10. 如图，菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为2，则BD的长为（）

A.2
B.4
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{3}$

10. D

【分析】
解题时首先连接辅助线OB，第一步结合菱形四边相等的性质与圆的半径相等，可证明△OAB是等边三角形，得到∠DOB的度数；第二步根据切线的性质可得OB⊥BD，得到直角△OBD；最后在直角三角形中结合已知边长和特殊角的三角函数值即可求出BD的长度。
【解析】
连接OB，
∵ 四边形OABC是菱形，
∴ OA=AB，
又
∵ OA、OB均为⊙O的半径，⊙O半径为2，
∴ OA=OB=2，
∴ OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，
∴ ∠DOB=60°，
∵ BD是⊙O的切线，B为切点，
∴ OB⊥BD（切线垂直于过切点的半径），即∠OBD=90°，
在Rt△OBD中，OB=2，∠DOB=60°，
∴ BD=OB·tan60°=2×√3=2√3。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；切线的性质；解直角三角形
【点评】
本题是基础综合题，将菱形、圆的切线、特殊三角形的知识点结合考查，解题的关键是正确作出辅助线，构造含特殊角的直角三角形进行计算。
【难度系数】
0.7

11. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，B两点重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件中能判断CE是半圆O的切线的是（）

A.$∠ E=∠ CFE$
B.$∠ E=∠ ECF$
C.$∠ ECF=∠ EFC$
D.$∠ ECF=60°$

11. C

【分析】
要判断CE是半圆O的切线，根据切线的判定定理，需证明OC⊥CE（即∠OCE=90°）。首先连接辅助线OC，利用同圆半径相等可得OC=OB，推出∠OCB=∠OBC；再由DE⊥AB可得∠OBC+∠BFD=90°，结合对顶角相等∠BFD=∠EFC，可得∠OCB+∠EFC=90°；此时若∠ECF=∠EFC，就能推出∠OCB+∠ECF=∠OCE=90°，即可判定CE是切线，对应选项C。
【解析】
连接OC：
1. 因为OC、OB都是半圆O的半径，所以OC=OB，根据等腰三角形性质得∠OCB=∠OBC。
2. 因为DE⊥AB，所以∠FDB=90°，在Rt△BDF中，∠OBC+∠BFD=90°。
3. 又因为∠BFD与∠EFC是对顶角，所以∠BFD=∠EFC，代入上式得：$\boldsymbol{∠OCB + ∠EFC = 90°}$。
4. 若选项C成立，即∠ECF=∠EFC，代入上式可得∠OCB + ∠ECF = 90°，也就是∠OCE=90°，即OC⊥CE。
5. 因为OC是半圆O的半径，且OC⊥CE，所以CE是半圆O的切线。
其余选项均无法推导得到∠OCE=90°，不能判定CE是切线。
【答案】
C
【知识点】
切线的判定，等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题考查切线的判定，解题关键是掌握切线判定的常用辅助线做法：证明直线是圆的切线时，若已知直线与圆有公共点，连接该点与圆心得到半径，证明半径与直线垂直即可。
【难度系数】
0.7

12.【易错题】(自贡中考)已知PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，点C在$\odot O$上，不与点A，B重合.若$∠ P=80°$，则$∠ ACB$的度数为（）

A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$或$130°$

12. D

【分析】
解题时首先根据切线的性质，连接过切点的半径OA、OB，得到两个直角，再利用四边形内角和求出圆心角∠AOB的度数；由于点C在圆上的位置不唯一，需分点C在优弧AB上和在劣弧AB上两种情况，结合圆周角定理分别计算∠ACB的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，
∴$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-80°=100°$，
分两种情况讨论：
①若点C在优弧AB上，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
则$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×100°=50°$；
②若点C在劣弧AB上，此时优弧AB的度数为$360°-100°=260°$，
则$∠ ACB=\frac{1}{2}×260°=130°$；
综上，$∠ ACB$的度数为$50°$或$130°$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是注意点C的位置有两种可能，很多同学容易只考虑点C在优弧上的情况导致漏解，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.6

13.(东营中考)如图,在平面直角坐标系中,⊙P与x轴交于点M,N,与y轴相切于点Q,点P的坐标为(5,－3),则点N的坐标为.

