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10.(阜新中考)已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(-2,4)$，那么该反比例函数图象也一定经过点（
A.$(4,2)$
B.$(1,8)$
C.$(-1,8)$
D.$(-1,-8)$
C
）A.$(4,2)$
B.$(1,8)$
C.$(-1,8)$
D.$(-1,-8)$
答案
10.C
解析
【分析】
要判断反比例函数还经过哪个点，首先需要确定反比例函数的常数k的值。对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，变形可得$k=xy$，即图象上任意一点的横、纵坐标的乘积都等于定值k。因此我们先利用已知点的坐标求出k，再逐一验证各选项中点的横、纵坐标乘积是否等于k即可。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(-2,4)$，
∴ 将$x=-2$，$y=4$代入$k=xy$，得$k=(-2)×4=-8$，即该反比例函数上所有点的横纵坐标乘积均为$-8$。
逐一验证选项：
A选项：$4×2=8≠-8$，不符合要求；
B选项：$1×8=8≠-8$，不符合要求；
C选项：$(-1)×8=-8$，符合要求；
D选项：$(-1)×(-8)=8≠-8$，不符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，核心是利用反比例函数中$k=xy$为定值的特点解题，无需求出完整解析式也可快速验证选项，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断反比例函数还经过哪个点，首先需要确定反比例函数的常数k的值。对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，变形可得$k=xy$，即图象上任意一点的横、纵坐标的乘积都等于定值k。因此我们先利用已知点的坐标求出k，再逐一验证各选项中点的横、纵坐标乘积是否等于k即可。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$(-2,4)$，
∴ 将$x=-2$，$y=4$代入$k=xy$，得$k=(-2)×4=-8$，即该反比例函数上所有点的横纵坐标乘积均为$-8$。
逐一验证选项：
A选项：$4×2=8≠-8$，不符合要求；
B选项：$1×8=8≠-8$，不符合要求；
C选项：$(-1)×8=-8$，符合要求；
D选项：$(-1)×(-8)=8≠-8$，不符合要求。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，核心是利用反比例函数中$k=xy$为定值的特点解题，无需求出完整解析式也可快速验证选项，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
11.（广州中考）一次函数$y=ax+b$和反比例函数$y=\dfrac{a-b}{x}$在同一平面直角坐标系中的大致图象是（
A
）答案
11.A
解析
【分析】
要判断两个函数图象是否匹配，需结合一次函数、反比例函数的图象性质，用“由一次函数定系数符号，再验证反比例函数是否符合”的思路解题：①先根据一次函数的倾斜方向判断a的正负，根据一次函数与y轴的交点位置、与x轴的交点位置判断b的正负；②再计算反比例函数的系数$k=a-b$的正负，判断反比例函数图象所在象限是否和选项一致，逐一排除错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
一次函数图象从左下向右上倾斜，可得$a＞0$；一次函数与x轴交于负半轴，令$y=0$，解得$x=-\frac{b}{a}＜0$，结合$a＞0$可推出$b＞0$。
由图象可知一次函数与y轴交点纵坐标$b＜1$，且斜率$a＞1$，因此反比例函数系数$k=a-b＞0$，反比例函数图象应在第一、三象限，和选项A的反比例图象一致，符合要求。
2. 分析选项B：
一次函数图象从左下向右上倾斜，可得$a＞0$；一次函数与x轴交于正半轴，令$y=0$，解得$x=-\frac{b}{a}＞0$，结合$a＞0$可推出$b＜0$。
此时$a-b=a+|b|＞0$，反比例函数图象应在第一、三象限，但选项B的反比例图象在第二、四象限，矛盾，排除B。
