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7 [2025 淄博淄川期中]在同一平面直角坐标系中，一次函数 $ y = ax + b $ 与二次函数 $ y = b(x - a)^2 $ 的大致图象为 (
A
)答案
7. A
解析
【分析】
要判断两个函数图象是否能共存，需结合两类函数的图象性质，分别从一次函数、二次函数的图象中提取参数a、b的正负性，若同一个选项中两个函数推导的a、b符号一致，则该选项正确，反之则排除。具体步骤：先根据一次函数的升降、与y轴交点得a、b的符号，再根据二次函数的开口方向、顶点位置验证a、b符号是否匹配即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
一次函数$y=ax+b$图象上升，可得$a＞0$；与y轴交于正半轴，可得$b＞0$。
二次函数$y=b(x-a)^2$开口向上，符合$b＞0$；顶点坐标为$(a,0)$，图象中顶点在x轴正半轴，符合$a＞0$，参数符号完全匹配，符合要求。
2. 分析选项B：
一次函数图象下降，可得$a＜0$；二次函数顶点在x轴正半轴，即顶点横坐标$a＞0$，二者a的符号矛盾，排除B。
3. 分析选项C：
一次函数与y轴交于负半轴，可得$b＜0$；二次函数开口向上，可得$b＞0$，二者b的符号矛盾，排除C。
4. 分析选项D：
一次函数图象上升，可得$a＞0$；二次函数顶点在x轴负半轴，即顶点横坐标$a＜0$，二者a的符号矛盾，排除D。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数顶点式性质；参数符号判断
【点评】
本题是函数图象共存类的典型基础题，核心解题思路是通过图象特征提取公共参数的正负信息，验证参数取值的一致性，熟练掌握一次函数、二次函数的图象性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要判断两个函数图象是否能共存，需结合两类函数的图象性质，分别从一次函数、二次函数的图象中提取参数a、b的正负性，若同一个选项中两个函数推导的a、b符号一致，则该选项正确，反之则排除。具体步骤：先根据一次函数的升降、与y轴交点得a、b的符号，再根据二次函数的开口方向、顶点位置验证a、b符号是否匹配即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
一次函数$y=ax+b$图象上升，可得$a＞0$；与y轴交于正半轴，可得$b＞0$。
二次函数$y=b(x-a)^2$开口向上，符合$b＞0$；顶点坐标为$(a,0)$，图象中顶点在x轴正半轴，符合$a＞0$，参数符号完全匹配，符合要求。
2. 分析选项B：
一次函数图象下降，可得$a＜0$；二次函数顶点在x轴正半轴，即顶点横坐标$a＞0$，二者a的符号矛盾，排除B。
3. 分析选项C：
一次函数与y轴交于负半轴，可得$b＜0$；二次函数开口向上，可得$b＞0$，二者b的符号矛盾，排除C。
4. 分析选项D：
一次函数图象上升，可得$a＞0$；二次函数顶点在x轴负半轴，即顶点横坐标$a＜0$，二者a的符号矛盾，排除D。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数顶点式性质；参数符号判断
【点评】
本题是函数图象共存类的典型基础题，核心解题思路是通过图象特征提取公共参数的正负信息，验证参数取值的一致性，熟练掌握一次函数、二次函数的图象性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
8 已知点$A(m-1,y_1)$，$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2$的图象上.若$y_1＜y_2$，则实数$m$的取值范围是（
A.$m＞2$
B.$m＞\frac{3}{2}$
C.$m＜1$
D.$\frac{3}{2}＜m＜2$
B
）A.$m＞2$
B.$m＞\frac{3}{2}$
C.$m＜1$
D.$\frac{3}{2}＜m＜2$
答案
8. B
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=a(x-h)^2$的性质：本题中二次函数$y=(x-1)^2$的开口向上，对称轴为直线$x=1$，开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大。我们可以通过两种思路解题：一是利用点到对称轴的距离关系列不等式，二是直接将两点坐标代入函数解析式，结合$y_1＜y_2$列不等式求解，两种方法都符合当前学段的知识要求，这里选择代入法更直观易理解。
【解析】
将点$A(m-1,y_1)$、$B(m,y_2)$分别代入二次函数$y=(x-1)^2$，可得：
$y_1=(m-1-1)^2=(m-2)^2$
$y_2=(m-1)^2$
已知$y_1＜y_2$，因此列不等式：
$(m-2)^2 ＜ (m-1)^2$
展开不等式两边：
$m^2 -4m +4 ＜ m^2 -2m +1$
两边同时消去$m^2$，整理得：
$-4m +4 ＜ -2m +1$
移项合并同类项：
$-2m ＜ -3$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：
$m＞\frac{3}{2}$