13. (9,0)

【分析】
首先根据圆与y轴相切的性质，切线垂直于过切点的半径，可得圆的半径等于圆心P到y轴的距离；接下来过圆心P作x轴的垂线，结合垂径定理可知该垂线平分弦MN，构造出直角三角形后，利用勾股定理求出弦MN的一半长度，最后结合垂足的坐标即可推出点N的坐标。
【解析】
过点P作PH⊥x轴于点H，连接PN。
1. 求圆的半径：
∵⊙P与y轴相切于点Q，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，
∴⊙P的半径等于点P到y轴的距离。
已知P(5,-3)，点P到y轴的距离为横坐标的绝对值，即r=5，因此PN=r=5。
2. 求线段HN的长度：
由P(5,-3)可得，PH的长度为点P纵坐标的绝对值，即PH=|-3|=3，垂足H的坐标为(5,0)。
在Rt△PHN中，由勾股定理得：
$HN=\sqrt{PN^2-PH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
3. 求点N的坐标：
根据垂径定理，PH⊥MN可得PH平分MN，因此点N在H的右侧，横坐标为5+4=9，纵坐标为0。
【答案】
(9,0)
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将坐标问题转化为线段长度的计算，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

14.(山东中考)如图,在$△ OAB$中,点A在$\odot O$上,边OB交$\odot O$于点C,$AD⊥ OB$于点D,AC是$∠ BAD$的平分线.
(1)求证:AB为$\odot O$的切线;

(2)若$\odot O$的半径为$2,∠ AOB=45°$,求CB的长.

14. 解:(1)证明:
∵AD⊥OB,
∴∠ADB=90°,
∴∠OCA+∠DAC=90°
∵AC是∠BAD的平分线,
∴∠DAC=∠BAC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=∠OCA+∠DAC=90°.又
∵OA是⊙O的半径,
∴AB为⊙O的切线.
(2)
∵∠OAB=90°,∠AOB=45°,
∴∠B=∠AOB=45°.
∴AB=OA.
∵⊙O的半径为2,
∴AB=OA=OC=2.
∴OB=$\sqrt{AB^2+OA^2}$=$\sqrt{2^2+2^2}$=$2\sqrt{2}$.
∴CB=OB-OC=$2\sqrt{2}-2$.

【分析】
(1) 要证明AB为⊙O的切线，根据切线的判定定理，需证明OA⊥AB（即∠OAB=90°）。首先由AD⊥OB可得直角，推导出∠OCA+∠DAC=90°；再结合角平分线的性质得∠DAC=∠BAC，利用半径相等OA=OC得∠OAC=∠OCA，通过等量代换即可得到∠OAB=90°，完成证明。
(2) 已证∠OAB=90°，结合∠AOB=45°可判断△OAB是等腰直角三角形，已知半径OA=2，先用勾股定理求出OB的长度，再用OB减去半径OC的长度，即可得到CB的长。
【解析】
(1) 证明：
∵AD⊥OB，
∴∠ADB=90°，
∴∠OCA+∠DAC=90°
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠DAC=∠BAC.
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA.
∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=∠OCA+∠DAC=90°.
又
∵OA是⊙O的半径，
∴AB为⊙O的切线.
(2) 解：
∵∠OAB=90°,∠AOB=45°,
∴∠B=∠AOB=45°,
∴AB=OA.
∵⊙O的半径为2,
∴AB=OA=OC=2,
∴OB=$\sqrt{AB^2+OA^2}$=$\sqrt{2^2+2^2}$=$2\sqrt{2}$,
∴CB=OB-OC=$2\sqrt{2}-2$.
【答案】
(1) AB为⊙O的切线，证明成立；
(2) CB的长为$2\sqrt{2}-2$
【知识点】
切线的判定；角平分线的定义；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，考查切线的判定思路和直角三角形的线段计算，解题关键是通过角的等量代换推导垂直关系，结合等腰直角三角形性质和勾股定理即可求解，难度不大。
【难度系数】
0.7

15.(宿迁中考)如图,点A在$\odot O$上,点B在$\odot O$外,线段OB与$\odot O$交于点C,过点C作$\odot O$的切线交直线AB于点D,且$AD=CD$.
(1)判断直线AB与$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2)若$∠ B=30°,CD=4$,求图中阴影部分的面积.

