登录
1 小明解二元一次方程组$\begin{cases}x=4y①, \\ x+2y=6②\end{cases}$时，下列说法正确的是（ ）
A.直接把①代入②，消去$x$
B.直接把①代入②，消去$y$
C.直接把②代入①，消去$x$
D.直接把②代入①，消去$y$
A.直接把①代入②，消去$x$
B.直接把①代入②，消去$y$
C.直接把②代入①，消去$x$
D.直接把②代入①，消去$y$
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的基本思路，解题时先观察方程组中两个方程的特征：方程①已经直接给出了x关于y的表达式，此时遵循代入消元法的规则，将表示一个未知数的式子代入另一个方程，即可消去对应的未知数，再结合选项判断正误即可。
【解析】
观察给定的二元一次方程组，方程①为$x=4y$，是用含$y$的代数式表示$x$的形式，因此将①直接代入方程②，可将②中的$x$替换为$4y$，得到$4y+2y=6$，此过程消去了未知数$x$。
对各选项逐一判断：
A选项：符合上述推导，正确；
B选项：代入后消去的是$x$不是$y$，错误；
C、D选项：方程②不是用一个未知数表示另一个未知数的形式，无法直接代入①消元，均错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是代入消元法的基础应用题型，解题核心是准确识别出可直接代入的表达式，明确代入后消去的未知数类型，熟练掌握代入消元的基本步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查代入消元法解二元一次方程组的基本思路，解题时先观察方程组中两个方程的特征：方程①已经直接给出了x关于y的表达式，此时遵循代入消元法的规则，将表示一个未知数的式子代入另一个方程，即可消去对应的未知数，再结合选项判断正误即可。
【解析】
观察给定的二元一次方程组，方程①为$x=4y$，是用含$y$的代数式表示$x$的形式，因此将①直接代入方程②，可将②中的$x$替换为$4y$，得到$4y+2y=6$，此过程消去了未知数$x$。
对各选项逐一判断：
A选项：符合上述推导，正确；
B选项：代入后消去的是$x$不是$y$，错误；
C、D选项：方程②不是用一个未知数表示另一个未知数的形式，无法直接代入①消元，均错误。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是代入消元法的基础应用题型，解题核心是准确识别出可直接代入的表达式，明确代入后消去的未知数类型，熟练掌握代入消元的基本步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2 解方程组$\begin{cases}x=3y-1①, \\ 4y-7x=12②\end{cases}$时，把①代入②，得（ ）
A.$4(3y-1)-7x=12$
B.$4y-(3y-1)=12$
C.$(3y-1)-7x=12$
D.$4y-7(3y-1)=12$
A.$4(3y-1)-7x=12$
B.$4y-(3y-1)=12$
C.$(3y-1)-7x=12$
D.$4y-7(3y-1)=12$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的代入操作，解题思路如下：代入消元的核心是将一个方程中用含一个未知数的代数式表示的另一个未知数，替换到第二个方程中，消去一个未知数。本题中方程①已经直接给出了x关于y的表达式，我们只需将方程②中的x全部替换为$3y-1$即可，替换时注意x前面的系数-7要和整个$3y-1$相乘，所以要给$3y-1$加上括号，避免运算错误。
【解析】
已知方程①为$x=3y-1$，将其代入方程②$4y-7x=12$时，需将②中的$x$替换为$3y-1$，则原式中的$-7x$变为$-7(3y-1)$，代入后可得：$4y-7(3y-1)=12$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 代入消元法
2. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是代入消元法的基础考查题，核心要点是替换未知数时要完整替换，若代入的是多项式，需注意添加括号保证运算顺序正确，熟练掌握代入消元的基本步骤就能快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查代入消元法解二元一次方程组的代入操作，解题思路如下：代入消元的核心是将一个方程中用含一个未知数的代数式表示的另一个未知数，替换到第二个方程中，消去一个未知数。本题中方程①已经直接给出了x关于y的表达式，我们只需将方程②中的x全部替换为$3y-1$即可，替换时注意x前面的系数-7要和整个$3y-1$相乘，所以要给$3y-1$加上括号，避免运算错误。
【解析】
已知方程①为$x=3y-1$，将其代入方程②$4y-7x=12$时，需将②中的$x$替换为$3y-1$，则原式中的$-7x$变为$-7(3y-1)$，代入后可得：$4y-7(3y-1)=12$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 代入消元法
2. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是代入消元法的基础考查题，核心要点是替换未知数时要完整替换，若代入的是多项式，需注意添加括号保证运算顺序正确，熟练掌握代入消元的基本步骤就能快速得分。
【难度系数】
0.9
3 方程组$\begin{cases}y=2x, \\ x-4y=14\end{cases}$的解为 ______ 。
答案
3. $\begin{cases}x=-2, \\ y=-4\end{cases}$
解析
【分析】
观察方程组的特征，第一个方程直接给出了y用x表示的形式，适合用代入消元法求解。解题思路为：先将y=2x代入第二个方程，消去未知数y，得到仅含x的一元一次方程，解出x的值后，再将x的值代入第一个方程求出y的值，最后验证所得解是否满足两个方程即可。
【解析】
解：把两个方程分别标号为：
$\begin{cases}y=2x&① \\ x-4y=14&②\end{cases}$
将①代入②，得：
$x - 4×2x = 14$
合并同类项，得：
$-7x=14$
系数化为1，得：
$x=-2$
把$x=-2$代入①，得：
$y=2×(-2)=-4$