因此符合要求的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用考题，解题方法灵活，既可以通过函数值与点到对称轴距离的关系快速推导，也可以直接代入解析式列不等式求解，解题时要注意不等式两边同时乘除负数时，不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数$y=a(x-h)^2$的性质：本题中二次函数$y=(x-1)^2$的开口向上，对称轴为直线$x=1$，开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越大。我们可以通过两种思路解题：一是利用点到对称轴的距离关系列不等式，二是直接将两点坐标代入函数解析式，结合$y_1＜y_2$列不等式求解，两种方法都符合当前学段的知识要求，这里选择代入法更直观易理解。
【解析】
将点$A(m-1,y_1)$、$B(m,y_2)$分别代入二次函数$y=(x-1)^2$，可得：
$y_1=(m-1-1)^2=(m-2)^2$
$y_2=(m-1)^2$
已知$y_1＜y_2$，因此列不等式：
$(m-2)^2 ＜ (m-1)^2$
展开不等式两边：
$m^2 -4m +4 ＜ m^2 -2m +1$
两边同时消去$m^2$，整理得：
$-4m +4 ＜ -2m +1$
移项合并同类项：
$-2m ＜ -3$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：
$m＞\frac{3}{2}$
因此符合要求的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用考题，解题方法灵活，既可以通过函数值与点到对称轴距离的关系快速推导，也可以直接代入解析式列不等式求解，解题时要注意不等式两边同时乘除负数时，不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.7
9 若抛物线$y=a(x+m)^2$的开口向上，顶点在x轴的正半轴上，则点$(a,m)$在
第四
象限。答案
9. 第四
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质，第一步根据抛物线开口方向判断参数$a$的符号，第二步推导抛物线的顶点坐标，结合顶点在x轴正半轴的条件判断参数$m$的符号，最后根据象限内点的坐标符号特征，确定点$(a,m)$所在的象限。
【解析】
将二次函数$y=a(x+m)^2$变形为顶点式标准形式：$y=a[x-(-m)]^2$，按性质逐步推导：
1. 抛物线开口向上，因此二次项系数$a＞0$；
2. 顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，因此本题抛物线的顶点坐标为$(-m,0)$，已知顶点在x轴正半轴，即顶点横坐标大于0，可得$-m＞0$，解得$m＜0$；
3. 平面直角坐标系中第四象限内点的特征为横坐标为正、纵坐标为负，点$(a,m)$满足$a＞0$、$m＜0$，因此该点在第四象限。
【答案】
第四
【知识点】
二次函数顶点式性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数顶点式中参数的几何意义，以及平面直角坐标系不同象限内点的符号规律，解题核心是准确对应顶点式中参数和顶点坐标的关系，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质，第一步根据抛物线开口方向判断参数$a$的符号，第二步推导抛物线的顶点坐标，结合顶点在x轴正半轴的条件判断参数$m$的符号，最后根据象限内点的坐标符号特征，确定点$(a,m)$所在的象限。
【解析】
将二次函数$y=a(x+m)^2$变形为顶点式标准形式：$y=a[x-(-m)]^2$，按性质逐步推导：
1. 抛物线开口向上，因此二次项系数$a＞0$；
2. 顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，因此本题抛物线的顶点坐标为$(-m,0)$，已知顶点在x轴正半轴，即顶点横坐标大于0，可得$-m＞0$，解得$m＜0$；
3. 平面直角坐标系中第四象限内点的特征为横坐标为正、纵坐标为负，点$(a,m)$满足$a＞0$、$m＜0$，因此该点在第四象限。
【答案】
第四
【知识点】
二次函数顶点式性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查二次函数顶点式中参数的几何意义，以及平面直角坐标系不同象限内点的符号规律，解题核心是准确对应顶点式中参数和顶点坐标的关系，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.8
10 已知直线$y=3x+6$交$x$轴于点$A$，$B(-1,4)$是抛物线$y=a(x+m)^2$上一点，抛物线$y=a(x+m)^2$的顶点为$C$，$S_{△ ABC}=6$。求抛物线对应的函数表达式。
答案
