登录
1 某校拟派一名跳高运动员参加中学生运动会，对甲、乙两名跳高运动员进行了10次选拔比赛，他们的成绩(单位:cm)如图所示(成绩为整数)。
(1) 求甲、乙两名跳高运动员的平均成绩。
(2) 求甲、乙两名跳高运动员成绩的方差。
(3) 如果成绩达到166 cm就很有可能夺冠，那么为了夺冠应该选谁参加比赛？如果成绩达到172 cm就能打破纪录，那么为了打破纪录应该选谁参加比赛？
(1) 求甲、乙两名跳高运动员的平均成绩。
(2) 求甲、乙两名跳高运动员成绩的方差。
(3) 如果成绩达到166 cm就很有可能夺冠，那么为了夺冠应该选谁参加比赛？如果成绩达到172 cm就能打破纪录，那么为了打破纪录应该选谁参加比赛？
答案
(1) $\overline{x}_甲=\frac{1}{10}×(170+165+168+169+172+173+168+167+169+169)=169(\mathrm{cm})$；$\overline{x}_乙=\frac{1}{10}×(160+173+172+161+162+171+170+175+174+162)=168(\mathrm{cm})$
(2) $s^2_甲=\frac{1}{10}×[(170-169)^2+(165-169)^2+(168-169)^2+(169-169)^2+(172-169)^2+(173-169)^2+(168-169)^2+(167-169)^2+(169-169)^2+(169-169)^2]=4.8$；$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(160-168)^2+(173-168)^2+(172-168)^2+(161-168)^2+(162-168)^2+(171-168)^2+(170-168)^2+(175-168)^2+(174-168)^2+(162-168)^2]=32.4$
(3) 在10次比赛中，甲有9次成绩达到或超过166 cm，而乙只有6次成绩达到或超过166 cm，所以为了夺冠应该选甲参加比赛。在10次比赛中，甲只有2次成绩达到或超过172 cm，而乙有4次成绩达到或超过172 cm，而且乙的最好成绩比甲的最好成绩高，所以为了打破纪录应该选乙参加比赛
(2) $s^2_甲=\frac{1}{10}×[(170-169)^2+(165-169)^2+(168-169)^2+(169-169)^2+(172-169)^2+(173-169)^2+(168-169)^2+(167-169)^2+(169-169)^2+(169-169)^2]=4.8$；$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(160-168)^2+(173-168)^2+(172-168)^2+(161-168)^2+(162-168)^2+(171-168)^2+(170-168)^2+(175-168)^2+(174-168)^2+(162-168)^2]=32.4$
(3) 在10次比赛中，甲有9次成绩达到或超过166 cm，而乙只有6次成绩达到或超过166 cm，所以为了夺冠应该选甲参加比赛。在10次比赛中，甲只有2次成绩达到或超过172 cm，而乙有4次成绩达到或超过172 cm，而且乙的最好成绩比甲的最好成绩高，所以为了打破纪录应该选乙参加比赛
解析
【分析】
解题首先需要从散点图中准确读取甲、乙两名运动员10次的跳高成绩：
(1) 求平均成绩可根据算术平均数的计算公式，将10次成绩求和后除以次数10即可得到两人的平均成绩；
(2) 求方差需使用方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，将两人的成绩、对应平均成绩代入公式计算即可；
(3) 决策类问题需结合题干要求，分别统计两人成绩达到166cm、172cm的次数，对比次数多少和最好成绩高低，选择符合对应需求的运动员即可。
【解析】
(1) 读取甲的10次成绩为：170、165、168、169、172、173、168、167、169、169，
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{1}{10}×(170+165+168+169+172+173+168+167+169+169)=169(\mathrm{cm})$；
读取乙的10次成绩为：160、173、172、161、162、171、170、175、174、162，
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{1}{10}×(160+173+172+161+162+171+170+175+174+162)=168(\mathrm{cm})$。
(2) 代入方差公式计算：
$s^2_甲=\frac{1}{10}×[(170-169)^2+(165-169)^2+(168-169)^2+(169-169)^2+(172-169)^2+(173-169)^2+(168-169)^2+(167-169)^2+(169-169)^2+(169-169)^2]=4.8$；
$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(160-168)^2+(173-168)^2+(172-168)^2+(161-168)^2+(162-168)^2+(171-168)^2+(170-168)^2+(175-168)^2+(174-168)^2+(162-168)^2]=32.4$。
