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7. 如图甲所示，1标准大气压下，普通煤炉把壶内20 ℃，5 kg水烧开需完全燃烧一定质量的煤，此过程中，烧水效率为25%，为提高煤炉效率，浙江大学创意小组设计了双加热煤炉，如图乙所示，在消耗等量煤烧开壶内初温相同，等量水的过程中，还可额外把炉壁间10 kg水从20 ℃加热至40 ℃，$q_{煤}=3×10^7 J/kg$，$c_{水}=4.2×10^3 J/(kg·℃)$，以上过程中，问：
(1)普通煤炉完全燃烧煤的质量有多大？
(2)双加热煤炉的烧水效率有多大？
(1)普通煤炉完全燃烧煤的质量有多大？
(2)双加热煤炉的烧水效率有多大？
答案
(1)水吸收的热量:
$Q_{\mathrm{吸}}=c_{\mathrm{水}}m_{\mathrm{水}}\Delta t_1=4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·° C)}×5\ \mathrm{kg}×(100\ \mathrm{° C}-20\ \mathrm{° C})=1.68×10^6\ \mathrm{J};$
煤完全燃烧放出的热量:
$Q_{\mathrm{放}}=\frac{Q_{\mathrm{吸}}}{\eta}=\frac{1.68×10^6\ \mathrm{J}}{25\%}=6.72×10^6\ \mathrm{J},$
由$Q_{\mathrm{放}}=mq$可得普通煤炉完全燃烧煤的质量:
$m_{\mathrm{煤}}=\frac{Q_{\mathrm{放}}}{q_{\mathrm{煤}}}=\frac{6.72×10^6\ \mathrm{J}}{3×10^7\ \mathrm{J/kg}}=0.224\ \mathrm{kg}.$
(2)炉壁间水吸收的热量:
$Q_{\mathrm{吸}}'=c_{\mathrm{水}}m_{\mathrm{水}}'\Delta t_2=4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·° C)}×10\ \mathrm{kg}×(40\ \mathrm{° C}-20\ \mathrm{° C})=8.4×10^5\ \mathrm{J},$
而壶内水的初温、末温以及质量均不变,则壶内水吸收热量不变,
所以,双加热煤炉中水吸收的总热量:
$Q_{\mathrm{吸总}}=Q_{\mathrm{吸}}+Q_{\mathrm{吸}}'=1.68×10^6\ \mathrm{J}+8.4×10^5\ \mathrm{J}=2.52×10^6\ \mathrm{J};$
双加热煤炉的烧水效率:
$\eta'=\frac{Q_{\mathrm{吸总}}}{Q_{\mathrm{放}}}=\frac{2.52×10^6\ \mathrm{J}}{6.72×10^6\ \mathrm{J}}=37.5\%.$
$Q_{\mathrm{吸}}=c_{\mathrm{水}}m_{\mathrm{水}}\Delta t_1=4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·° C)}×5\ \mathrm{kg}×(100\ \mathrm{° C}-20\ \mathrm{° C})=1.68×10^6\ \mathrm{J};$
煤完全燃烧放出的热量:
$Q_{\mathrm{放}}=\frac{Q_{\mathrm{吸}}}{\eta}=\frac{1.68×10^6\ \mathrm{J}}{25\%}=6.72×10^6\ \mathrm{J},$
由$Q_{\mathrm{放}}=mq$可得普通煤炉完全燃烧煤的质量:
$m_{\mathrm{煤}}=\frac{Q_{\mathrm{放}}}{q_{\mathrm{煤}}}=\frac{6.72×10^6\ \mathrm{J}}{3×10^7\ \mathrm{J/kg}}=0.224\ \mathrm{kg}.$
(2)炉壁间水吸收的热量:
$Q_{\mathrm{吸}}'=c_{\mathrm{水}}m_{\mathrm{水}}'\Delta t_2=4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·° C)}×10\ \mathrm{kg}×(40\ \mathrm{° C}-20\ \mathrm{° C})=8.4×10^5\ \mathrm{J},$
而壶内水的初温、末温以及质量均不变,则壶内水吸收热量不变,
所以,双加热煤炉中水吸收的总热量:
$Q_{\mathrm{吸总}}=Q_{\mathrm{吸}}+Q_{\mathrm{吸}}'=1.68×10^6\ \mathrm{J}+8.4×10^5\ \mathrm{J}=2.52×10^6\ \mathrm{J};$