由题意可知,$A(-2,0),B(-1,4),C(-m,0),\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· y_B=2|-m-(-2)|=6$,解得$m=5$或$m=-1$. 当$m=5$时,将$B(-1,4)$代入$y=a(x+5)^2$,得$(-1+5)^2a=4$,解得$a=\frac{1}{4}$;当$m=-1$时,将$B(-1,4)$代入$y=a(x-1)^2$,得$(-1-1)^2a=4$,解得$a=1$. $\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{4}(x+5)^2$或$y=(x-1)^2$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①先求直线与x轴交点A的坐标，x轴上点的纵坐标为0，代入直线解析式即可求出A点坐标；②明确抛物线顶点式$y=a(x+m)^2$的顶点C坐标为$(-m,0)$，顶点在x轴上；③$△ ABC$的底为A、C两点在x轴上的距离，高为点B的纵坐标（因为A、C都在x轴上，高就是B点到x轴的垂直距离），结合面积公式列含绝对值的方程求出m的两个取值；④最后分两种情况将点B代入抛物线解析式求出对应的a值，即可得到抛物线的表达式，注意不要漏解。
【解析】
1. 求点A坐标：令直线$y=3x+6$中$y=0$，即$3x+6=0$，解得$x=-2$，$\therefore A(-2,0)$。
2. 确定顶点C坐标：抛物线$y=a(x+m)^2$是顶点式，其顶点坐标为$(-m,0)$。
3. 利用三角形面积列方程求m：
$△ ABC$的底$AC = |x_C - x_A| = |-m - (-2)| = |2 - m|$，高为点B的纵坐标4，
由$S_{△ ABC}=6$得：$\frac{1}{2} × AC × y_B = 6$，
代入得：$\frac{1}{2} × |2 - m| × 4 = 6$，
化简得：$2|2 - m|=6$，即$|2 - m|=3$，
$\therefore 2 - m=3$或$2 - m=-3$，解得$m=-1$或$m=5$。
4. 分情况求a的值：
①当$m=5$时，抛物线解析式为$y=a(x+5)^2$，将$B(-1,4)$代入得：
$4 = a × (-1 + 5)^2$，即$16a=4$，解得$a=\frac{1}{4}$，此时抛物线为$y=\frac{1}{4}(x+5)^2$；
②当$m=-1$时，抛物线解析式为$y=a(x-1)^2$，将$B(-1,4)$代入得：
$4 = a × (-1 - 1)^2$，即$4a=4$，解得$a=1$，此时抛物线为$y=(x-1)^2$。
【答案】
$y=\frac{1}{4}(x+5)^2$或$y=(x-1)^2$
【知识点】
1. 一次函数与坐标轴交点求解
2. 二次函数顶点式性质
3. 坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数综合基础题，解题的关键是先确定各已知点及顶点的坐标特征，结合三角形面积公式建立方程求解参数，需要注意绝对值方程存在两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知条件入手：①先求直线与x轴交点A的坐标，x轴上点的纵坐标为0，代入直线解析式即可求出A点坐标；②明确抛物线顶点式$y=a(x+m)^2$的顶点C坐标为$(-m,0)$，顶点在x轴上；③$△ ABC$的底为A、C两点在x轴上的距离，高为点B的纵坐标（因为A、C都在x轴上，高就是B点到x轴的垂直距离），结合面积公式列含绝对值的方程求出m的两个取值；④最后分两种情况将点B代入抛物线解析式求出对应的a值，即可得到抛物线的表达式，注意不要漏解。
【解析】
1. 求点A坐标：令直线$y=3x+6$中$y=0$，即$3x+6=0$，解得$x=-2$，$\therefore A(-2,0)$。
2. 确定顶点C坐标：抛物线$y=a(x+m)^2$是顶点式，其顶点坐标为$(-m,0)$。
3. 利用三角形面积列方程求m：
$△ ABC$的底$AC = |x_C - x_A| = |-m - (-2)| = |2 - m|$，高为点B的纵坐标4，
由$S_{△ ABC}=6$得：$\frac{1}{2} × AC × y_B = 6$，
代入得：$\frac{1}{2} × |2 - m| × 4 = 6$，
化简得：$2|2 - m|=6$，即$|2 - m|=3$，
$\therefore 2 - m=3$或$2 - m=-3$，解得$m=-1$或$m=5$。
4. 分情况求a的值：
①当$m=5$时，抛物线解析式为$y=a(x+5)^2$，将$B(-1,4)$代入得：
$4 = a × (-1 + 5)^2$，即$16a=4$，解得$a=\frac{1}{4}$，此时抛物线为$y=\frac{1}{4}(x+5)^2$；
②当$m=-1$时，抛物线解析式为$y=a(x-1)^2$，将$B(-1,4)$代入得：
$4 = a × (-1 - 1)^2$，即$4a=4$，解得$a=1$，此时抛物线为$y=(x-1)^2$。
【答案】
$y=\frac{1}{4}(x+5)^2$或$y=(x-1)^2$
【知识点】
1. 一次函数与坐标轴交点求解
2. 二次函数顶点式性质
3. 坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数综合基础题，解题的关键是先确定各已知点及顶点的坐标特征，结合三角形面积公式建立方程求解参数，需要注意绝对值方程存在两个解，避免漏解。
【难度系数】
0.65
11 [2025南通崇川段考]已知抛物线$y=a(x+m)^2$的顶点坐标为$(-1,0)$，且经过点$A(-2,-\frac{1}{2})$。
(1) 求该抛物线对应的函数表达式.