(3) 统计达标次数：10次比赛中，甲有9次成绩达到或超过166 cm，乙仅有6次成绩达到或超过166 cm，甲达标次数更多，因此为了夺冠选甲参加比赛；10次比赛中，甲仅有2次成绩达到或超过172 cm，乙有4次成绩达到或超过172 cm，且乙的最好成绩更高，因此为了打破纪录选乙参加比赛。
【答案】
(1) $\overline{x}_甲=169\mathrm{cm}$，$\overline{x}_乙=168\mathrm{cm}$；
(2) $s^2_甲=4.8$，$s^2_乙=32.4$；
(3) 为了夺冠应该选甲参加比赛，为了打破纪录应该选乙参加比赛。
【知识点】
平均数计算；方差计算；统计决策
【点评】
本题结合统计图考查统计知识的实际应用，解题核心是准确读取图中数据，熟练掌握平均数、方差的计算方法，同时能结合实际需求对比数据特征做出合理决策，计算时需注意避免数据读取错误和运算失误。
【难度系数】
0.7
解题首先需要从散点图中准确读取甲、乙两名运动员10次的跳高成绩：
(1) 求平均成绩可根据算术平均数的计算公式，将10次成绩求和后除以次数10即可得到两人的平均成绩；
(2) 求方差需使用方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，将两人的成绩、对应平均成绩代入公式计算即可；
(3) 决策类问题需结合题干要求，分别统计两人成绩达到166cm、172cm的次数，对比次数多少和最好成绩高低，选择符合对应需求的运动员即可。
【解析】
(1) 读取甲的10次成绩为：170、165、168、169、172、173、168、167、169、169，
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{1}{10}×(170+165+168+169+172+173+168+167+169+169)=169(\mathrm{cm})$；
读取乙的10次成绩为：160、173、172、161、162、171、170、175、174、162，
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{1}{10}×(160+173+172+161+162+171+170+175+174+162)=168(\mathrm{cm})$。
(2) 代入方差公式计算：
$s^2_甲=\frac{1}{10}×[(170-169)^2+(165-169)^2+(168-169)^2+(169-169)^2+(172-169)^2+(173-169)^2+(168-169)^2+(167-169)^2+(169-169)^2+(169-169)^2]=4.8$；
$s^2_乙=\frac{1}{10}×[(160-168)^2+(173-168)^2+(172-168)^2+(161-168)^2+(162-168)^2+(171-168)^2+(170-168)^2+(175-168)^2+(174-168)^2+(162-168)^2]=32.4$。
(3) 统计达标次数：10次比赛中，甲有9次成绩达到或超过166 cm，乙仅有6次成绩达到或超过166 cm，甲达标次数更多，因此为了夺冠选甲参加比赛；10次比赛中，甲仅有2次成绩达到或超过172 cm，乙有4次成绩达到或超过172 cm，且乙的最好成绩更高，因此为了打破纪录选乙参加比赛。
【答案】
(1) $\overline{x}_甲=169\mathrm{cm}$，$\overline{x}_乙=168\mathrm{cm}$；
(2) $s^2_甲=4.8$，$s^2_乙=32.4$；
(3) 为了夺冠应该选甲参加比赛，为了打破纪录应该选乙参加比赛。
【知识点】
平均数计算；方差计算；统计决策
【点评】
本题结合统计图考查统计知识的实际应用，解题核心是准确读取图中数据，熟练掌握平均数、方差的计算方法，同时能结合实际需求对比数据特征做出合理决策，计算时需注意避免数据读取错误和运算失误。
【难度系数】
0.7
2 科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：$μ$mol·$\mathrm{m}^{-2}$·$\mathrm{s}^{-1}$）。统计结果为35,30,23,17,20,25,32,30。若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由
小
到大
排序，再将这8株植物分成两组，共能分成7
种情况。答案
2. 小 大 7
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确“组内离差平方和最小”的核心要求：组内离差平方和越小，说明组内数据的差异越小、数据越集中。所以第一步需要将数据按从小到大的顺序排列，这样连续排列的数据是依次变化的，把连续的数分到同一组才能保证组内差异最小。接下来，8个排序后的数据要分成两组，只能在相邻两个数据之间切分（如果跳着选数据分组，组内数据差异会变大，不满足离差平方和最小的要求），8个数据之间共有7个相邻的间隔，每个间隔对应一种分法，因此总共有7种分组情况。
【解析】
1. 组内离差平方和最小的分组要求每组内数据尽可能接近，因此首先需要将数据由小到大排序，保证数据按大小顺序排列后，连续划分的组内数据差异最小。
2. 8个排序后的数据，相邻两个数据之间共有$8-1=7$个间隔，每个间隔都可以作为两组的分界点，对应一种符合要求的分组情况，因此共能分成7种情况。