3. 分析选项C：
一次函数图象从左上向右下倾斜，可得$a＜0$；一次函数与y轴交于正半轴，可得$b＞0$。
此时$a-b＜0$，反比例函数图象应在第二、四象限，但选项C的反比例图象在第一、三象限，矛盾，排除C。
4. 分析选项D：
一次函数图象从左上向右下倾斜，可得$a＜0$；一次函数与y轴交于正半轴，可得$b＞0$。
此时$a-b＜0$，反比例函数图象应在第二、四象限，但选项D的反比例图象在第一、三象限，矛盾，排除D。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；函数图象判断
【点评】
本题是一次函数和反比例函数的综合应用题，核心是通过函数图象判断系数符号，再由系数符号验证函数图象，用排除法可以快速得出答案，是函数模块的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要判断两个函数图象是否匹配，需结合一次函数、反比例函数的图象性质，用“由一次函数定系数符号，再验证反比例函数是否符合”的思路解题：①先根据一次函数的倾斜方向判断a的正负，根据一次函数与y轴的交点位置、与x轴的交点位置判断b的正负；②再计算反比例函数的系数$k=a-b$的正负，判断反比例函数图象所在象限是否和选项一致，逐一排除错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
一次函数图象从左下向右上倾斜，可得$a＞0$；一次函数与x轴交于负半轴，令$y=0$，解得$x=-\frac{b}{a}＜0$，结合$a＞0$可推出$b＞0$。
由图象可知一次函数与y轴交点纵坐标$b＜1$，且斜率$a＞1$，因此反比例函数系数$k=a-b＞0$，反比例函数图象应在第一、三象限，和选项A的反比例图象一致，符合要求。
2. 分析选项B：
一次函数图象从左下向右上倾斜，可得$a＞0$；一次函数与x轴交于正半轴，令$y=0$，解得$x=-\frac{b}{a}＞0$，结合$a＞0$可推出$b＜0$。
此时$a-b=a+|b|＞0$，反比例函数图象应在第一、三象限，但选项B的反比例图象在第二、四象限，矛盾，排除B。
3. 分析选项C：
一次函数图象从左上向右下倾斜，可得$a＜0$；一次函数与y轴交于正半轴，可得$b＞0$。
此时$a-b＜0$，反比例函数图象应在第二、四象限，但选项C的反比例图象在第一、三象限，矛盾，排除C。
4. 分析选项D：
一次函数图象从左上向右下倾斜，可得$a＜0$；一次函数与y轴交于正半轴，可得$b＞0$。
此时$a-b＜0$，反比例函数图象应在第二、四象限，但选项D的反比例图象在第一、三象限，矛盾，排除D。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；函数图象判断
【点评】
本题是一次函数和反比例函数的综合应用题，核心是通过函数图象判断系数符号，再由系数符号验证函数图象，用排除法可以快速得出答案，是函数模块的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
12.已知点$(-2,y_1),(-1,y_2),(1,y_3)$都在反比例函数$y=\frac{m^2 +5}{x}$的图象上，那么$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_2＜y_1＜y_3$
。答案
12.$y_2＜y_1＜y_3$
解析
【分析】
要比较三个函数值的大小，需先明确反比例函数的图象性质：①先判断比例系数$k=m^2+5$的正负，确定函数图象所在象限及增减性；②根据三个点横坐标的正负，判断点所在的象限，位于第一象限的点的纵坐标恒为正，位于第三象限的点的纵坐标恒为负，可得$y_3$最大；③最后根据第三象限内函数的增减性，比较$y_1$和$y_2$的大小即可。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{m^2 +5}{x}$，
因为$m^2≥0$，所以$k=m^2+5≥5＞0$，
因此该反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
已知三个点的横坐标分别为$-2$、$-1$、$1$：
因为$-2＜0$，$-1＜0$，所以点$(-2,y_1)$、$(-1,y_2)$在第三象限，故$y_1＜0$，$y_2＜0$；
因为$1＞0$，所以点$(1,y_3)$在第一象限，故$y_3＞0$，因此$y_3$是三个值中最大的。
