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6 数形结合思想 某厂家2025年1~5月的自行车产量统计图如图所示，3月自行车产量的数据不小心被墨汁覆盖.若2月到4月该厂家自行车产量的月增长率都相同，则3月自行车产量为（
A.218辆
B.240辆
C.256辆
D.272辆
B
）A.218辆
B.240辆
C.256辆
D.272辆
答案
6. B
解析
【分析】
首先从折线统计图中读取已知数据：2月自行车产量为200辆，4月产量为288辆，且2月到4月的月增长率相同，属于平均增长率类问题。解题思路为：先设月增长率为x，根据“增长n次后的产量=初始产量×(1+增长率)ⁿ”的等量关系，结合2月到4月共增长2次，列一元二次方程求出增长率，再用2月产量乘(1+增长率)即可得到3月的产量。
【解析】
解：设2月到4月自行车产量的月增长率为$x$。
由平均增长率的计算公式，2月到4月共增长2次，可列方程：
$200(1+x)^2=288$
化简得：$(1+x)^2=1.44$
开方得：$1+x=\pm1.2$
由于增长率为正数，故舍去$1+x=-1.2$，得$1+x=1.2$。
因此3月自行车产量为：$200×(1+x)=200×1.2=240$（辆）
【答案】
B
【知识点】
平均增长率计算；一元二次方程的应用；折线统计图识别
【点评】
本题结合统计图考查平均增长率的实际应用，解题关键是掌握平均变化率的数量关系，正确列方程求解，属于增长率类的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
首先从折线统计图中读取已知数据：2月自行车产量为200辆，4月产量为288辆，且2月到4月的月增长率相同，属于平均增长率类问题。解题思路为：先设月增长率为x，根据“增长n次后的产量=初始产量×(1+增长率)ⁿ”的等量关系，结合2月到4月共增长2次，列一元二次方程求出增长率，再用2月产量乘(1+增长率)即可得到3月的产量。
【解析】
解：设2月到4月自行车产量的月增长率为$x$。
由平均增长率的计算公式，2月到4月共增长2次，可列方程：
$200(1+x)^2=288$
化简得：$(1+x)^2=1.44$
开方得：$1+x=\pm1.2$
由于增长率为正数，故舍去$1+x=-1.2$，得$1+x=1.2$。
因此3月自行车产量为：$200×(1+x)=200×1.2=240$（辆）
【答案】
B
【知识点】
平均增长率计算；一元二次方程的应用；折线统计图识别
【点评】
本题结合统计图考查平均增长率的实际应用，解题关键是掌握平均变化率的数量关系，正确列方程求解，属于增长率类的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
7 某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为30元/个，每周可卖出1000个。市场调查反映，若每个涨价1元，则每周少卖出100个；若每个降价1元，则每周多卖出100个。已知进价为20元/个，当鼠标垫的售价为
32或28
元/个时，这周的利润为9600元。答案
7. 32或28
解析
【分析】
解决本题首先要明确销售利润问题的核心等量关系：总利润=单个商品利润×销售数量。我们可以设鼠标垫的售价为x元/个，先表示出单个鼠标垫的利润为(x-20)元；再根据售价与原售价30元的差值计算销量变化：售价每比30元高1元，销量减少100个，每比30元低1元，销量增加100个，因此销量可统一表示为[1000-100(x-30)]个，最后根据总利润为9600元列一元二次方程求解即可，注意要验证解是否符合实际意义。
【解析】
解：设当鼠标垫的售价为x元/个时，这周的利润为9600元。
由题意得，单个鼠标垫的利润为$(x - 20)$元，
每周的销售量为$1000 - 100(x - 30) = 4000 - 100x$个，
根据总利润的计算公式列方程：
$(x - 20)(4000 - 100x) = 9600$
整理方程得：
$x^2 - 60x + 896 = 0$