【答案】
小；大；7
【知识点】
组内离差平方和、数据排序、分类计数
【点评】
本题重点考查对组内离差平方和意义的理解，以及有序数据分组的计数逻辑，只要掌握“组内离差最小需连续分组的原则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确“组内离差平方和最小”的核心要求：组内离差平方和越小，说明组内数据的差异越小、数据越集中。所以第一步需要将数据按从小到大的顺序排列，这样连续排列的数据是依次变化的，把连续的数分到同一组才能保证组内差异最小。接下来，8个排序后的数据要分成两组，只能在相邻两个数据之间切分（如果跳着选数据分组，组内数据差异会变大，不满足离差平方和最小的要求），8个数据之间共有7个相邻的间隔，每个间隔对应一种分法，因此总共有7种分组情况。
【解析】
1. 组内离差平方和最小的分组要求每组内数据尽可能接近，因此首先需要将数据由小到大排序，保证数据按大小顺序排列后，连续划分的组内数据差异最小。
2. 8个排序后的数据，相邻两个数据之间共有$8-1=7$个间隔，每个间隔都可以作为两组的分界点，对应一种符合要求的分组情况，因此共能分成7种情况。
【答案】
小；大；7
【知识点】
组内离差平方和、数据排序、分类计数
【点评】
本题重点考查对组内离差平方和意义的理解，以及有序数据分组的计数逻辑，只要掌握“组内离差最小需连续分组的原则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
3 设有两组数据，第一组数据为 3,5,7；第二组数据为 6,8,10. 分别计算这两组数据各自的组内离差平方和.
答案
3. 第一组数据:$\overline{x}=\frac{3+5+7}{3}=5$,组内离差平方和为$(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2=8$.第二组数据:$\overline{x}=\frac{6+8+10}{3}=8$,组内离差平方和为$(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2=8$
解析
【分析】
要计算组内离差平方和，首先明确其计算逻辑：首先求出一组数据的算术平均数，再计算每个数据与平均数的差（离差），将所有离差分别平方后求和，所得结果就是该组的组内离差平方和。解题时分别对两组数据按照“求均值→计算各数据与均值的离差平方→求和”的步骤计算即可。
【解析】
计算第一组数据的组内离差平方和：
1. 求第一组数据的平均数：
$\overline{x_1}=\frac{3+5+7}{3}=5$
2. 计算离差平方和：
组内离差平方和$=(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2=(-2)^2+0^2+2^2=4+0+4=8$
计算第二组数据的组内离差平方和：
1. 求第二组数据的平均数：
$\overline{x_2}=\frac{6+8+10}{3}=8$
2. 计算离差平方和：
组内离差平方和$=(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2=(-2)^2+0^2+2^2=4+0+4=8$
【答案】
第一组数据的组内离差平方和为8，第二组数据的组内离差平方和为8
【知识点】
算术平均数计算、组内离差平方和计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是牢记组内离差平方和的计算流程，计算时细心即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
要计算组内离差平方和，首先明确其计算逻辑：首先求出一组数据的算术平均数，再计算每个数据与平均数的差（离差），将所有离差分别平方后求和，所得结果就是该组的组内离差平方和。解题时分别对两组数据按照“求均值→计算各数据与均值的离差平方→求和”的步骤计算即可。
【解析】
计算第一组数据的组内离差平方和：
1. 求第一组数据的平均数：
$\overline{x_1}=\frac{3+5+7}{3}=5$
2. 计算离差平方和：
组内离差平方和$=(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2=(-2)^2+0^2+2^2=4+0+4=8$
计算第二组数据的组内离差平方和：
1. 求第二组数据的平均数：
$\overline{x_2}=\frac{6+8+10}{3}=8$
2. 计算离差平方和：
组内离差平方和$=(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2=(-2)^2+0^2+2^2=4+0+4=8$
【答案】
第一组数据的组内离差平方和为8，第二组数据的组内离差平方和为8
【知识点】
算术平均数计算、组内离差平方和计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是牢记组内离差平方和的计算流程，计算时细心即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9
4 某工厂生产一批零件，随机抽取6个零件的直径(单位：mm)为10.2,10.3,10.5,10.8,11.0,11.2.质检部门想将零件分为“合格组”和“待复检组”，要求组内直径波动最小，如何分组？计算最小组内离差平方和(结果保留小数点后两位).