双加热煤炉的烧水效率:
$\eta'=\frac{Q_{\mathrm{吸总}}}{Q_{\mathrm{放}}}=\frac{2.52×10^6\ \mathrm{J}}{6.72×10^6\ \mathrm{J}}=37.5\%.$
解析
【分析】
先解决第(1)问：1标准大气压下水的沸点为100℃，先计算普通煤炉中壶内水烧开吸收的热量，再根据烧水效率求出煤完全燃烧放出的总热量，最后利用热值公式算出煤的质量。第(2)问：双加热煤炉中壶内水吸收的热量不变，额外计算炉壁间水吸收的热量，两者之和为总吸收热量；煤的质量不变则放出的热量与第(1)问相同，再用总吸收热量除以总放热得到新的烧水效率。
【解析】
(1) 1标准大气压下水的沸点为100℃，壶内水的温度变化：$\Delta t_1 = 100°\mathrm{C} - 20°\mathrm{C} = 80°\mathrm{C}$。
壶内水吸收的热量：
$Q_{\mathrm{吸}} = c_{\mathrm{水}}m_{\mathrm{水}}\Delta t_1 = 4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·℃)} ×5\ \mathrm{kg} ×80°\mathrm{C} = 1.68×10^6\ \mathrm{J}$。
已知普通煤炉烧水效率$\eta=25\%$，则煤完全燃烧放出的热量：
$Q_{\mathrm{放}} = \frac{Q_{\mathrm{吸}}}{\eta} = \frac{1.68×10^6\ \mathrm{J}}{25\%} = 6.72×10^6\ \mathrm{J}$。
根据$Q_{\mathrm{放}} = m_{\mathrm{煤}}q_{\mathrm{煤}}$，可得普通煤炉完全燃烧煤的质量：
$m_{\mathrm{煤}} = \frac{Q_{\mathrm{放}}}{q_{\mathrm{煤}}} = \frac{6.72×10^6\ \mathrm{J}}{3×10^7\ \mathrm{J/kg}} = 0.224\ \mathrm{kg}$。
(2) 炉壁间水的温度变化：$\Delta t_2 = 40°\mathrm{C} - 20°\mathrm{C} = 20°\mathrm{C}$，炉壁间水吸收的热量：
$Q_{\mathrm{吸}}' = c_{\mathrm{水}}m_{\mathrm{水}}'\Delta t_2 = 4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·℃)} ×10\ \mathrm{kg} ×20°\mathrm{C} = 8.4×10^5\ \mathrm{J}$。
双加热煤炉中壶内水吸收的热量不变，总吸收热量：
$Q_{\mathrm{吸总}} = Q_{\mathrm{吸}} + Q_{\mathrm{吸}}' = 1.68×10^6\ \mathrm{J} + 8.4×10^5\ \mathrm{J} = 2.52×10^6\ \mathrm{J}$。
煤的质量不变，放出热量仍为$Q_{\mathrm{放}}=6.72×10^6\ \mathrm{J}$，则双加热煤炉的烧水效率：
$\eta' = \frac{Q_{\mathrm{吸总}}}{Q_{\mathrm{放}}}×100\% = \frac{2.52×10^6\ \mathrm{J}}{6.72×10^6\ \mathrm{J}}×100\% = 37.5\%$。
【答案】
(1) $0.224\ \mathrm{kg}$；(2) $37.5\%$
【知识点】
热量计算、热效率、热值应用
【点评】
本题考查热学中热量计算与热效率的综合应用，解题关键是明确各部分热量的计算逻辑，理清总吸收热量和总放出热量的关系，属于常规基础热学计算题，难度适中。
【难度系数】
0.6
先解决第(1)问：1标准大气压下水的沸点为100℃，先计算普通煤炉中壶内水烧开吸收的热量，再根据烧水效率求出煤完全燃烧放出的总热量，最后利用热值公式算出煤的质量。第(2)问：双加热煤炉中壶内水吸收的热量不变，额外计算炉壁间水吸收的热量，两者之和为总吸收热量；煤的质量不变则放出的热量与第(1)问相同，再用总吸收热量除以总放热得到新的烧水效率。
【解析】
(1) 1标准大气压下水的沸点为100℃，壶内水的温度变化：$\Delta t_1 = 100°\mathrm{C} - 20°\mathrm{C} = 80°\mathrm{C}$。
壶内水吸收的热量：
$Q_{\mathrm{吸}} = c_{\mathrm{水}}m_{\mathrm{水}}\Delta t_1 = 4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·℃)} ×5\ \mathrm{kg} ×80°\mathrm{C} = 1.68×10^6\ \mathrm{J}$。