(2) 点$B(2,-2)$在该抛物线上吗？
(3) 你能通过左右平移抛物线，使它过点B吗？若能，请写出平移方案.
(1) 求该抛物线对应的函数表达式.
(2) 点$B(2,-2)$在该抛物线上吗？
(3) 你能通过左右平移抛物线，使它过点B吗？若能，请写出平移方案.
答案
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x+m)^2$的顶点坐标为$(-1,0)$,$\therefore m=1$. 将$A(-2,-\frac{1}{2})$代入$y=a(x+1)^2$,得$(-2+1)^2a=-\frac{1}{2}$,解得$a=-\frac{1}{2}$. $\therefore$ 该抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$
(2) 在$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$中,当$x=2$时,$y=-\frac{9}{2}≠-2$,$\therefore$ 点$B(2,-2)$不在该抛物线上
(3) 能. 设平移后的抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+1+m)^2$,将$B(2,-2)$代入,得$-2=-\frac{1}{2}(2+1+m)^2$,解得$m=-1$或$m=-5$. $\therefore$ 将抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度,即可过点$B$
(2) 在$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$中,当$x=2$时,$y=-\frac{9}{2}≠-2$,$\therefore$ 点$B(2,-2)$不在该抛物线上
(3) 能. 设平移后的抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+1+m)^2$,将$B(2,-2)$代入,得$-2=-\frac{1}{2}(2+1+m)^2$,解得$m=-1$或$m=-5$. $\therefore$ 将抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度,即可过点$B$
解析
【分析】
(1) 已知抛物线为顶点式$y=a(x+m)^2$，其顶点坐标为$(-m,0)$，结合题目给出的顶点坐标$(-1,0)$可先求出$m$的值，再将点$A$的坐标代入解析式求出$a$，即可得到抛物线的函数表达式。
(2) 判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入解析式，计算得到的$y$值与点的纵坐标对比，相等则点在抛物线上，反之则不在。
(3) 抛物线左右平移时$a$值不变，遵循“左加右减”的平移规律，设出平移后的解析式，代入点$B$的坐标求解平移参数，即可得到平移方案，注意平移可能存在多种情况，避免漏解。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x+m)^2$的顶点坐标为$(-1,0)$，顶点式$y=a(x+m)^2$的顶点为$(-m,0)$，$\therefore -m=-1$，即$m=1$。
将$A(-2,-\frac{1}{2})$代入$y=a(x+1)^2$，得$(-2+1)^2a=-\frac{1}{2}$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
$\therefore$ 该抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$。
(2) 在$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$中，当$x=2$时，$y=-\frac{1}{2}×(2+1)^2=-\frac{9}{2}$。
$\because -\frac{9}{2}≠-2$，$\therefore$ 点$B(2,-2)$不在该抛物线上。
(3) 能。设平移后的抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+1+m)^2$，将$B(2,-2)$代入得：
$-2=-\frac{1}{2}(2+1+m)^2$
化简得$(3+m)^2=4$，解得$3+m=2$或$3+m=-2$，即$m=-1$或$m=-5$。
当$m=-1$时，对应原抛物线向右平移1个单位长度；当$m=-5$时，对应原抛物线向右平移5个单位长度。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$
(2) 点$B(2,-2)$不在该抛物线上
(3) 能，将抛物线向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度即可过点$B$
【知识点】
二次函数顶点式，点与抛物线的位置关系，二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，核心考查顶点式的性质、点在函数图象上的判定逻辑和图象平移规律，第三问需注意解的多样性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线为顶点式$y=a(x+m)^2$，其顶点坐标为$(-m,0)$，结合题目给出的顶点坐标$(-1,0)$可先求出$m$的值，再将点$A$的坐标代入解析式求出$a$，即可得到抛物线的函数表达式。
(2) 判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入解析式，计算得到的$y$值与点的纵坐标对比，相等则点在抛物线上，反之则不在。