因式分解得：
$(x - 28)(x - 32) = 0$
解得：$x_1 = 28$，$x_2 = 32$
经检验，两个解均符合实际销售情况。
【答案】
32或28
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题的关键是找准总利润、单个利润、销售量三者之间的等量关系，正确列出方程，求解后要注意验证解是否符合实际意义，避免漏解或出现不符合现实情况的解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确销售利润问题的核心等量关系：总利润=单个商品利润×销售数量。我们可以设鼠标垫的售价为x元/个，先表示出单个鼠标垫的利润为(x-20)元；再根据售价与原售价30元的差值计算销量变化：售价每比30元高1元，销量减少100个，每比30元低1元，销量增加100个，因此销量可统一表示为[1000-100(x-30)]个，最后根据总利润为9600元列一元二次方程求解即可，注意要验证解是否符合实际意义。
【解析】
解：设当鼠标垫的售价为x元/个时，这周的利润为9600元。
由题意得，单个鼠标垫的利润为$(x - 20)$元，
每周的销售量为$1000 - 100(x - 30) = 4000 - 100x$个，
根据总利润的计算公式列方程：
$(x - 20)(4000 - 100x) = 9600$
整理方程得：
$x^2 - 60x + 896 = 0$
因式分解得：
$(x - 28)(x - 32) = 0$
解得：$x_1 = 28$，$x_2 = 32$
经检验，两个解均符合实际销售情况。
【答案】
32或28
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题的关键是找准总利润、单个利润、销售量三者之间的等量关系，正确列出方程，求解后要注意验证解是否符合实际意义，避免漏解或出现不符合现实情况的解。
【难度系数】
0.7
8 新情境 地域特色 蓉城美食历史悠久，其中有清香润滑的双皮奶，为了更好地吸引不同年龄段的人群进店消费，某甜品店2025年第四季度推出两款新品：“卡通财神双皮奶”每份21元，“红豆双皮奶”每份19元.
（1）该甜品店10月“卡通财神双皮奶”的销售量为320份，12月“卡通财神双皮奶”的销售量为500份，则该甜品店“卡通财神双皮奶”10月到12月的销售量月平均增长率是多少？
（2）“红豆双皮奶”12月的销售量为400份，为了尽快减少库存，甜品店决定2026年1月对“红豆双皮奶”降价促销，已知每份“红豆双皮奶”的成本价为7元.经试验，发现该“红豆双皮奶”每份每降价1元，月销售量就会增加50份.为了使该甜品店2026年1月“红豆双皮奶”的总利润达到4950元，则每份“红豆双皮奶”应降价多少元？
（1）该甜品店10月“卡通财神双皮奶”的销售量为320份，12月“卡通财神双皮奶”的销售量为500份，则该甜品店“卡通财神双皮奶”10月到12月的销售量月平均增长率是多少？
（2）“红豆双皮奶”12月的销售量为400份，为了尽快减少库存，甜品店决定2026年1月对“红豆双皮奶”降价促销，已知每份“红豆双皮奶”的成本价为7元.经试验，发现该“红豆双皮奶”每份每降价1元，月销售量就会增加50份.为了使该甜品店2026年1月“红豆双皮奶”的总利润达到4950元，则每份“红豆双皮奶”应降价多少元？
答案
8. （1）设该甜品店“卡通财神双皮奶”10月到12月的销售量月平均增长率是 x. 根据题意，得$320(1+x)^2=500$，解得$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$(不符合题意，舍去).
∴ 该甜品店“卡通财神双皮奶”10月到12月的销售量月平均增长率是 25%
（2）设每份“红豆双皮奶”应降价 m 元，则每份“红豆双皮奶”的利润为$(19-7-m)$元，月销售量为$(400+50m)$份. 根据题意，得$(19-7-m)(400+50m)=4\ 950$，整理，得$m^2-4m+3=0$，解得$m_1=3$，$m_2=1$.