答案
4. 将数据 10.2,10.3,10.5,10.8,11.0,11.2 分成两组,共有5种情况,分别计算组内离差平方和如下表:
| 分 组 | 第一组离差平方和 | 第二组离差平方和 | 组内离差平方和 |
|------------|----------------|----------------|--------------|
| 第1个间隔 | 0.00 | 0.53 | 0.53 |
| 第2个间隔 | 0.01 | 0.27 | 0.28 |
| 第3个间隔 | 0.05 | 0.08 | 0.13 |
| 第4个间隔 | 0.21 | 0.02 | 0.23 |
| 第5个间隔 | 0.45 | 0.00 | 0.45 |
由表可知,当按第3个间隔分组时,组内离差平方和最小,为0.13,即分组为$\{10.2,10.3,10.5\}$和$\{10.8,11.0,11.2\}$,第一组为“合格组”,第二组为“待复检组”
| 分 组 | 第一组离差平方和 | 第二组离差平方和 | 组内离差平方和 |
|------------|----------------|----------------|--------------|
| 第1个间隔 | 0.00 | 0.53 | 0.53 |
| 第2个间隔 | 0.01 | 0.27 | 0.28 |
| 第3个间隔 | 0.05 | 0.08 | 0.13 |
| 第4个间隔 | 0.21 | 0.02 | 0.23 |
| 第5个间隔 | 0.45 | 0.00 | 0.45 |
由表可知,当按第3个间隔分组时,组内离差平方和最小,为0.13,即分组为$\{10.2,10.3,10.5\}$和$\{10.8,11.0,11.2\}$,第一组为“合格组”,第二组为“待复检组”
解析
【分析】
离差平方和是衡量组内数据波动大小的核心指标，数值越小说明组内波动越小。本题给出的6个零件直径已按从小到大顺序排列，要分成两组且组内波动最小，不能将数值差距大的数划入同一组，因此只需考虑在相邻两个数据的间隔处切分，共5种切分情况。我们只需分别计算每种情况两组的离差平方和之和，找到总和最小的分组即可。计算离差平方和时，先求每组的平均数，再计算每个数据与组平均数差的平方，最后累加得到每组的离差平方和，相加得总离差平方和。
【解析】
已知6个零件直径从小到大排序为：10.2,10.3,10.5,10.8,11.0,11.2，共5种相邻切分的分组方式，分别计算如下：
1. 切分在第1个间隔（第一组1个，第二组5个）：
第一组仅10.2，离差平方和为0；
第二组平均数：$\frac{10.3+10.5+10.8+11.0+11.2}{5}=10.76$，离差平方和≈0.53；
总离差平方和：$0+0.53=0.53$。
2. 切分在第2个间隔（第一组2个，第二组4个）：
第一组平均数：$\frac{10.2+10.3}{2}=10.25$，离差平方和≈0.01；
第二组平均数：$\frac{10.5+10.8+11.0+11.2}{4}=10.875$，离差平方和≈0.27；
总离差平方和：$0.01+0.27=0.28$。
3. 切分在第3个间隔（第一组3个，第二组3个）：
第一组平均数：$\frac{10.2+10.3+10.5}{3}\approx10.33$，离差平方和≈0.05；
第二组平均数：$\frac{10.8+11.0+11.2}{3}=11.0$，离差平方和=0.08；
总离差平方和：$0.05+0.08=0.13$。
4. 切分在第4个间隔（第一组4个，第二组2个）：
第一组平均数：$\frac{10.2+10.3+10.5+10.8}{4}=10.45$，离差平方和=0.21；
第二组平均数：$\frac{11.0+11.2}{2}=11.1$，离差平方和=0.02；
总离差平方和：$0.21+0.02=0.23$。