已知普通煤炉烧水效率$\eta=25\%$，则煤完全燃烧放出的热量：
$Q_{\mathrm{放}} = \frac{Q_{\mathrm{吸}}}{\eta} = \frac{1.68×10^6\ \mathrm{J}}{25\%} = 6.72×10^6\ \mathrm{J}$。
根据$Q_{\mathrm{放}} = m_{\mathrm{煤}}q_{\mathrm{煤}}$，可得普通煤炉完全燃烧煤的质量：
$m_{\mathrm{煤}} = \frac{Q_{\mathrm{放}}}{q_{\mathrm{煤}}} = \frac{6.72×10^6\ \mathrm{J}}{3×10^7\ \mathrm{J/kg}} = 0.224\ \mathrm{kg}$。
(2) 炉壁间水的温度变化：$\Delta t_2 = 40°\mathrm{C} - 20°\mathrm{C} = 20°\mathrm{C}$，炉壁间水吸收的热量：
$Q_{\mathrm{吸}}' = c_{\mathrm{水}}m_{\mathrm{水}}'\Delta t_2 = 4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·℃)} ×10\ \mathrm{kg} ×20°\mathrm{C} = 8.4×10^5\ \mathrm{J}$。
双加热煤炉中壶内水吸收的热量不变，总吸收热量：
$Q_{\mathrm{吸总}} = Q_{\mathrm{吸}} + Q_{\mathrm{吸}}' = 1.68×10^6\ \mathrm{J} + 8.4×10^5\ \mathrm{J} = 2.52×10^6\ \mathrm{J}$。
煤的质量不变，放出热量仍为$Q_{\mathrm{放}}=6.72×10^6\ \mathrm{J}$，则双加热煤炉的烧水效率：
$\eta' = \frac{Q_{\mathrm{吸总}}}{Q_{\mathrm{放}}}×100\% = \frac{2.52×10^6\ \mathrm{J}}{6.72×10^6\ \mathrm{J}}×100\% = 37.5\%$。
【答案】
(1) $0.224\ \mathrm{kg}$；(2) $37.5\%$
【知识点】
热量计算、热效率、热值应用
【点评】
本题考查热学中热量计算与热效率的综合应用，解题关键是明确各部分热量的计算逻辑，理清总吸收热量和总放出热量的关系，属于常规基础热学计算题，难度适中。
【难度系数】
0.6
8.（工业园区校级二模）某物理兴趣小组的同学，用天然气给10 kg的水加热，同时绘制了如图所示的加热过程中水温随时间变化的图线，若在6 min内完全燃烧了0.12 kg的天然气（每分钟放热相同）。水的比热容为$4.2×10^3\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg·℃})$，天然气的热值为$5×10^7\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}$。
（1）完全燃烧0.12 kg天然气释放的热量为多少？
（2）“2～4 min”水吸收的热量为多少？
（3）在烧水过程中，“0～2 min”“2～4 min”“4～6 min”哪个时间段热效率最高？最高热效率为多少？
（1）完全燃烧0.12 kg天然气释放的热量为多少？
（2）“2～4 min”水吸收的热量为多少？
（3）在烧水过程中，“0～2 min”“2～4 min”“4～6 min”哪个时间段热效率最高？最高热效率为多少？
答案
(1)天然气完全燃烧产生的热量:
$Q_{\mathrm{放}}=m_{\mathrm{天然气}}q_{\mathrm{天然气}}=0.12\ \mathrm{kg}×5×10^7\ \mathrm{J/kg}=0.6×10^7\ \mathrm{J}.$
(2)水的质量:$m_{\mathrm{水}}=10\ \mathrm{kg}$,2～4 min,水温度升高数 $\Delta t=70\ \mathrm{° C}-50\ \mathrm{° C}=20\ \mathrm{° C},$
水吸收的热量:
$Q_{\mathrm{吸}}=cm_{\mathrm{水}}\Delta t=4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·° C)}×10\ \mathrm{kg}×20\ \mathrm{° C}=8.4×10^5\ \mathrm{J}.$
(3)由图可知,随着水温的不断升高,温度变化越来越慢,故0～2 min时间内,在吸收热量相同的情况下,水升高的温度最高,热效率最大;
0～2 min内,水温度升高数:
$\Delta t'=50\ \mathrm{° C}-20\ \mathrm{° C}=30\ \mathrm{° C},$
