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9 [2024赤峰]用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板.现在需要58块C型钢板、40块D型钢板,问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块?设用A型钢板x块,用B型钢板y块,则可列方程组为（
A.$\begin{cases}3x + 2y = 40, \\4x + 5y = 58\end{cases}$
B.$\begin{cases}3x + 5y = 40, \\4x + 2y = 58\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + 5y = 58, \\4x + 2y = 40\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x + 4y = 58, \\5x + 2y = 40\end{cases}$
C
）A.$\begin{cases}3x + 2y = 40, \\4x + 5y = 58\end{cases}$
B.$\begin{cases}3x + 5y = 40, \\4x + 2y = 58\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + 5y = 58, \\4x + 2y = 40\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x + 4y = 58, \\5x + 2y = 40\end{cases}$
答案
9. C
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中的两个等量关系：一是A型、B型钢板制成的C型钢板总数量为58块，二是A型、B型钢板制成的D型钢板总数量为40块。先分别表示出x块A型钢板、y块B型钢板能制成的C型、D型钢板的数量，再对应两个等量关系列出方程，组合成方程组后匹配选项即可。
【解析】
已知设用A型钢板x块，B型钢板y块：
1. 列C型钢板的等量方程：1块A型钢板可制3块C型，x块A型可制$3x$块C型；1块B型钢板可制5块C型，y块B型可制$5y$块C型，C型总需求为58块，因此得方程：$3x + 5y = 58$。
2. 列D型钢板的等量方程：1块A型钢板可制4块D型，x块A型可制$4x$块D型；1块B型钢板可制2块D型，y块B型可制$2y$块D型，D型总需求为40块，因此得方程：$4x + 2y = 40$。
联立可得方程组$\begin{cases}3x + 5y = 58, \\4x + 2y = 40\end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查从实际应用场景中提取等量关系的能力，解题的关键是理清不同型号钢板的产出对应关系，避免混淆数量对应关系即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确题目中的两个等量关系：一是A型、B型钢板制成的C型钢板总数量为58块，二是A型、B型钢板制成的D型钢板总数量为40块。先分别表示出x块A型钢板、y块B型钢板能制成的C型、D型钢板的数量，再对应两个等量关系列出方程，组合成方程组后匹配选项即可。
【解析】
已知设用A型钢板x块，B型钢板y块：
1. 列C型钢板的等量方程：1块A型钢板可制3块C型，x块A型可制$3x$块C型；1块B型钢板可制5块C型，y块B型可制$5y$块C型，C型总需求为58块，因此得方程：$3x + 5y = 58$。
2. 列D型钢板的等量方程：1块A型钢板可制4块D型，x块A型可制$4x$块D型；1块B型钢板可制2块D型，y块B型可制$2y$块D型，D型总需求为40块，因此得方程：$4x + 2y = 40$。
联立可得方程组$\begin{cases}3x + 5y = 58, \\4x + 2y = 40\end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查从实际应用场景中提取等量关系的能力，解题的关键是理清不同型号钢板的产出对应关系，避免混淆数量对应关系即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
10 已知 $\begin{cases}x=1, \\ y=3\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x=0, \\ y=-2\end{cases}$ 都是关于 $x,y$ 的方程 $ax - y = b$ 的解，则 $a - b$ 的值是（ ）
A.$-3$
B.$2$
C.$3$
D.$7$
A.$-3$
B.$2$
C.$3$
D.$7$
答案
10. C
解析
【分析】
解题首先要明确二元一次方程解的定义：能让方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知两组数值都是方程的解，所以将两组解分别代入原方程，就能得到关于参数a、b的等式，先求出a、b的值，再计算a-b的结果即可。
【解析】
解：将两组解分别代入方程$ax - y = b$：
1. 把$\begin{cases}x=0 \\ y=-2\end{cases}$代入方程，得：
$a×0 - (-2) = b$
计算得$b=2$
2. 把$\begin{cases}x=1 \\ y=3\end{cases}$和$b=2$代入方程，得：
$a×1 - 3 = 2$
解得$a=5$
3. 计算$a-b$的值：$a-b=5-2=3$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，核心考查二元一次方程解的应用，解题关键是学会将方程的解代入原方程求解未知参数，掌握基础概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确二元一次方程解的定义：能让方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知两组数值都是方程的解，所以将两组解分别代入原方程，就能得到关于参数a、b的等式，先求出a、b的值，再计算a-b的结果即可。
【解析】
解：将两组解分别代入方程$ax - y = b$：
1. 把$\begin{cases}x=0 \\ y=-2\end{cases}$代入方程，得：
$a×0 - (-2) = b$
计算得$b=2$
2. 把$\begin{cases}x=1 \\ y=3\end{cases}$和$b=2$代入方程，得：
$a×1 - 3 = 2$
解得$a=5$
3. 计算$a-b$的值：$a-b=5-2=3$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，核心考查二元一次方程解的应用，解题关键是学会将方程的解代入原方程求解未知参数，掌握基础概念就能快速解题。
【难度系数】
0.8
11 若方程组 $\begin{cases}(a-1)y=4, \\ x^{|a|}+(b-3)xy=1\end{cases}$ 是关于 $x,y$ 的二元一次方程组，则 $a^b$ 的值为 ______ .