∵ 要尽快减少库存，
∴ 每份“红豆双皮奶”应降价 3 元
∴ 该甜品店“卡通财神双皮奶”10月到12月的销售量月平均增长率是 25%
（2）设每份“红豆双皮奶”应降价 m 元，则每份“红豆双皮奶”的利润为$(19-7-m)$元，月销售量为$(400+50m)$份. 根据题意，得$(19-7-m)(400+50m)=4\ 950$，整理，得$m^2-4m+3=0$，解得$m_1=3$，$m_2=1$.
∵ 要尽快减少库存，
∴ 每份“红豆双皮奶”应降价 3 元
解析
【分析】
（1）本题是平均增长率类应用题，核心等量关系为：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ=增长n次后的量。本题中10月销售量320份是初始量，12月销售量500份是增长2次后的量，设月平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程，求解后结合增长率为正的实际意义舍去不合理解即可。
（2）本题是销售利润类应用题，核心等量关系为：总利润=单份利润×销售量。设每份降价m元，先表示出降价后的单份利润（原售价-成本-降价金额）和降价后的月销售量（原销量+每降1元增加的销量×降价金额），再根据总利润为4950元列方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求，选择降价更多的解即可。
【解析】
（1）设该甜品店“卡通财神双皮奶”10月到12月的销售量月平均增长率是x。
根据题意列方程：$320(1+x)^2=500$
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$，因增长率不能为负，$x_2=-2.25$不符合题意，舍去。
（2）设每份“红豆双皮奶”应降价m元，则降价后每份利润为$(19-7-m)$元，月销售量为$(400+50m)$份。
根据题意列方程：$(19-7-m)(400+50m)=4950$
整理得：$m^2-4m+3=0$
解得：$m_1=3$，$m_2=1$
因要尽快减少库存，降价越多销量越高，库存减少越快，故取$m=3$。
【答案】
（1）该甜品店“卡通财神双皮奶”10月到12月的销售量月平均增长率是25%；
（2）每份“红豆双皮奶”应降价3元。
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合地域特色美食的生活场景命题，趣味性较强，考查了用一元二次方程解决实际问题的能力，解题关键是找准等量关系列方程，同时要结合实际需求对解进行取舍，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
（1）本题是平均增长率类应用题，核心等量关系为：初始量×(1+月平均增长率)ⁿ=增长n次后的量。本题中10月销售量320份是初始量，12月销售量500份是增长2次后的量，设月平均增长率为x，代入等量关系列一元二次方程，求解后结合增长率为正的实际意义舍去不合理解即可。
（2）本题是销售利润类应用题，核心等量关系为：总利润=单份利润×销售量。设每份降价m元，先表示出降价后的单份利润（原售价-成本-降价金额）和降价后的月销售量（原销量+每降1元增加的销量×降价金额），再根据总利润为4950元列方程求解，最后结合“尽快减少库存”的要求，选择降价更多的解即可。
【解析】
（1）设该甜品店“卡通财神双皮奶”10月到12月的销售量月平均增长率是x。
根据题意列方程：$320(1+x)^2=500$
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$，因增长率不能为负，$x_2=-2.25$不符合题意，舍去。
（2）设每份“红豆双皮奶”应降价m元，则降价后每份利润为$(19-7-m)$元，月销售量为$(400+50m)$份。
根据题意列方程：$(19-7-m)(400+50m)=4950$
整理得：$m^2-4m+3=0$
解得：$m_1=3$，$m_2=1$
因要尽快减少库存，降价越多销量越高，库存减少越快，故取$m=3$。
【答案】
（1）该甜品店“卡通财神双皮奶”10月到12月的销售量月平均增长率是25%；
（2）每份“红豆双皮奶”应降价3元。
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合地域特色美食的生活场景命题，趣味性较强，考查了用一元二次方程解决实际问题的能力，解题关键是找准等量关系列方程，同时要结合实际需求对解进行取舍，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
9 某网店从工厂购进A,B两款钥匙扣,进货价和销售价如下表(利润=销售价－进货价):
(1) 该网店第一次用850元购进A,B两款钥匙扣共30件,则分别购进两款钥匙扣多少件?