15. 解:(1)直线AB与⊙O相切,理由如下:连接OA,OD.
∵直线CD与⊙O相切,
∴OC⊥CD,
∴∠OCD=90°.在△OAD和△OCD中,$\begin{cases} OA=OC, \\ OD=OD, \\ AD=CD, \end{cases}$
∴△OAD≌△OCD(SSS).
∴∠OAD=∠OCD=90°.
∴OA⊥AD.
∵OA是⊙O半径,
∴直线AB与⊙O相切.
(2)由(1)得,△OAD≌△OCD,∠OAD=∠OCD=90°,
∴∠AOD=∠COD,$S_{△OAD}=S_{△OCD}$.
∵∠B=30°,
∴∠AOC=60°.
∴∠AOD=∠COD=30°.
∴OD=2CD=8.
∴OC=$\sqrt{OD^2-CD^2}$=$\sqrt{8^2-4^2}$=$4\sqrt{3}$.
∴$S_{△OAD}=S_{△OCD}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$.
∴$S_{阴影}=S_{△OAD}+S_{△OCD}-S_{扇形AOC}=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}-\frac{60π×(4\sqrt{3})^2}{360}=16\sqrt{3}-8π$.

【分析】
(1)判断直线与圆的位置关系，若要证相切，需证明半径与直线垂直。已知CD是⊙O的切线，可得∠OCD=90°，结合已知AD=CD、OA=OC（均为⊙O半径）、公共边OD，可通过SSS证明△OAD≌△OCD，得到∠OAD=90°，即可判定AB与⊙O相切。
(2)阴影部分为不规则图形，需用割补法转化为规则图形面积的差计算：阴影面积=△OAD面积+△OCD面积-扇形AOC的面积。先由∠B=30°和OA⊥AB求出圆心角∠AOC的度数，再结合全等性质、直角三角形性质求出半径OC的长度，分别计算两个直角三角形的面积和与扇形面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1)直线AB与$\odot O$相切，理由如下：连接OA，OD.
∵直线CD与$\odot O$相切，
∴$OC⊥CD$，
∴$∠OCD=90°$.在$△ OAD$和$△ OCD$中，$\begin{cases} OA=OC, \\ OD=OD, \\ AD=CD, \end{cases}$
∴$△ OAD≌△ OCD(SSS)$.
∴$∠OAD=∠OCD=90°$.
∴$OA⊥AD$.
∵OA是$\odot O$半径，
∴直线AB与$\odot O$相切.
(2)由(1)得，$△ OAD≌△ OCD$，$∠OAD=∠OCD=90°$,
∴$∠AOD=∠COD$，$S_{△OAD}=S_{△OCD}$.
∵$∠B=30°$,
∴$∠AOC=60°$.
∴$∠AOD=∠COD=30°$.
∴$OD=2CD=8$.
∴$OC=\sqrt{OD^2-CD^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$.
∴$S_{△OAD}=S_{△OCD}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$.
∴$S_{阴影}=S_{△OAD}+S_{△OCD}-S_{扇形AOC}=8\sqrt{3}+8\sqrt{3}-\frac{60π×(4\sqrt{3})^2}{360}=16\sqrt{3}-8π$.
【答案】
(1)直线AB与$\odot O$相切；(2)阴影部分的面积为$16\sqrt{3}-8π$
【知识点】
切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合常考题，融合了切线判定、全等三角形证明、角度计算、不规则图形面积计算等考点，解题核心是合理作辅助线构造全等三角形，熟练运用割补法转化不规则图形的面积，兼顾了对基础性质和解题方法的考查。
【难度系数】
0.6