发出求救信号.由于救护船A离客轮C比救护船B离客轮C要近，所以救护船B立即向救护船A发出信号，让其救助客轮C.已知救护船A在救护船B的北偏东$45°$方向，客轮C在救护船B的北偏东$75°$方向，经测得$∠ C＝75°$，则救护船A沿南偏东多少度方向驶向客轮C所用的时间最短？
答案
12. 根据题意，得$∠ NBA = 45°$，$∠ NBC = 75°$，$\therefore ∠ ABC = ∠ NBC - ∠ NBA = 30°$. $\because BN // AS$，$\therefore ∠ BAS = ∠ NBA = 45°$. $\because ∠ ABC + ∠ BAC + ∠ C = 180°$，$∠ C = 75°$，$∠ ABC = 30°$，$\therefore ∠ BAC = 75°$. $\therefore ∠ SAC = ∠ BAC - ∠ BAS = 75° - 45° = 30°$. $\therefore$ 救护船A沿南偏东$30°$方向驶向客轮C所用的时间最短
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确“行驶时间最短”对应最短路径是线段AC，因此我们需要求救护船A的正南方向线AS与AC的夹角∠SAC。解题思路如下：1. 先根据B点给出的两个方向角，计算出△ABC中∠ABC的度数；2. 由于所有南北方向线互相平行，根据平行线的内错角相等，得到∠BAS的度数；3. 利用三角形内角和为180°，计算出∠BAC的度数；4. 最后用∠BAC减去∠BAS即可得到所求的角度。
【解析】
解：根据题意，得$∠NBA=45°$，$∠NBC=75°$，
$\therefore ∠ABC=∠NBC - ∠NBA=75° - 45°=30°$。
$\because BN、AS$均为南北方向线，$\therefore BN// AS$，
$\therefore ∠BAS=∠NBA=45°$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠BAC=180° - ∠ABC - ∠C=180° - 30° - 75°=75°$。
$\therefore ∠SAC=∠BAC - ∠BAS=75° - 45°=30°$。
【答案】
救护船A沿南偏东$\boldsymbol{30°}$方向驶向客轮C所用的时间最短
【知识点】
方向角，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际救援场景考查几何角度计算，解题的关键是准确理解方向角的含义，将实际问题转化为几何角度计算问题，很好地考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确“行驶时间最短”对应最短路径是线段AC，因此我们需要求救护船A的正南方向线AS与AC的夹角∠SAC。解题思路如下：1. 先根据B点给出的两个方向角，计算出△ABC中∠ABC的度数；2. 由于所有南北方向线互相平行，根据平行线的内错角相等，得到∠BAS的度数；3. 利用三角形内角和为180°，计算出∠BAC的度数；4. 最后用∠BAC减去∠BAS即可得到所求的角度。
【解析】
解：根据题意，得$∠NBA=45°$，$∠NBC=75°$，
$\therefore ∠ABC=∠NBC - ∠NBA=75° - 45°=30°$。
$\because BN、AS$均为南北方向线，$\therefore BN// AS$，
$\therefore ∠BAS=∠NBA=45°$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠BAC=180° - ∠ABC - ∠C=180° - 30° - 75°=75°$。
$\therefore ∠SAC=∠BAC - ∠BAS=75° - 45°=30°$。
【答案】
救护船A沿南偏东$\boldsymbol{30°}$方向驶向客轮C所用的时间最短
【知识点】
方向角，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际救援场景考查几何角度计算，解题的关键是准确理解方向角的含义，将实际问题转化为几何角度计算问题，很好地考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
1 如图，$∠ C=∠ D=90°$，$∠ A=20°$，则$∠ B=$
20°
。答案
1. $20°$
解析
【分析】
观察图形可知△AOC与△BOD构成“8字形”结构，解题时可以利用8字形的角度结论，也可以结合三角形内角和定理、对顶角相等的性质推导。已知∠C和∠D相等，结合对顶角相等，可推出∠B和∠A相等，代入∠A的度数即可得到结果。
【解析】
方法一：利用8字形结论
根据8字形角度关系可得：$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$
已知$∠ C=∠ D=90°$，$∠ A=20°$，代入得：
$20° +90° = ∠ B +90°$
解得$∠ B=20°$
方法二：利用三角形内角和与对顶角性质
在$△ AOC$中，$∠ A + ∠ C + ∠ AOC = 180°$
在$△ BOD$中，$∠ B + ∠ D + ∠ BOD = 180°$
∵$∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角，
∴$∠ AOC=∠ BOD$
又
∵$∠ C=∠ D=90°$
∴$∠ A + 90° = ∠ B + 90°$
∴$∠ B=∠ A=20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
三角形内角和定理、对顶角相等、8字形角度模型
【点评】
本题是8字形角度模型的基础应用，既可以直接用模型结论快速解题，也可以通过基础的三角形内角和、对顶角性质推导，考查对基础几何模型和性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
观察图形可知△AOC与△BOD构成“8字形”结构，解题时可以利用8字形的角度结论，也可以结合三角形内角和定理、对顶角相等的性质推导。已知∠C和∠D相等，结合对顶角相等，可推出∠B和∠A相等，代入∠A的度数即可得到结果。
【解析】
方法一：利用8字形结论
根据8字形角度关系可得：$∠ A + ∠ C = ∠ B + ∠ D$
已知$∠ C=∠ D=90°$，$∠ A=20°$，代入得：
$20° +90° = ∠ B +90°$
解得$∠ B=20°$