答案
11. -1
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确二元一次方程组的核心定义：一是方程组中一共只含有2个未知数（本题为x和y），二是所有含未知数的项的最高次数都为1，且都是整式方程。接下来对照定义逐个找限制条件：①第一个方程是关于y的一次方程，因此y的系数不能为0，否则方程要么无解，要么不含有y，不符合二元的要求；②第二个方程中，x的次数必须为1，因此|a|=1；同时xy项的次数是2，不符合一次的要求，因此必须让xy项的系数为0，消去这个二次项。最后结合所有限制条件求出a、b的值，再计算$a^b$即可。
【解析】
根据二元一次方程组的定义，可得以下限制条件：
1. 方程组需同时含有x、y两个未知数，因此第一个方程中y的系数不为0：
$a - 1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$；
2. 所有含未知数的项的最高次数为1：
第二个方程中x的次数为1，因此$|a| = 1$；
xy是二次项，需消去，因此其系数为0：$b - 3 = 0$；
由$|a| = 1$得$a = 1$或$a = -1$，结合$a ≠ 1$，可得$a = -1$；
由$b - 3 = 0$得$b = 3$；
因此$a^b = (-1)^3 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
二元一次方程组的定义，绝对值的性质，有理数的乘方
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组概念的准确理解，解题时容易出现两个错误：一是忽略xy是二次项，未令其系数为0；二是遗漏第一个方程中y的系数不能为0的条件，误取a=1。解题时需逐一对照定义的所有要求，避免漏看限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确二元一次方程组的核心定义：一是方程组中一共只含有2个未知数（本题为x和y），二是所有含未知数的项的最高次数都为1，且都是整式方程。接下来对照定义逐个找限制条件：①第一个方程是关于y的一次方程，因此y的系数不能为0，否则方程要么无解，要么不含有y，不符合二元的要求；②第二个方程中，x的次数必须为1，因此|a|=1；同时xy项的次数是2，不符合一次的要求，因此必须让xy项的系数为0，消去这个二次项。最后结合所有限制条件求出a、b的值，再计算$a^b$即可。
【解析】
根据二元一次方程组的定义，可得以下限制条件：
1. 方程组需同时含有x、y两个未知数，因此第一个方程中y的系数不为0：
$a - 1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$；
2. 所有含未知数的项的最高次数为1：
第二个方程中x的次数为1，因此$|a| = 1$；
xy是二次项，需消去，因此其系数为0：$b - 3 = 0$；
由$|a| = 1$得$a = 1$或$a = -1$，结合$a ≠ 1$，可得$a = -1$；
由$b - 3 = 0$得$b = 3$；
因此$a^b = (-1)^3 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
二元一次方程组的定义，绝对值的性质，有理数的乘方
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组概念的准确理解，解题时容易出现两个错误：一是忽略xy是二次项，未令其系数为0；二是遗漏第一个方程中y的系数不能为0的条件，误取a=1。解题时需逐一对照定义的所有要求，避免漏看限制条件。
【难度系数】
0.7
12 若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x - 2y = ◯, \\2x + y = 1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = \star, \\y = 3,\end{cases}$则$◯$和$\star$代表的数的和为 ______ 。
答案
12. -10 【解析】把 $y=3$ 代入 $2x+y=1$,得 $2x+3=1$,解得 $x=-1$,即☆代表的数为 $-1$. 把 $x=-1,y=3$ 代入 $3x-2y=○$,得$○=3×(-1)-2×3=-9$. 所以$☆+○=-1-9=-10$.