再比较第三象限内的$y_1$和$y_2$：因为$-2＜-1$，且第三象限内$y$随$x$的增大而减小，所以$y_2＜y_1$。
综上，三个函数值的大小关系为$y_2＜y_1＜y_3$。
（也可代入特殊值验证：令$m=0$，则$k=5$，计算得$y_1=\frac{5}{-2}=-2.5$，$y_2=\frac{5}{-1}=-5$，$y_3=\frac{5}{1}=5$，显然$-5＜-2.5＜5$，即$y_2＜y_1＜y_3$）
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.函数图象上点的坐标特征
3.实数大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是先根据比例系数的正负确定函数的增减性和图象所在象限，再结合点的横坐标特征比较函数值，也可通过代入特殊值的方法快速求解，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
要比较三个函数值的大小，需先明确反比例函数的图象性质：①先判断比例系数$k=m^2+5$的正负，确定函数图象所在象限及增减性；②根据三个点横坐标的正负，判断点所在的象限，位于第一象限的点的纵坐标恒为正，位于第三象限的点的纵坐标恒为负，可得$y_3$最大；③最后根据第三象限内函数的增减性，比较$y_1$和$y_2$的大小即可。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{m^2 +5}{x}$，
因为$m^2≥0$，所以$k=m^2+5≥5＞0$，
因此该反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
已知三个点的横坐标分别为$-2$、$-1$、$1$：
因为$-2＜0$，$-1＜0$，所以点$(-2,y_1)$、$(-1,y_2)$在第三象限，故$y_1＜0$，$y_2＜0$；
因为$1＞0$，所以点$(1,y_3)$在第一象限，故$y_3＞0$，因此$y_3$是三个值中最大的。
再比较第三象限内的$y_1$和$y_2$：因为$-2＜-1$，且第三象限内$y$随$x$的增大而减小，所以$y_2＜y_1$。
综上，三个函数值的大小关系为$y_2＜y_1＜y_3$。
（也可代入特殊值验证：令$m=0$，则$k=5$，计算得$y_1=\frac{5}{-2}=-2.5$，$y_2=\frac{5}{-1}=-5$，$y_3=\frac{5}{1}=5$，显然$-5＜-2.5＜5$，即$y_2＜y_1＜y_3$）
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.函数图象上点的坐标特征
3.实数大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是先根据比例系数的正负确定函数的增减性和图象所在象限，再结合点的横坐标特征比较函数值，也可通过代入特殊值的方法快速求解，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
13. 如图是三个反比例函数的图象的分支，其中$k_1,k_2,k_3$的大小关系是
【变式】在平面直角坐标系中，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象如图所示，则k的值可能是
$k_1＞k_2＞k_3$
.【变式】在平面直角坐标系中，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象如图所示，则k的值可能是
3(答案不唯一)
（填写其中一个答案即可）.答案
13.$k_1＞k_2＞k_3$ 【变式】3(答案不唯一)
解析
【分析】
第13题：先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：$k＞0$时图象在一、三象限，$k＜0$时图象在二、四象限，据此先判断$k$的正负，正数大于负数；再对同象限的两个反比例函数，取相同的$x$值，通过$k=xy$的关系比较$k$的大小，即可得出三者的大小关系。
变式题：首先由图象所在象限判断$k＞0$；再根据点与图象的位置关系推导$k$的范围：点在图象上方说明同$x$值下点的$y$值大于函数值，点在图象下方说明同$x$值下点的$y$值小于函数值，代入A、B两点坐标求出$k$的取值范围，在范围内任取一个值即可。