方法二：利用三角形内角和与对顶角性质
在$△ AOC$中，$∠ A + ∠ C + ∠ AOC = 180°$
在$△ BOD$中，$∠ B + ∠ D + ∠ BOD = 180°$
∵$∠ AOC$与$∠ BOD$是对顶角，
∴$∠ AOC=∠ BOD$
又
∵$∠ C=∠ D=90°$
∴$∠ A + 90° = ∠ B + 90°$
∴$∠ B=∠ A=20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
三角形内角和定理、对顶角相等、8字形角度模型
【点评】
本题是8字形角度模型的基础应用，既可以直接用模型结论快速解题，也可以通过基础的三角形内角和、对顶角性质推导，考查对基础几何模型和性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
2 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
180°
.答案
2. $180°$
解析
【分析】
遇到这类分散的多个角度求和问题，我们可以结合已学的三角形内角和定理思考，核心思路是将分散的角转化到同一个三角形中。我们可以借助三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，将∠C与∠E的和、∠B与∠D的和分别转化为同一个三角形的两个外角，这样五个角就能转化为该三角形的三个内角，再利用三角形内角和定理即可求出总和。
【解析】
设AC与BE交于点M，AD与BE交于点N。
根据三角形外角的性质：
∠AMN是△CEM的外角，因此∠AMN = ∠C + ∠E；
∠ANM是△BDN的外角，因此∠ANM = ∠B + ∠D。
在△AMN中，由三角形内角和定理可得：∠A + ∠AMN + ∠ANM = 180°。
将上述两个外角关系式代入，可得：
∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是不规则图形角度求和的典型题型，解题的关键是灵活运用三角形外角的性质，将分散的角集中到同一个三角形中，运用转化思想快速求解。
【难度系数】
0.7
遇到这类分散的多个角度求和问题，我们可以结合已学的三角形内角和定理思考，核心思路是将分散的角转化到同一个三角形中。我们可以借助三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，将∠C与∠E的和、∠B与∠D的和分别转化为同一个三角形的两个外角，这样五个角就能转化为该三角形的三个内角，再利用三角形内角和定理即可求出总和。
【解析】
设AC与BE交于点M，AD与BE交于点N。
根据三角形外角的性质：
∠AMN是△CEM的外角，因此∠AMN = ∠C + ∠E；
∠ANM是△BDN的外角，因此∠ANM = ∠B + ∠D。
在△AMN中，由三角形内角和定理可得：∠A + ∠AMN + ∠ANM = 180°。
将上述两个外角关系式代入，可得：
∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 180°。
【答案】
180°
【知识点】
三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是不规则图形角度求和的典型题型，解题的关键是灵活运用三角形外角的性质，将分散的角集中到同一个三角形中，运用转化思想快速求解。
【难度系数】
0.7
3 如图，$∠ 1=60°$，则$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=$
240°
答案
3. $240°$
解析
【分析】
解题时先回忆三角形内角和定理、对顶角相等、三角形外角的性质这几个知识点。首先找到∠1的对顶角，利用对顶角相等得到它的大小；再用三角形外角性质，将∠A、∠B的和转化为一个外角，∠C、∠D的和转化为另一个外角，结合三角形内角和算出这四个角的和；同理算出∠E、∠F的和，最后把两部分相加即可得到结果。
【解析】
设∠1的对顶角为∠2，根据对顶角相等，可得∠2=∠1=60°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此$∠ 3=∠ A+∠ B$，$∠ 4=∠ C+∠ D$。
在包含∠2的三角形中，由三角形内角和为180°得：$∠ 3+∠ 4+∠ 2=180°$，代入∠2=60°，可得$∠ 3+∠ 4=180°-60°=120°$，即$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=120°$。
同理可得$∠ E+∠ F=180°-∠ 1=120°$。
因此$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=120°+120°=240°$。
【答案】
$240°$
【知识点】
三角形内角和定理、三角形外角的性质、对顶角相等
【点评】
本题重点考查三角形相关性质的综合应用，核心是通过外角性质将分散的待求角进行转化，降低计算难度，是几何角度计算的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三角形内角和定理、对顶角相等、三角形外角的性质这几个知识点。首先找到∠1的对顶角，利用对顶角相等得到它的大小；再用三角形外角性质，将∠A、∠B的和转化为一个外角，∠C、∠D的和转化为另一个外角，结合三角形内角和算出这四个角的和；同理算出∠E、∠F的和，最后把两部分相加即可得到结果。
【解析】
设∠1的对顶角为∠2，根据对顶角相等，可得∠2=∠1=60°。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此$∠ 3=∠ A+∠ B$，$∠ 4=∠ C+∠ D$。
在包含∠2的三角形中，由三角形内角和为180°得：$∠ 3+∠ 4+∠ 2=180°$，代入∠2=60°，可得$∠ 3+∠ 4=180°-60°=120°$，即$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=120°$。
同理可得$∠ E+∠ F=180°-∠ 1=120°$。
因此$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=120°+120°=240°$。
【答案】
$240°$
【知识点】
三角形内角和定理、三角形外角的性质、对顶角相等
【点评】
本题重点考查三角形相关性质的综合应用，核心是通过外角性质将分散的待求角进行转化，降低计算难度，是几何角度计算的典型基础题。
【难度系数】
0.7