解析
【分析】
本题的核心是利用二元一次方程组的解满足组内每一个方程的性质来求解。首先已知解中y的值，第二个方程仅含x和y，因此先把y=3代入第二个方程求出x（也就是$\star$代表的数），再将求出的x和已知的y代入第一个方程算出$◯$代表的数，最后计算两个数的和即可。
【解析】
1. 把$y=3$代入方程$2x+y=1$，可得：
$2x+3=1$
解得$x=-1$，即$\star$代表的数为$-1$。
2. 把$x=-1$、$y=3$代入方程$3x-2y=◯$，可得：
$◯=3×(-1)-2×3=-3-6=-9$
3. 计算$\star$和$◯$的和：$\star+◯=-1+(-9)=-10$
【答案】
$-10$
【知识点】
二元一次方程组的解，代入求值，有理数运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二元一次方程组解的定义的理解，只要熟练掌握代入法，计算时细心即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题的核心是利用二元一次方程组的解满足组内每一个方程的性质来求解。首先已知解中y的值，第二个方程仅含x和y，因此先把y=3代入第二个方程求出x（也就是$\star$代表的数），再将求出的x和已知的y代入第一个方程算出$◯$代表的数，最后计算两个数的和即可。
【解析】
1. 把$y=3$代入方程$2x+y=1$，可得：
$2x+3=1$
解得$x=-1$，即$\star$代表的数为$-1$。
2. 把$x=-1$、$y=3$代入方程$3x-2y=◯$，可得：
$◯=3×(-1)-2×3=-3-6=-9$
3. 计算$\star$和$◯$的和：$\star+◯=-1+(-9)=-10$
【答案】
$-10$
【知识点】
二元一次方程组的解，代入求值，有理数运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二元一次方程组解的定义的理解，只要熟练掌握代入法，计算时细心即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
13 小明经过研究发现，对于任意有理数$m$，$\begin{cases} x=5m+2, \\ y=3m+2 \end{cases}$都是方程$3x -5y +4=0$的解。
你认为小明发现的结论正确吗？请说明理由。
你认为小明发现的结论正确吗？请说明理由。
答案
13. 小明发现的结论正确 理由:把$\begin{cases} x=5m+2, \\ y=3m+2 \end{cases}$代入方程 $3x-5y+4=0$ 的左边,得 $3(5m+2)-5(3m+2)+4=15m+6-15m-10+4=0$. 因为方程的右边$=0$,所以左边$=$右边. 所以小明发现的结论正确.
解析
【分析】要判断含参数的x、y是否为某二元一次方程的解，核心方法是利用二元一次方程解的定义：若一组值代入方程后能使等号左右两边相等，则这组值是方程的解。我们只需将x=5m+2、y=3m+2代入方程左边的代数式，化简后判断结果是否恒等于方程右边的0，若恒等则小明的结论正确。
【解析】将$\begin{cases} x=5m+2, \\ y=3m+2 \end{cases}$代入方程 $3x-5y+4=0$ 的左边，计算得：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=3(5m+2)-5(3m+2)+4 \\&=15m+6-15m-10+4 \\&=0\end{aligned}$
已知方程右边为0，因此代入后左边=右边，即对于任意有理数m，该组x、y都满足方程$3x-5y+4=0$。
【答案】小明发现的结论正确。理由：把$\begin{cases} x=5m+2, \\ y=3m+2 \end{cases}$代入方程 $3x-5y+4=0$ 的左边,得 $3(5m+2)-5(3m+2)+4=15m+6-15m-10+4=0$，因为方程的右边$=0$，所以左边$=$右边，所以小明发现的结论正确。
【知识点】1. 二元一次方程的解的判定 2. 整式的化简求值
【点评】本题侧重考察二元一次方程解的基本概念，解题核心思路是代入验证，只要熟练掌握整式化简的运算法则即可顺利解答，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
【解析】将$\begin{cases} x=5m+2, \\ y=3m+2 \end{cases}$代入方程 $3x-5y+4=0$ 的左边，计算得：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=3(5m+2)-5(3m+2)+4 \\&=15m+6-15m-10+4 \\&=0\end{aligned}$
已知方程右边为0，因此代入后左边=右边，即对于任意有理数m，该组x、y都满足方程$3x-5y+4=0$。