【解析】
13. 对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$：
1. 判断$k$的正负：$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象在第一象限，故$k_1＞0$；$y_2=\frac{k_2}{x}$、$y_3=\frac{k_3}{x}$的图象在第二象限，故$k_2＜0$，$k_3＜0$，因此$k_1$最大。
2. 比较$k_2$和$k_3$：在第二象限任取同一个负数$x$，观察图象可得$y_2＜y_3$，不等式两边同时乘负数$x$，不等号方向改变，得$x· y_2＞x· y_3$，即$k_2＞k_3$。
综上可得$k_1＞k_2＞k_3$。
【变式】
由反比例函数图象在第一、三象限，可得$k＞0$。
∵点$A(2,2)$在图象上方，即$x=2$时，函数值小于点的纵坐标，$\therefore \frac{k}{2}＜2$，解得$k＜4$。
∵点$B(-1,-2)$在图象上方，即$x=-1$时，函数值小于点的纵坐标，$\therefore \frac{k}{-1}＜-2$，解得$k＞2$。
因此$k$的取值范围为$2＜k＜4$，可取$k=3$（答案不唯一）。
【答案】
13. $\boldsymbol{k_1＞k_2＞k_3}$；【变式】$\boldsymbol{3}$（答案不唯一）
【知识点】
反比例函数图象与k的关系，反比例函数的性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，核心考查$k$的正负、大小对反比例函数图象位置的影响，掌握反比例函数的图象性质，结合图象直观分析即可快速解题，是反比例函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
第13题：先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象性质：$k＞0$时图象在一、三象限，$k＜0$时图象在二、四象限，据此先判断$k$的正负，正数大于负数；再对同象限的两个反比例函数，取相同的$x$值，通过$k=xy$的关系比较$k$的大小，即可得出三者的大小关系。
变式题：首先由图象所在象限判断$k＞0$；再根据点与图象的位置关系推导$k$的范围：点在图象上方说明同$x$值下点的$y$值大于函数值，点在图象下方说明同$x$值下点的$y$值小于函数值，代入A、B两点坐标求出$k$的取值范围，在范围内任取一个值即可。
【解析】
13. 对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$：
1. 判断$k$的正负：$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象在第一象限，故$k_1＞0$；$y_2=\frac{k_2}{x}$、$y_3=\frac{k_3}{x}$的图象在第二象限，故$k_2＜0$，$k_3＜0$，因此$k_1$最大。
2. 比较$k_2$和$k_3$：在第二象限任取同一个负数$x$，观察图象可得$y_2＜y_3$，不等式两边同时乘负数$x$，不等号方向改变，得$x· y_2＞x· y_3$，即$k_2＞k_3$。
综上可得$k_1＞k_2＞k_3$。
【变式】
由反比例函数图象在第一、三象限，可得$k＞0$。
∵点$A(2,2)$在图象上方，即$x=2$时，函数值小于点的纵坐标，$\therefore \frac{k}{2}＜2$，解得$k＜4$。
∵点$B(-1,-2)$在图象上方，即$x=-1$时，函数值小于点的纵坐标，$\therefore \frac{k}{-1}＜-2$，解得$k＞2$。
因此$k$的取值范围为$2＜k＜4$，可取$k=3$（答案不唯一）。
【答案】
13. $\boldsymbol{k_1＞k_2＞k_3}$；【变式】$\boldsymbol{3}$（答案不唯一）
【知识点】
反比例函数图象与k的关系，反比例函数的性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，核心考查$k$的正负、大小对反比例函数图象位置的影响，掌握反比例函数的图象性质，结合图象直观分析即可快速解题，是反比例函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