(3) 抛物线左右平移时$a$值不变，遵循“左加右减”的平移规律，设出平移后的解析式，代入点$B$的坐标求解平移参数，即可得到平移方案，注意平移可能存在多种情况，避免漏解。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x+m)^2$的顶点坐标为$(-1,0)$，顶点式$y=a(x+m)^2$的顶点为$(-m,0)$，$\therefore -m=-1$，即$m=1$。
将$A(-2,-\frac{1}{2})$代入$y=a(x+1)^2$，得$(-2+1)^2a=-\frac{1}{2}$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
$\therefore$ 该抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$。
(2) 在$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$中，当$x=2$时，$y=-\frac{1}{2}×(2+1)^2=-\frac{9}{2}$。
$\because -\frac{9}{2}≠-2$，$\therefore$ 点$B(2,-2)$不在该抛物线上。
(3) 能。设平移后的抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+1+m)^2$，将$B(2,-2)$代入得：
$-2=-\frac{1}{2}(2+1+m)^2$
化简得$(3+m)^2=4$，解得$3+m=2$或$3+m=-2$，即$m=-1$或$m=-5$。
当$m=-1$时，对应原抛物线向右平移1个单位长度；当$m=-5$时，对应原抛物线向右平移5个单位长度。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$
(2) 点$B(2,-2)$不在该抛物线上
(3) 能，将抛物线向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度即可过点$B$
【知识点】
二次函数顶点式，点与抛物线的位置关系，二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，核心考查顶点式的性质、点在函数图象上的判定逻辑和图象平移规律，第三问需注意解的多样性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
12 [2025 荆州沙市期中]如图所示为抛物线$y=a(x+m)^2$.
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）把抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2$经过怎样的平移才能得到此抛物线；
（3）请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴、开口方向及对应函数具有的性质；
（4）将（1）中所求的抛物线绕顶点旋转$180°$，求旋转后的抛物线对应的函数表达式.
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）把抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2$经过怎样的平移才能得到此抛物线；
（3）请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴、开口方向及对应函数具有的性质；
（4）将（1）中所求的抛物线绕顶点旋转$180°$，求旋转后的抛物线对应的函数表达式.
答案
(1) 由图象可知,顶点坐标为$(2,0)$,$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-2)^2$. 将$(0,-1)$代入,得$-1=4a$,解得$a=-\frac{1}{4}$. $\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$
(2) 将抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2$向右平移2个单位长度即可得到抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$
(3) 抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$,对称轴为直线$x=2$,开口向下,当$x＜2$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＞2$时,$y$随$x$的增大而减小
(4) 将(1)中所求的抛物线绕顶点旋转$180°$,旋转后的抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$
(2) 将抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2$向右平移2个单位长度即可得到抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$
(3) 抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$,对称轴为直线$x=2$,开口向下,当$x＜2$时,$y$随$x$的增大而增大;当$x＞2$时,$y$随$x$的增大而减小
(4) 将(1)中所求的抛物线绕顶点旋转$180°$,旋转后的抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$
解析
【分析】
（1）求抛物线表达式：已知抛物线为顶点式$y=a(x+m)^2$，首先从图像提取顶点坐标$(2,0)$，代入顶点式得到含参数$a$的表达式，再代入图像经过的点$(0,-1)$即可求出$a$，得到解析式；
（2）判断平移方式：对比$y=-\frac{1}{4}x^2$和所求抛物线的顶点坐标，按照“左加右减”的平移规律即可得出平移方法；