5. 切分在第5个间隔（第一组5个，第二组1个）：
第一组平均数：$\frac{10.2+10.3+10.5+10.8+11.0}{5}=10.56$，离差平方和≈0.45；
第二组仅11.2，离差平方和为0；
总离差平方和：$0.45+0=0.45$。
对比5种情况的总离差平方和，0.13最小，对应分组为第一组{10.2,10.3,10.5}，第二组{10.8,11.0,11.2}。
【答案】
分组为合格组$\{10.2,10.3,10.5\}$、待复检组$\{10.8,11.0,11.2\}$，最小组内离差平方和为$\boldsymbol{0.13}$。
【知识点】
离差平方和计算、数据分组方法、数据波动衡量
【点评】
本题结合实际质检场景考查离差平方和的应用，解题关键是明确有序数据分组时仅需枚举相邻切分的情况，减少无效计算，考察了学生的计算能力和逻辑分析能力，实用性较强。
【难度系数】
0.6
离差平方和是衡量组内数据波动大小的核心指标，数值越小说明组内波动越小。本题给出的6个零件直径已按从小到大顺序排列，要分成两组且组内波动最小，不能将数值差距大的数划入同一组，因此只需考虑在相邻两个数据的间隔处切分，共5种切分情况。我们只需分别计算每种情况两组的离差平方和之和，找到总和最小的分组即可。计算离差平方和时，先求每组的平均数，再计算每个数据与组平均数差的平方，最后累加得到每组的离差平方和，相加得总离差平方和。
【解析】
已知6个零件直径从小到大排序为：10.2,10.3,10.5,10.8,11.0,11.2，共5种相邻切分的分组方式，分别计算如下：
1. 切分在第1个间隔（第一组1个，第二组5个）：
第一组仅10.2，离差平方和为0；
第二组平均数：$\frac{10.3+10.5+10.8+11.0+11.2}{5}=10.76$，离差平方和≈0.53；
总离差平方和：$0+0.53=0.53$。
2. 切分在第2个间隔（第一组2个，第二组4个）：
第一组平均数：$\frac{10.2+10.3}{2}=10.25$，离差平方和≈0.01；
第二组平均数：$\frac{10.5+10.8+11.0+11.2}{4}=10.875$，离差平方和≈0.27；
总离差平方和：$0.01+0.27=0.28$。
3. 切分在第3个间隔（第一组3个，第二组3个）：
第一组平均数：$\frac{10.2+10.3+10.5}{3}\approx10.33$，离差平方和≈0.05；
第二组平均数：$\frac{10.8+11.0+11.2}{3}=11.0$，离差平方和=0.08；
总离差平方和：$0.05+0.08=0.13$。
4. 切分在第4个间隔（第一组4个，第二组2个）：
第一组平均数：$\frac{10.2+10.3+10.5+10.8}{4}=10.45$，离差平方和=0.21；
第二组平均数：$\frac{11.0+11.2}{2}=11.1$，离差平方和=0.02；
总离差平方和：$0.21+0.02=0.23$。
5. 切分在第5个间隔（第一组5个，第二组1个）：
第一组平均数：$\frac{10.2+10.3+10.5+10.8+11.0}{5}=10.56$，离差平方和≈0.45；
第二组仅11.2，离差平方和为0；
总离差平方和：$0.45+0=0.45$。
对比5种情况的总离差平方和，0.13最小，对应分组为第一组{10.2,10.3,10.5}，第二组{10.8,11.0,11.2}。
【答案】
分组为合格组$\{10.2,10.3,10.5\}$、待复检组$\{10.8,11.0,11.2\}$，最小组内离差平方和为$\boldsymbol{0.13}$。
【知识点】
离差平方和计算、数据分组方法、数据波动衡量
【点评】
本题结合实际质检场景考查离差平方和的应用，解题关键是明确有序数据分组时仅需枚举相邻切分的情况，减少无效计算，考察了学生的计算能力和逻辑分析能力，实用性较强。
【难度系数】
0.6