14.类比学习反比例函数的过程与方法，进一步研究函数$y=\frac{2}{|x|}$的图象与性质，探究过程如下：
(1)①列表:其中，$m$的值为
②如图，在平面直角坐标系中，根据描出的点，已画出部分图象，请补全函数图象；
③根据函数图象，写出该函数的一条性质
(2)利用图象直接写出当$y≥2$时，$x$的取值范围是
(1)①列表:其中，$m$的值为
1
；②如图，在平面直角坐标系中，根据描出的点，已画出部分图象，请补全函数图象；
③根据函数图象，写出该函数的一条性质
当$x＜0$时,y随x的增大而增大;当$x＞0$时,y随x的增大而减小(答案不唯一)
；(2)利用图象直接写出当$y≥2$时，$x$的取值范围是
$0＜x≤1$或$-1≤x＜0$
.答案
14. 解:(1)①1 ②补全函数图象如
所示. ③当$x＜0$时,y随x的增大而增大;当$x＞0$时,y随x的增大而减小(答案不唯一)(2)$0＜x≤1$或$-1≤x＜0$
解析
【分析】
本题是类比反比例函数的研究方法探究含绝对值的函数$y=\frac{2}{|x|}$的图象与性质。解题思路如下：1. 求m值时，直接将对应x值代入函数解析式计算即可；2. 补全图象可利用函数的对称性，因解析式含$|x|$，函数图象关于y轴对称，将已有右侧图象沿y轴对称画出左侧部分即可；3. 总结函数性质可从增减性、对称性、函数值取值范围等角度观察图象得出；4. 求$y≥2$时x的范围，可结合图象找到$y=2$对应的x值，再观察图象在$y=2$及上方部分对应的x取值区间即可。
【解析】
(1)① 已知函数解析式为$y=\frac{2}{|x|}$，将对应x值代入解析式，可得$y=\frac{2}{|x|}=1$，故m=1；
② 由于$|x|=|-x|$，函数图象关于y轴对称，将x＞0部分的图象沿y轴翻折，画出x＜0的部分即可补全图象；
③ 观察图象可总结函数性质：当$x＜0$时，y随x的增大而增大；当$x＞0$时，y随x的增大而减小，也可从对称性、函数值范围等角度描述，答案不唯一；
(2) 观察图象，当$y=2$时，对应的x值为$x=1$和$x=-1$，当$y≥2$时，图象位于$y=2$及上方，对应x的取值范围为$-1≤x＜0$或$0＜x≤1$。
【答案】
(1)①1 ②补全函数图象如所示. ③当$x＜0$时,y随x的增大而增大;当$x＞0$时,y随x的增大而减小(答案不唯一)
(2)$0＜x≤1$或$-1≤x＜0$
【知识点】
反比例函数的性质，函数图象的应用，绝对值的性质
【点评】
本题通过类比反比例函数的探究方法，考查了含绝对值的类反比例函数的图象与性质，解题时要注意利用数形结合思想分析问题，同时注意自变量x的取值不能为0，避免漏写或错写取值范围。
【难度系数】
0.7
本题是类比反比例函数的研究方法探究含绝对值的函数$y=\frac{2}{|x|}$的图象与性质。解题思路如下：1. 求m值时，直接将对应x值代入函数解析式计算即可；2. 补全图象可利用函数的对称性，因解析式含$|x|$，函数图象关于y轴对称，将已有右侧图象沿y轴对称画出左侧部分即可；3. 总结函数性质可从增减性、对称性、函数值取值范围等角度观察图象得出；4. 求$y≥2$时x的范围，可结合图象找到$y=2$对应的x值，再观察图象在$y=2$及上方部分对应的x取值区间即可。
【解析】
(1)① 已知函数解析式为$y=\frac{2}{|x|}$，将对应x值代入解析式，可得$y=\frac{2}{|x|}=1$，故m=1；
② 由于$|x|=|-x|$，函数图象关于y轴对称，将x＞0部分的图象沿y轴翻折，画出x＜0的部分即可补全图象；
③ 观察图象可总结函数性质：当$x＜0$时，y随x的增大而增大；当$x＞0$时，y随x的增大而减小，也可从对称性、函数值范围等角度描述，答案不唯一；
(2) 观察图象，当$y=2$时，对应的x值为$x=1$和$x=-1$，当$y≥2$时，图象位于$y=2$及上方，对应x的取值范围为$-1≤x＜0$或$0＜x≤1$。
【答案】
(1)①1 ②补全函数图象如
所示. ③当$x＜0$时,y随x的增大而增大;当$x＞0$时,y随x的增大而减小(答案不唯一)(2)$0＜x≤1$或$-1≤x＜0$
【知识点】
反比例函数的性质，函数图象的应用，绝对值的性质
【点评】
本题通过类比反比例函数的探究方法，考查了含绝对值的类反比例函数的图象与性质，解题时要注意利用数形结合思想分析问题，同时注意自变量x的取值不能为0，避免漏写或错写取值范围。
【难度系数】
0.7
15.已知反比例函数 $y=\dfrac{1-2m}{x}$（$m$ 为常数）的图象在第一、第三象限.