水吸收的热量:$Q_{\mathrm{吸}}'=cm_{\mathrm{水}}\Delta t'=4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·° C)}×10\ \mathrm{kg}×30\ \mathrm{° C}=1.26×10^6\ \mathrm{J},$
0～2 min内,天然气燃烧释放的热量:
$Q_{\mathrm{放}}'=\frac{1}{3}Q_{\mathrm{放}}=\frac{1}{3}×0.6×10^7\ \mathrm{J}=0.2×10^7\ \mathrm{J},$
烧水时的热效率:$\eta=\frac{Q_{\mathrm{吸}}'}{Q_{\mathrm{放}}'}=\frac{1.26×10^6\ \mathrm{J}}{0.2×10^7\ \mathrm{J}}=63\%.$
$Q_{\mathrm{放}}=m_{\mathrm{天然气}}q_{\mathrm{天然气}}=0.12\ \mathrm{kg}×5×10^7\ \mathrm{J/kg}=0.6×10^7\ \mathrm{J}.$
(2)水的质量:$m_{\mathrm{水}}=10\ \mathrm{kg}$,2～4 min,水温度升高数 $\Delta t=70\ \mathrm{° C}-50\ \mathrm{° C}=20\ \mathrm{° C},$
水吸收的热量:
$Q_{\mathrm{吸}}=cm_{\mathrm{水}}\Delta t=4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·° C)}×10\ \mathrm{kg}×20\ \mathrm{° C}=8.4×10^5\ \mathrm{J}.$
(3)由图可知,随着水温的不断升高,温度变化越来越慢,故0～2 min时间内,在吸收热量相同的情况下,水升高的温度最高,热效率最大;
0～2 min内,水温度升高数:
$\Delta t'=50\ \mathrm{° C}-20\ \mathrm{° C}=30\ \mathrm{° C},$
水吸收的热量:$Q_{\mathrm{吸}}'=cm_{\mathrm{水}}\Delta t'=4.2×10^3\ \mathrm{J/(kg·° C)}×10\ \mathrm{kg}×30\ \mathrm{° C}=1.26×10^6\ \mathrm{J},$
0～2 min内,天然气燃烧释放的热量:
$Q_{\mathrm{放}}'=\frac{1}{3}Q_{\mathrm{放}}=\frac{1}{3}×0.6×10^7\ \mathrm{J}=0.2×10^7\ \mathrm{J},$
烧水时的热效率:$\eta=\frac{Q_{\mathrm{吸}}'}{Q_{\mathrm{放}}'}=\frac{1.26×10^6\ \mathrm{J}}{0.2×10^7\ \mathrm{J}}=63\%.$
解析
【分析】
本题结合温度随时间变化的图像，运用热学相关公式解题：
1. 求天然气完全燃烧释放的热量，直接使用热值公式 $ Q_{\mathrm{放}} = mq $，代入天然气的质量和热值计算；
2. 求某时间段水吸收的热量，利用吸热公式 $ Q_{\mathrm{吸}} = cm\Delta t $，先从图像中找出该时间段水升高的温度 $ \Delta t $，再代入水的比热容和质量计算；
3. 热效率是水吸收的热量与燃料放出热量的比值，因每分钟天然气放热相同，各时间段放热与时间成正比；结合图像，相同时间内水升温越多，吸收热量越多，热效率越高，据此计算最高热效率。
【解析】
(1) 天然气完全燃烧释放的热量根据公式 $ Q_{\mathrm{放}} = m_{\mathrm{天然气}} q_{\mathrm{天然气}} $ 计算：
$ Q_{\mathrm{放}} = 0.12\ \mathrm{kg} × 5 × 10^7\ \mathrm{J/kg} = 0.6 × 10^7\ \mathrm{J} $。
(2) 2～4 min内，水升高的温度 $ \Delta t = 70\ \mathrm{℃} - 50\ \mathrm{℃} = 20\ \mathrm{℃} $，水吸收的热量根据公式 $ Q_{\mathrm{吸}} = c m_{\mathrm{水}} \Delta t $ 计算：
$ Q_{\mathrm{吸}} = 4.2 × 10^3\ \mathrm{J/(kg·℃)} × 10\ \mathrm{kg} × 20\ \mathrm{℃} = 8.4 × 10^5\ \mathrm{J} $。
(3) 由图像可知，0～2 min内水升高的温度 $ \Delta t' = 50\ \mathrm{℃} - 20\ \mathrm{℃} = 30\ \mathrm{℃} $，该时间段水吸收的热量：