【答案】小明发现的结论正确。理由：把$\begin{cases} x=5m+2, \\ y=3m+2 \end{cases}$代入方程 $3x-5y+4=0$ 的左边,得 $3(5m+2)-5(3m+2)+4=15m+6-15m-10+4=0$，因为方程的右边$=0$，所以左边$=$右边，所以小明发现的结论正确。
【知识点】1. 二元一次方程的解的判定 2. 整式的化简求值
【点评】本题侧重考察二元一次方程解的基本概念，解题核心思路是代入验证，只要熟练掌握整式化简的运算法则即可顺利解答，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
14 甲、乙两人解关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}ax +5y=15①, \\4x - by=-2②,\end{cases}$甲看错了①中的$a$，得到的解为$\begin{cases}x=-3, \\y=-1;\end{cases}$乙看错了②中的$b$，得到的解为$\begin{cases}x=5, \\y=4.\end{cases}$求$a^{2024}+(-\frac{1}{10}b)^{2025}$的值。
答案
14. 把 $\begin{cases} x=-3, \\ y=-1 \end{cases}$ 代入②,得 $-12+b=-2$,解得 $b=10$. 把$\begin{cases} x=5, \\ y=4 \end{cases}$代入①,得 $5a+20=15$,解得 $a=-1$. 所以 $a^{2024}+(-\frac{1}{10}b)^{2025}=(-1)^{2024}+(-\frac{1}{10}×10)^{2025}=1-1=0$
解析
【分析】
解题的关键是明确“看错某一个方程的参数时，得到的解仍然满足另一个未看错的方程”：甲只看错了方程①中的a，说明他得到的解适合没有看错的方程②，代入②即可求出b的值；乙只看错了方程②中的b，说明他得到的解适合没有看错的方程①，代入①即可求出a的值，最后将a、b的值代入所求代数式计算即可。
【解析】
解：
∵甲看错了方程①中的a，得到的解为$\begin{cases}x=-3, \\y=-1,\end{cases}$
∴该解满足方程②，将其代入②得：$4×(-3) - b×(-1) = -2$，
即$-12 + b = -2$，解得$b=10$。
∵乙看错了方程②中的b，得到的解为$\begin{cases}x=5, \\y=4,\end{cases}$
∴该解满足方程①，将其代入①得：$a×5 +5×4=15$，
即$5a + 20 =15$，解得$a=-1$。
将$a=-1$，$b=10$代入$a^{2024}+(-\frac{1}{10}b)^{2025}$得：
原式$=(-1)^{2024} + (-\frac{1}{10}×10)^{2025}$
$=1 + (-1)^{2025}$
$=1 -1$
$=0$
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程的解的定义，乘方运算，代数式求值
【点评】
这是一类典型的含参数二元一次方程组问题，解题核心是明确看错单个方程参数时，所得解仍然适用于另一个未看错的方程，易错点是混淆解对应的代入方程，熟练掌握乘方的符号规律也能避免计算出错。
【难度系数】
0.7
解题的关键是明确“看错某一个方程的参数时，得到的解仍然满足另一个未看错的方程”：甲只看错了方程①中的a，说明他得到的解适合没有看错的方程②，代入②即可求出b的值；乙只看错了方程②中的b，说明他得到的解适合没有看错的方程①，代入①即可求出a的值，最后将a、b的值代入所求代数式计算即可。
【解析】
解：
∵甲看错了方程①中的a，得到的解为$\begin{cases}x=-3, \\y=-1,\end{cases}$
∴该解满足方程②，将其代入②得：$4×(-3) - b×(-1) = -2$，
即$-12 + b = -2$，解得$b=10$。
∵乙看错了方程②中的b，得到的解为$\begin{cases}x=5, \\y=4,\end{cases}$
∴该解满足方程①，将其代入①得：$a×5 +5×4=15$，
即$5a + 20 =15$，解得$a=-1$。
将$a=-1$，$b=10$代入$a^{2024}+(-\frac{1}{10}b)^{2025}$得：
原式$=(-1)^{2024} + (-\frac{1}{10}×10)^{2025}$
$=1 + (-1)^{2025}$
$=1 -1$
$=0$
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程的解的定义，乘方运算，代数式求值
【点评】
这是一类典型的含参数二元一次方程组问题，解题核心是明确看错单个方程参数时，所得解仍然适用于另一个未看错的方程，易错点是混淆解对应的代入方程，熟练掌握乘方的符号规律也能避免计算出错。
【难度系数】
0.7
1 若$\begin{cases}x=4, \\ y=-1\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$kx - 2y =6$的解，则$k$的值是（ ）