所以该方程组的解为$\begin{cases}x=-2 \\ y=-4\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x=-2, \\ y=-4\end{cases}$
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组的解
【点评】
本题是代入消元法的基础练习题，核心是通过代入实现“消元”，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，计算量小，掌握代入消元的基本步骤就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
观察方程组的特征，第一个方程直接给出了y用x表示的形式，适合用代入消元法求解。解题思路为：先将y=2x代入第二个方程，消去未知数y，得到仅含x的一元一次方程，解出x的值后，再将x的值代入第一个方程求出y的值，最后验证所得解是否满足两个方程即可。
【解析】
解：把两个方程分别标号为：
$\begin{cases}y=2x&① \\ x-4y=14&②\end{cases}$
将①代入②，得：
$x - 4×2x = 14$
合并同类项，得：
$-7x=14$
系数化为1，得：
$x=-2$
把$x=-2$代入①，得：
$y=2×(-2)=-4$
所以该方程组的解为$\begin{cases}x=-2 \\ y=-4\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x=-2, \\ y=-4\end{cases}$
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组的解
【点评】
本题是代入消元法的基础练习题，核心是通过代入实现“消元”，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，计算量小，掌握代入消元的基本步骤就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
4 教材 P119 习题 T1 变式 用代入消元法解下面的方程组：
(1) $\begin{cases}2x + 3y = 7, \\ x = -2y + 3;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}y = 2x - 3, \\ 4x - y = 3.\end{cases}$
(1) $\begin{cases}2x + 3y = 7, \\ x = -2y + 3;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}y = 2x - 3, \\ 4x - y = 3.\end{cases}$
答案
4. (1) $\begin{cases}x=5, \\ y=-1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=0, \\ y=-3\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=0, \\ y=-3\end{cases}$
解析
【分析】
本题考查代入消元法解二元一次方程组，解题核心是通过“代入”实现消元，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程求解。解题思路：①观察方程组，找到已经用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方程；②将该表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程；③解一元一次方程求出一个未知数的值；④将求出的未知数的值代回原表达式，求出另一个未知数的值，最后可验证解是否满足两个原方程。
【解析】
(1) 给方程组标注序号：$\begin{cases}2x + 3y = 7&① \\ x = -2y + 3&②\end{cases}$
把②代入①，可得：
$2(-2y+3)+3y=7$
去括号得：$-4y + 6 + 3y = 7$
合并同类项得：$-y + 6 = 7$
移项计算得：$y = -1$
将$y=-1$代入②，得：
$x = -2×(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$
(2) 给方程组标注序号：$\begin{cases}y = 2x - 3&① \\ 4x - y = 3&②\end{cases}$
把①代入②，可得：
$4x - (2x - 3) = 3$
去括号得：$4x - 2x + 3 = 3$
合并同类项得：$2x + 3 = 3$
移项计算得：$x = 0$
将$x=0$代入①，得：
$y = 2×0 - 3 = -3$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=5, \\ y=-1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=0, \\ y=-3\end{cases}$
【知识点】
1. 代入消元法
2. 二元一次方程组求解
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题是代入消元法的基础训练题，无需额外变形即可直接代入计算，重点考查代入消元法的基本操作步骤，掌握此类题型是后续求解复杂二元一次方程组的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查代入消元法解二元一次方程组，解题核心是通过“代入”实现消元，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程求解。解题思路：①观察方程组，找到已经用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方程；②将该表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程；③解一元一次方程求出一个未知数的值；④将求出的未知数的值代回原表达式，求出另一个未知数的值，最后可验证解是否满足两个原方程。
【解析】
(1) 给方程组标注序号：$\begin{cases}2x + 3y = 7&① \\ x = -2y + 3&②\end{cases}$