$ Q_{\mathrm{吸}}' = 4.2 × 10^3\ \mathrm{J/(kg·℃)} × 10\ \mathrm{kg} × 30\ \mathrm{℃} = 1.26 × 10^6\ \mathrm{J} $。
因6 min内完全燃烧0.12 kg天然气，每分钟放热相同，故0～2 min内天然气放出的热量：
$ Q_{\mathrm{放}}' = \frac{2}{6} Q_{\mathrm{放}} = \frac{1}{3} × 0.6 × 10^7\ \mathrm{J} = 0.2 × 10^7\ \mathrm{J} $。
热效率 $ \eta = \frac{Q_{\mathrm{吸}}'}{Q_{\mathrm{放}}'} = \frac{1.26 × 10^6\ \mathrm{J}}{0.2 × 10^7\ \mathrm{J}} = 63\% $。
结合图像，0～2 min内相同时间水升高温度最多，故该时间段热效率最高，最高热效率为63%。
【答案】
(1) $ 0.6×10^7\ \mathrm{J} $；(2) $ 8.4×10^5\ \mathrm{J} $；(3) 0～2 min时间段热效率最高，最高热效率为63%。
【知识点】
热值计算、热量计算、热效率
【点评】
本题结合温度-时间图像考查热学综合计算，需准确提取图像中的温度变化信息，熟练运用相关公式，理解热效率的物理意义，属于中等难度的热学应用题。
【难度系数】
0.5
本题结合温度随时间变化的图像，运用热学相关公式解题：
1. 求天然气完全燃烧释放的热量，直接使用热值公式 $ Q_{\mathrm{放}} = mq $，代入天然气的质量和热值计算；
2. 求某时间段水吸收的热量，利用吸热公式 $ Q_{\mathrm{吸}} = cm\Delta t $，先从图像中找出该时间段水升高的温度 $ \Delta t $，再代入水的比热容和质量计算；
3. 热效率是水吸收的热量与燃料放出热量的比值，因每分钟天然气放热相同，各时间段放热与时间成正比；结合图像，相同时间内水升温越多，吸收热量越多，热效率越高，据此计算最高热效率。
【解析】
(1) 天然气完全燃烧释放的热量根据公式 $ Q_{\mathrm{放}} = m_{\mathrm{天然气}} q_{\mathrm{天然气}} $ 计算：
$ Q_{\mathrm{放}} = 0.12\ \mathrm{kg} × 5 × 10^7\ \mathrm{J/kg} = 0.6 × 10^7\ \mathrm{J} $。
(2) 2～4 min内，水升高的温度 $ \Delta t = 70\ \mathrm{℃} - 50\ \mathrm{℃} = 20\ \mathrm{℃} $，水吸收的热量根据公式 $ Q_{\mathrm{吸}} = c m_{\mathrm{水}} \Delta t $ 计算：
$ Q_{\mathrm{吸}} = 4.2 × 10^3\ \mathrm{J/(kg·℃)} × 10\ \mathrm{kg} × 20\ \mathrm{℃} = 8.4 × 10^5\ \mathrm{J} $。
(3) 由图像可知，0～2 min内水升高的温度 $ \Delta t' = 50\ \mathrm{℃} - 20\ \mathrm{℃} = 30\ \mathrm{℃} $，该时间段水吸收的热量：
$ Q_{\mathrm{吸}}' = 4.2 × 10^3\ \mathrm{J/(kg·℃)} × 10\ \mathrm{kg} × 30\ \mathrm{℃} = 1.26 × 10^6\ \mathrm{J} $。
因6 min内完全燃烧0.12 kg天然气，每分钟放热相同，故0～2 min内天然气放出的热量：
$ Q_{\mathrm{放}}' = \frac{2}{6} Q_{\mathrm{放}} = \frac{1}{3} × 0.6 × 10^7\ \mathrm{J} = 0.2 × 10^7\ \mathrm{J} $。
热效率 $ \eta = \frac{Q_{\mathrm{吸}}'}{Q_{\mathrm{放}}'} = \frac{1.26 × 10^6\ \mathrm{J}}{0.2 × 10^7\ \mathrm{J}} = 63\% $。
结合图像，0～2 min内相同时间水升高温度最多，故该时间段热效率最高，最高热效率为63%。
【答案】
(1) $ 0.6×10^7\ \mathrm{J} $；(2) $ 8.4×10^5\ \mathrm{J} $；(3) 0～2 min时间段热效率最高，最高热效率为63%。
【知识点】
热值计算、热量计算、热效率
【点评】
本题结合温度-时间图像考查热学综合计算，需准确提取图像中的温度变化信息，熟练运用相关公式，理解热效率的物理意义，属于中等难度的热学应用题。
【难度系数】
0.5