A.1
B.$-\dfrac{8}{3}$
C.$-1$
D.5
A.1
B.$-\dfrac{8}{3}$
C.$-1$
D.5
答案
1. A
解析
【分析】
本题可根据二元一次方程的解的定义求解。解题思路为：二元一次方程的解能使方程左右两边相等，因此将已知的x、y的取值代入原方程，就可以得到仅含未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出k的值。
【解析】
解：已知$\begin{cases}x=4, \\ y=-1\end{cases}$是二元一次方程$kx - 2y =6$的解，将$x=4$、$y=-1$代入方程得：
$4k - 2×(-1) = 6$
化简计算：
$4k + 2 = 6$
移项得：$4k = 6 - 2$
即$4k = 4$
两边同时除以4得：$k=1$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程的解的性质，只要掌握将解代入原方程构造新方程求解参数的方法，计算时注意符号运算即可正确解答。
【难度系数】
0.9
本题可根据二元一次方程的解的定义求解。解题思路为：二元一次方程的解能使方程左右两边相等，因此将已知的x、y的取值代入原方程，就可以得到仅含未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出k的值。
【解析】
解：已知$\begin{cases}x=4, \\ y=-1\end{cases}$是二元一次方程$kx - 2y =6$的解，将$x=4$、$y=-1$代入方程得：
$4k - 2×(-1) = 6$
化简计算：
$4k + 2 = 6$
移项得：$4k = 6 - 2$
即$4k = 4$
两边同时除以4得：$k=1$
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程的解的性质，只要掌握将解代入原方程构造新方程求解参数的方法，计算时注意符号运算即可正确解答。
【难度系数】
0.9
2 如果$\begin{cases}x=m, \\ y=n\end{cases}$是方程$2x - 3y = 2026$的一组解，那么$2027 - 2m + 3n =$ ______ 。
答案
2. 1
解析
【分析】
首先根据二元一次方程解的定义，将$\begin{cases}x=m, \\ y=n\end{cases}$代入原方程，可得到$2m-3n$的取值；再观察所求代数式的结构，通过添括号将其变形为含有$2m-3n$的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值，简化运算步骤。
【解析】
解：
∵ $\begin{cases}x=m, \\ y=n\end{cases}$是方程$2x - 3y = 2026$的一组解，
∴ 将$\begin{cases}x=m, \\ y=n\end{cases}$代入方程得：$2m - 3n = 2026$，
对所求代数式变形可得：
$2027 - 2m + 3n = 2027 - (2m - 3n)$，
把$2m - 3n = 2026$代入上式：
原式$=2027 - 2026 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的解，整体代入求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查整体代入的数学思想，解题时通过观察代数式结构特征进行变形，直接整体代入计算即可，无需单独求解未知数的具体值，熟练掌握该方法能有效提升解题速度。
【难度系数】
0.8
首先根据二元一次方程解的定义，将$\begin{cases}x=m, \\ y=n\end{cases}$代入原方程，可得到$2m-3n$的取值；再观察所求代数式的结构，通过添括号将其变形为含有$2m-3n$的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解m、n的具体值，简化运算步骤。
【解析】
解：
∵ $\begin{cases}x=m, \\ y=n\end{cases}$是方程$2x - 3y = 2026$的一组解，
∴ 将$\begin{cases}x=m, \\ y=n\end{cases}$代入方程得：$2m - 3n = 2026$，
对所求代数式变形可得：
$2027 - 2m + 3n = 2027 - (2m - 3n)$，
把$2m - 3n = 2026$代入上式：
原式$=2027 - 2026 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的解，整体代入求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查整体代入的数学思想，解题时通过观察代数式结构特征进行变形，直接整体代入计算即可，无需单独求解未知数的具体值，熟练掌握该方法能有效提升解题速度。
【难度系数】
0.8