(2) 第一次购进的钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A,B两款钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润?最大销售利润是多少?
(3) 该网店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,那么平均每天可售出4件.经调查发现,每件每降价1元,平均每天可多售出2件.将B款钥匙扣的销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为90元?
(1) 该网店第一次用850元购进A,B两款钥匙扣共30件,则分别购进两款钥匙扣多少件?
(2) 第一次购进的钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A,B两款钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润?最大销售利润是多少?
(3) 该网店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,那么平均每天可售出4件.经调查发现,每件每降价1元,平均每天可多售出2件.将B款钥匙扣的销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天的销售利润为90元?
答案
9. （1）设购进 A 款钥匙扣 x 件，购进 B 款钥匙扣 y 件. 依题意，得$\begin{cases} x+y=30, \\ 30x+25y=850, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=20, \\ y=10. \end{cases}$
∴ 购进 A 款钥匙扣 20 件，购进 B 款钥匙扣 10 件
（2）设购进 m 件 A 款钥匙扣，则购进$(80-m)$件 B 款钥匙扣. 依题意，得$30m+25(80-m)≤2\ 200$，解得$m≤40$. 设再次购进的 A,B 两款钥匙扣全部售出后获得的总销售利润是 w 元，则$w=(45-30)m+(37-25)(80-m)=3m+960$.
∵ $3＞0$，
∴ w 随 m 的增大而增大.
∴ 当$m=40$时，w 取得最大值，最大值为$3×40+960=1\ 080$，此时$80-m=80-40=40$.
∴ 当购进 40 件 A 款钥匙扣、40 件 B 款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是 1 080元
（3）设将 B 款钥匙扣的销售价定为 a 元/件，则每件的销售利润是$(a-25)$元，平均每天可售出$4+2(37-a)=(78-2a)$件. 依题意，得$(a-25)·(78-2a)=90$. 整理，得$a^2-64a+1\ 020=0$，解得$a_1=30$，$a_2=34$.
∴ 将 B 款钥匙扣的销售价定为 30 元/件或 34 元/件时，才能使 B 款钥匙扣平均每天的销售利润为 90 元
∴ 购进 A 款钥匙扣 20 件，购进 B 款钥匙扣 10 件
（2）设购进 m 件 A 款钥匙扣，则购进$(80-m)$件 B 款钥匙扣. 依题意，得$30m+25(80-m)≤2\ 200$，解得$m≤40$. 设再次购进的 A,B 两款钥匙扣全部售出后获得的总销售利润是 w 元，则$w=(45-30)m+(37-25)(80-m)=3m+960$.
∵ $3＞0$，
∴ w 随 m 的增大而增大.
∴ 当$m=40$时，w 取得最大值，最大值为$3×40+960=1\ 080$，此时$80-m=80-40=40$.
∴ 当购进 40 件 A 款钥匙扣、40 件 B 款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是 1 080元
（3）设将 B 款钥匙扣的销售价定为 a 元/件，则每件的销售利润是$(a-25)$元，平均每天可售出$4+2(37-a)=(78-2a)$件. 依题意，得$(a-25)·(78-2a)=90$. 整理，得$a^2-64a+1\ 020=0$，解得$a_1=30$，$a_2=34$.