(1)求 $m$ 的取值范围.
(2)如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形 $ABOD$ 的顶点 $D$，点 $A,B$ 的坐标分别为 $(0,3),(-2,0)$.
①求出该反比例函数的解析式；
②设点 $P$ 是该反比例函数图象上的一点（不与点 $D$ 重合）.若 $OD=OP$，求点 $P$ 的坐标.
(1)求 $m$ 的取值范围.
(2)如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形 $ABOD$ 的顶点 $D$，点 $A,B$ 的坐标分别为 $(0,3),(-2,0)$.
①求出该反比例函数的解析式；
②设点 $P$ 是该反比例函数图象上的一点（不与点 $D$ 重合）.若 $OD=OP$，求点 $P$ 的坐标.
答案
15. 解:(1)由题意,得$1-2m＞0$,解得$m＜\frac{1}{2}$.
(2)①
∵四边形ABOD是平行四边形,
∴$AD// OB$,$AD=OB$. 又
∵点A,B的坐标分别为(0,3),(-2,0),
∴点D的坐标为(2,3).把D(2,3)代入$y=\frac{1-2m}{x}$中,得$1-2m=6$.
∴该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$.
②(i)
∵反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象关于原点对称,
∴当点P与点D关于原点对称时,$OD=OP$,此时点P的坐标为(-2,-3).
(ii)
∵反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象关于直线$y=x$对称,
∴当点P与点D关于直线$y=x$对称时,$OP=OD$,此时点P的坐标为(3,2).
(iii)点(3,2)关于原点对称的点满足$OP=OD$,此时点P的坐标为(-3,-2).
综上所述,点P的坐标为(-2,-3)或(3,2)或(-3,-2).
(2)①
∵四边形ABOD是平行四边形,
∴$AD// OB$,$AD=OB$. 又
∵点A,B的坐标分别为(0,3),(-2,0),
∴点D的坐标为(2,3).把D(2,3)代入$y=\frac{1-2m}{x}$中,得$1-2m=6$.
∴该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$.
②(i)
∵反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象关于原点对称,
∴当点P与点D关于原点对称时,$OD=OP$,此时点P的坐标为(-2,-3).
(ii)
∵反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象关于直线$y=x$对称,
∴当点P与点D关于直线$y=x$对称时,$OP=OD$,此时点P的坐标为(3,2).
(iii)点(3,2)关于原点对称的点满足$OP=OD$,此时点P的坐标为(-3,-2).
综上所述,点P的坐标为(-2,-3)或(3,2)或(-3,-2).