把②代入①，可得：
$2(-2y+3)+3y=7$
去括号得：$-4y + 6 + 3y = 7$
合并同类项得：$-y + 6 = 7$
移项计算得：$y = -1$
将$y=-1$代入②，得：
$x = -2×(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$
(2) 给方程组标注序号：$\begin{cases}y = 2x - 3&① \\ 4x - y = 3&②\end{cases}$
把①代入②，可得：
$4x - (2x - 3) = 3$
去括号得：$4x - 2x + 3 = 3$
合并同类项得：$2x + 3 = 3$
移项计算得：$x = 0$
将$x=0$代入①，得：
$y = 2×0 - 3 = -3$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=5, \\ y=-1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=0, \\ y=-3\end{cases}$
【知识点】
1. 代入消元法
2. 二元一次方程组求解
3. 一元一次方程解法
【点评】
本题是代入消元法的基础训练题，无需额外变形即可直接代入计算，重点考查代入消元法的基本操作步骤，掌握此类题型是后续求解复杂二元一次方程组的基础。
【难度系数】
0.9
5 小明解二元一次方程组 $\begin{cases}3x -4y=5①, \\x-2y=3②\end{cases}$ 时写出了四条不同的路径，其中最合适的解法是（ ）
A.由①，得 $x=\frac{5+4y}{3}$，代入②
B.由①，得 $y=\frac{3x-5}{4}$，代入②
C.由②，得 $y=-\frac{x-3}{2}$，代入①
D.由②，得 $x=3+2y$，代入①
A.由①，得 $x=\frac{5+4y}{3}$，代入②
B.由①，得 $y=\frac{3x-5}{4}$，代入②
C.由②，得 $y=-\frac{x-3}{2}$，代入①
D.由②，得 $x=3+2y$，代入①
答案
5. D
解析
【分析】
解代入消元法的二元一次方程组时，优先选择未知数系数为±1的方程进行变形，这样变形后不含分母，能简化后续计算、减少出错。观察题干的方程组，方程②中x的系数为1，是最简单的系数，将其变形为用y表示x的形式时不会出现分数，是最合适的解法思路。
【解析】
我们逐一分析选项：
选项A、B：对系数均不为1的方程①变形，得到的x或y的表达式均含有分母，代入后计算繁琐，不是最优解法；
选项C：对②变形为y的表达式，出现分母2，代入后仍有分数运算，不够简便；
选项D：对系数为1的x所在的方程②变形，移项得x=3+2y，表达式无分数，代入①后计算最简便，是最合适的解法。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查二元一次方程组代入消元法的最优变形选择，掌握“优先变形系数为±1的未知数”的技巧，可有效提升解题效率，降低计算错误概率。
【难度系数】
0.9
解代入消元法的二元一次方程组时，优先选择未知数系数为±1的方程进行变形，这样变形后不含分母，能简化后续计算、减少出错。观察题干的方程组，方程②中x的系数为1，是最简单的系数，将其变形为用y表示x的形式时不会出现分数，是最合适的解法思路。
【解析】
我们逐一分析选项：
选项A、B：对系数均不为1的方程①变形，得到的x或y的表达式均含有分母，代入后计算繁琐，不是最优解法；
选项C：对②变形为y的表达式，出现分母2，代入后仍有分数运算，不够简便；
选项D：对系数为1的x所在的方程②变形，移项得x=3+2y，表达式无分数，代入①后计算最简便，是最合适的解法。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查二元一次方程组代入消元法的最优变形选择，掌握“优先变形系数为±1的未知数”的技巧，可有效提升解题效率，降低计算错误概率。
【难度系数】
0.9
6 教材P116例2变式 用代入消元法解方程组$\begin{cases}x+3y=10①, \\ 3x-5y=2②,\end{cases}$ 较简便的步骤是先把方程 ______ 变形为 ______ ，再代入方程 ______ ，求得 ______ 的值，最后求出 ______ 的值。
答案
6. ① $x=10-3y$ ② $y$ $x$
解析
【分析】
使用代入消元法解二元一次方程组时，为了简化计算，通常优先选择未知数系数为1或-1的方程进行变形，避免做除法运算，减少出错概率。观察本题的方程组，方程①中x的系数为1，因此先对①变形，用含y的代数式表示x，再代入方程②消去x，得到仅含y的一元一次方程，先求出y的值，最后再代回求x的值即可。
【解析】
1. 观察方程组的系数特征：方程①中x的系数是1，变形难度最低，因此优先选择方程①变形；
2. 将方程①移项，变形为$x=10-3y$；
3. 把$x=10-3y$代入方程②，消去未知数x，此时方程②仅含y，可直接求解得到y的值；
4. 将求得的y值代入$x=10-3y$，即可求出x的值，得到方程组的完整解。
【答案】
①；$x=10-3y$；②；$y$；$x$
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的步骤优化，解题时优先选择系数为1或-1的未知数所在的方程变形，能有效简化计算流程，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
使用代入消元法解二元一次方程组时，为了简化计算，通常优先选择未知数系数为1或-1的方程进行变形，避免做除法运算，减少出错概率。观察本题的方程组，方程①中x的系数为1，因此先对①变形，用含y的代数式表示x，再代入方程②消去x，得到仅含y的一元一次方程，先求出y的值，最后再代回求x的值即可。
【解析】
1. 观察方程组的系数特征：方程①中x的系数是1，变形难度最低，因此优先选择方程①变形；
2. 将方程①移项，变形为$x=10-3y$；
3. 把$x=10-3y$代入方程②，消去未知数x，此时方程②仅含y，可直接求解得到y的值；
4. 将求得的y值代入$x=10-3y$，即可求出x的值，得到方程组的完整解。
【答案】
①；$x=10-3y$；②；$y$；$x$
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查代入消元法解二元一次方程组的步骤优化，解题时优先选择系数为1或-1的未知数所在的方程变形，能有效简化计算流程，降低出错概率。