（3）分析抛物线性质：对于顶点式$y=a(x-h)^2$，可直接根据$h$的值得到顶点坐标、对称轴，根据$a$的正负判断开口方向，再结合开口方向分析函数增减性；
（4）求旋转后的解析式：绕顶点旋转$180°$时，顶点坐标不变，开口方向相反，即$a$变为原来的相反数，代入即可得到新解析式。
【解析】
(1) 由图象可知，抛物线的顶点坐标为$(2,0)$，因此抛物线表达式可写为$y=a(x-2)^2$。
将点$(0,-1)$代入表达式，得：$-1=a×(0-2)^2$，即$-1=4a$，解得$a=-\frac{1}{4}$。
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$。
(2) 抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，所求抛物线顶点坐标为$(2,0)$，根据二次函数平移“左加右减”的规律，将抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2$向右平移2个单位长度，即可得到抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$。
(3) 对于抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$：
顶点坐标为$(2,0)$，对称轴为直线$x=2$；
因为$a=-\frac{1}{4}＜0$，所以抛物线开口向下；
函数增减性：当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
(4) 将抛物线绕顶点旋转$180°$后，顶点坐标仍为$(2,0)$，开口方向变为向上，即$a$变为原来的相反数$\frac{1}{4}$，因此旋转后的抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2}$
(2) 向右平移2个单位长度
(3) 顶点坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x=2}$，开口向下；当$\boldsymbol{x＜2}$时，$y$随$x$的增大而增大，当$\boldsymbol{x＞2}$时，$y$随$x$的增大而减小
(4) $\boldsymbol{y=\dfrac{1}{4}(x-2)^2}$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数平移规律、二次函数图像性质
【点评】
本题围绕二次函数顶点式的应用展开，涵盖了解析式求解、平移变换、性质分析、旋转变换等考点，是二次函数的基础题型，解题关键是熟练掌握顶点式$y=a(x-h)^2$中各参数的含义以及图像变换的规律。
【难度系数】
0.8
（1）求抛物线表达式：已知抛物线为顶点式$y=a(x+m)^2$，首先从图像提取顶点坐标$(2,0)$，代入顶点式得到含参数$a$的表达式，再代入图像经过的点$(0,-1)$即可求出$a$，得到解析式；
（2）判断平移方式：对比$y=-\frac{1}{4}x^2$和所求抛物线的顶点坐标，按照“左加右减”的平移规律即可得出平移方法；
（3）分析抛物线性质：对于顶点式$y=a(x-h)^2$，可直接根据$h$的值得到顶点坐标、对称轴，根据$a$的正负判断开口方向，再结合开口方向分析函数增减性；
（4）求旋转后的解析式：绕顶点旋转$180°$时，顶点坐标不变，开口方向相反，即$a$变为原来的相反数，代入即可得到新解析式。
【解析】
(1) 由图象可知，抛物线的顶点坐标为$(2,0)$，因此抛物线表达式可写为$y=a(x-2)^2$。
将点$(0,-1)$代入表达式，得：$-1=a×(0-2)^2$，即$-1=4a$，解得$a=-\frac{1}{4}$。
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$。
(2) 抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，所求抛物线顶点坐标为$(2,0)$，根据二次函数平移“左加右减”的规律，将抛物线$y=-\frac{1}{4}x^2$向右平移2个单位长度，即可得到抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$。
(3) 对于抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$：
顶点坐标为$(2,0)$，对称轴为直线$x=2$；
因为$a=-\frac{1}{4}＜0$，所以抛物线开口向下；
函数增减性：当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小。
(4) 将抛物线绕顶点旋转$180°$后，顶点坐标仍为$(2,0)$，开口方向变为向上，即$a$变为原来的相反数$\frac{1}{4}$，因此旋转后的抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2}$
(2) 向右平移2个单位长度
(3) 顶点坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x=2}$，开口向下；当$\boldsymbol{x＜2}$时，$y$随$x$的增大而增大，当$\boldsymbol{x＞2}$时，$y$随$x$的增大而减小
(4) $\boldsymbol{y=\dfrac{1}{4}(x-2)^2}$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数平移规律、二次函数图像性质
【点评】
本题围绕二次函数顶点式的应用展开，涵盖了解析式求解、平移变换、性质分析、旋转变换等考点，是二次函数的基础题型，解题关键是熟练掌握顶点式$y=a(x-h)^2$中各参数的含义以及图像变换的规律。
【难度系数】
0.8