∴ 将 B 款钥匙扣的销售价定为 30 元/件或 34 元/件时，才能使 B 款钥匙扣平均每天的销售利润为 90 元
解析
【分析】
(1) 第一问已知两款钥匙扣的总购进数量和总进货费用，可设两个未知数，抓住“总件数为30件”“总进货费用为850元”两个等量关系列二元一次方程组，解方程组即可得到两款的购进数量。
(2) 第二问先设A款的购进数量，即可表示出B款的购进数量，根据“进货总价不高于2200元”列不等式求出A款数量的取值范围；再根据总利润的计算方法列出总利润关于A款数量的一次函数，结合一次函数的增减性就能找到最大利润对应的进货方案。
(3) 第三问设B款的销售单价，先表示出每件B款的销售利润，再根据“每降价1元多售出2件”的条件表示出日均销售量，利用“单件利润×日均销售量=日均总利润90元”列一元二次方程求解即可。
【解析】
(1) 设购进A款钥匙扣x件，购进B款钥匙扣y件。
依题意，得：
$\begin{cases} x+y=30 \\ 30x+25y=850 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=20 \\ y=10 \end{cases}$
(2) 设购进m件A款钥匙扣，则购进$(80-m)$件B款钥匙扣。
依题意，得：
$30m+25(80-m)≤2200$
解得$m≤40$。
设再次购进的两款钥匙扣全部售出后总利润为w元，则：
$w=(45-30)m+(37-25)(80-m)=3m+960$
∵$3＞0$，
∴w随m的增大而增大，
∴当$m=40$时，w取得最大值，最大值为$3×40+960=1080$，此时$80-m=40$。
(3) 设将B款钥匙扣的销售价定为a元/件，则每件利润为$(a-25)$元，日均销售量为$4+2(37-a)=(78-2a)$件。
依题意，得：
$(a-25)(78-2a)=90$
整理得$a^2-64a+1020=0$，
解得$a_1=30$，$a_2=34$。
【答案】
(1) 购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件；
(2) 购进40件A款钥匙扣、40件B款钥匙扣时可获得最大销售利润，最大销售利润为1080元；
(3) B款钥匙扣销售价定为30元/件或34元/件时，平均每天的销售利润为90元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数应用，一元二次方程应用
【点评】
本题属于销售类综合应用题，考查了学生从题干中提取等量关系、不等关系建立数学模型的能力，贴合生活实际，是中考的高频考查题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问已知两款钥匙扣的总购进数量和总进货费用，可设两个未知数，抓住“总件数为30件”“总进货费用为850元”两个等量关系列二元一次方程组，解方程组即可得到两款的购进数量。
(2) 第二问先设A款的购进数量，即可表示出B款的购进数量，根据“进货总价不高于2200元”列不等式求出A款数量的取值范围；再根据总利润的计算方法列出总利润关于A款数量的一次函数，结合一次函数的增减性就能找到最大利润对应的进货方案。
(3) 第三问设B款的销售单价，先表示出每件B款的销售利润，再根据“每降价1元多售出2件”的条件表示出日均销售量，利用“单件利润×日均销售量=日均总利润90元”列一元二次方程求解即可。
【解析】
(1) 设购进A款钥匙扣x件，购进B款钥匙扣y件。
依题意，得：
$\begin{cases} x+y=30 \\ 30x+25y=850 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=20 \\ y=10 \end{cases}$
(2) 设购进m件A款钥匙扣，则购进$(80-m)$件B款钥匙扣。
依题意，得：
$30m+25(80-m)≤2200$
解得$m≤40$。
设再次购进的两款钥匙扣全部售出后总利润为w元，则：
$w=(45-30)m+(37-25)(80-m)=3m+960$
∵$3＞0$，
∴w随m的增大而增大，
∴当$m=40$时，w取得最大值，最大值为$3×40+960=1080$，此时$80-m=40$。
(3) 设将B款钥匙扣的销售价定为a元/件，则每件利润为$(a-25)$元，日均销售量为$4+2(37-a)=(78-2a)$件。
依题意，得：
$(a-25)(78-2a)=90$
整理得$a^2-64a+1020=0$，
解得$a_1=30$，$a_2=34$。
【答案】
(1) 购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件；
(2) 购进40件A款钥匙扣、40件B款钥匙扣时可获得最大销售利润，最大销售利润为1080元；
(3) B款钥匙扣销售价定为30元/件或34元/件时，平均每天的销售利润为90元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数应用，一元二次方程应用
【点评】
本题属于销售类综合应用题，考查了学生从题干中提取等量关系、不等关系建立数学模型的能力，贴合生活实际，是中考的高频考查题型。
【难度系数】
0.7