【难度系数】
0.9
7 用代入消元法解下面的方程组：
(1) $\begin{cases}5x - y = 3, \\3x + 2y = 7;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\frac{1}{2}x + 4y = 27, \\x - \frac{1}{3}y = 4.\end{cases}$
(1) $\begin{cases}5x - y = 3, \\3x + 2y = 7;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\frac{1}{2}x + 4y = 27, \\x - \frac{1}{3}y = 4.\end{cases}$
答案
7. (1) $\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=6, \\ y=6\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x=6, \\ y=6\end{cases}$
解析
【分析】
代入消元法的核心是“消元”，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，通用步骤为：1. 选择系数较简单的方程，把其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示；2. 将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程；3. 解一元一次方程得到一个未知数的值；4. 回代求另一个未知数的值，得到方程组的解。
对于(1)，第一个方程中y的系数为-1，便于变形为用x表示y的形式，代入第二个方程即可消去y求解；对于(2)，第二个方程中x的系数为1，便于变形为用y表示x的形式，代入第一个方程即可消去x求解。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases}5x - y = 3&① \\3x + 2y = 7&② \end{cases}$
由①变形得：$y = 5x - 3$ ③
把③代入②得：$3x + 2(5x - 3) = 7$
去括号：$3x + 10x - 6 = 7$
移项、合并同类项得：$13x = 13$
解得：$x = 1$
把$x=1$代入③得：$y = 5×1 - 3 = 2$
(2) 给方程组标号：$\begin{cases}\frac{1}{2}x + 4y = 27&① \\x - \frac{1}{3}y = 4&② \end{cases}$
由②变形得：$x = 4 + \frac{1}{3}y$ ③
把③代入①得：$\frac{1}{2}(4 + \frac{1}{3}y) + 4y = 27$
去括号：$2 + \frac{1}{6}y + 4y = 27$
移项、合并同类项得：$\frac{25}{6}y = 25$
解得：$y = 6$
把$y=6$代入③得：$x = 4 + \frac{1}{3}×6 = 6$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$；(2) $\begin{cases}x=6, \\ y=6\end{cases}$
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组、一元一次方程的解法
【点评】
本题是代入消元法的基础应用题，解题时优先选择系数为1或-1的未知数进行变形，可简化计算过程，主要考查学生对代入消元法步骤的掌握程度和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
代入消元法的核心是“消元”，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，通用步骤为：1. 选择系数较简单的方程，把其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示；2. 将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程；3. 解一元一次方程得到一个未知数的值；4. 回代求另一个未知数的值，得到方程组的解。
对于(1)，第一个方程中y的系数为-1，便于变形为用x表示y的形式，代入第二个方程即可消去y求解；对于(2)，第二个方程中x的系数为1，便于变形为用y表示x的形式，代入第一个方程即可消去x求解。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases}5x - y = 3&① \\3x + 2y = 7&② \end{cases}$
由①变形得：$y = 5x - 3$ ③
把③代入②得：$3x + 2(5x - 3) = 7$
去括号：$3x + 10x - 6 = 7$
移项、合并同类项得：$13x = 13$
解得：$x = 1$
把$x=1$代入③得：$y = 5×1 - 3 = 2$
(2) 给方程组标号：$\begin{cases}\frac{1}{2}x + 4y = 27&① \\x - \frac{1}{3}y = 4&② \end{cases}$
由②变形得：$x = 4 + \frac{1}{3}y$ ③
把③代入①得：$\frac{1}{2}(4 + \frac{1}{3}y) + 4y = 27$
去括号：$2 + \frac{1}{6}y + 4y = 27$
移项、合并同类项得：$\frac{25}{6}y = 25$
解得：$y = 6$
把$y=6$代入③得：$x = 4 + \frac{1}{3}×6 = 6$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$；(2) $\begin{cases}x=6, \\ y=6\end{cases}$
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组、一元一次方程的解法
【点评】
本题是代入消元法的基础应用题，解题时优先选择系数为1或-1的未知数进行变形，可简化计算过程，主要考查学生对代入消元法步骤的掌握程度和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