解析
【分析】
(1) 要确定m的取值范围，根据反比例函数的性质：当反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一、第三象限时，比例系数$k＞0$，本题只需令$1-2m＞0$，解不等式即可得到m的范围。
(2) ①求反比例函数解析式需要先得到图象上一个点的坐标，已知四边形ABOD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合A、B的坐标可推出点D的坐标，再将D点坐标代入反比例函数表达式求出比例系数，即可得到解析式。
②已知$OD=OP$，可利用反比例函数图象的对称性求解：反比例函数图象关于原点中心对称，也关于直线$y=x$轴对称，据此找到所有到原点距离等于OD且在函数图象上的点，排除与D重合的点即可得到全部符合条件的P点坐标。
【解析】
(1) 解：
∵反比例函数$y=\frac{1-2m}{x}$的图象在第一、第三象限，
∴$1-2m＞0$，
解得$m＜\frac{1}{2}$。
(2) ①解：
∵四边形ABOD是平行四边形，
∴$AD// OB$，$AD=OB$，
∵点B坐标为$(-2,0)$，
∴$OB=2$，即$AD=2$，
∵点A坐标为$(0,3)$，$AD// OB$（OB在x轴上，AD为水平线段），
∴点D的纵坐标与A相同为3，横坐标为$0+2=2$，即$D(2,3)$，
将$D(2,3)$代入$y=\frac{1-2m}{x}$，得$3=\frac{1-2m}{2}$，
解得$1-2m=6$，
∴该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
②解：
∵$OD=OP$，即点P到原点的距离等于点D到原点的距离，结合反比例函数图象的对称性分析：
(i) 反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象关于原点中心对称，点D关于原点对称的点为$(-2,-3)$，满足$OP=OD$且在函数图象上；
(ii) 反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象关于直线$y=x$轴对称，点D关于直线$y=x$对称的点为$(3,2)$，满足$OP=OD$且在函数图象上；
(iii) 点$(3,2)$关于原点对称的点为$(-3,-2)$，满足$OP=OD$且在函数图象上；
以上三点均不与点D重合，符合要求。
【答案】
(1) $m＜\frac{1}{2}$
(2) ① $y=\frac{6}{x}$；② $(-2,-3)$或$(3,2)$或$(-3,-2)$
【知识点】
反比例函数性质，平行四边形性质，图形的对称性
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的综合题，基础部分考查反比例函数比例系数和图象象限的关系，结合平行四边形性质求点坐标是解题的关键，难点在于利用对称性求解点P时避免漏解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要确定m的取值范围，根据反比例函数的性质：当反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一、第三象限时，比例系数$k＞0$，本题只需令$1-2m＞0$，解不等式即可得到m的范围。
(2) ①求反比例函数解析式需要先得到图象上一个点的坐标，已知四边形ABOD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合A、B的坐标可推出点D的坐标，再将D点坐标代入反比例函数表达式求出比例系数，即可得到解析式。
②已知$OD=OP$，可利用反比例函数图象的对称性求解：反比例函数图象关于原点中心对称，也关于直线$y=x$轴对称，据此找到所有到原点距离等于OD且在函数图象上的点，排除与D重合的点即可得到全部符合条件的P点坐标。
【解析】
(1) 解：
∵反比例函数$y=\frac{1-2m}{x}$的图象在第一、第三象限，
∴$1-2m＞0$，
解得$m＜\frac{1}{2}$。
(2) ①解：
∵四边形ABOD是平行四边形，
∴$AD// OB$，$AD=OB$，
∵点B坐标为$(-2,0)$，
∴$OB=2$，即$AD=2$，
∵点A坐标为$(0,3)$，$AD// OB$（OB在x轴上，AD为水平线段），
∴点D的纵坐标与A相同为3，横坐标为$0+2=2$，即$D(2,3)$，
将$D(2,3)$代入$y=\frac{1-2m}{x}$，得$3=\frac{1-2m}{2}$，
解得$1-2m=6$，
∴该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
②解：
∵$OD=OP$，即点P到原点的距离等于点D到原点的距离，结合反比例函数图象的对称性分析：
(i) 反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象关于原点中心对称，点D关于原点对称的点为$(-2,-3)$，满足$OP=OD$且在函数图象上；
(ii) 反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象关于直线$y=x$轴对称，点D关于直线$y=x$对称的点为$(3,2)$，满足$OP=OD$且在函数图象上；
(iii) 点$(3,2)$关于原点对称的点为$(-3,-2)$，满足$OP=OD$且在函数图象上；
以上三点均不与点D重合，符合要求。
【答案】
(1) $m＜\frac{1}{2}$
(2) ① $y=\frac{6}{x}$；② $(-2,-3)$或$(3,2)$或$(-3,-2)$
【知识点】
反比例函数性质，平行四边形性质，图形的对称性
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的综合题，基础部分考查反比例函数比例系数和图象象限的关系，结合平行四边形性质求点坐标是解题的关键，难点在于利用对称性求解点P时避免漏解，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
