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初中数学
九年级
二册
北师大版
7.「2026江西萍乡四中期中，★☆」下列选项中的四边形ABCD不一定为矩形的是（
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7.「2026江西萍乡四中期中，★☆」下列选项中的四边形ABCD不一定为矩形的是（
D
）答案
7.D 选项 A,
∵ AD=BC=4,AB=CD=3,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∵ AB = 3,BC = 4,AC = 5,
∴ AB²+BC² = 3²+4² = 5² = AC²,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ 四边形 ABCD 是矩形,故 A 选项不符合题意;
选项 B,观察图形可知,四边形的对角线互相平分且相等,
∴ 四边形 ABCD 是矩形,故 B 选项不符合题意;
选项 C,观察图形可知 ∠C = ∠D = ∠A = ∠B = 90°,
∴ 四边形 ABCD 是矩形,故 C 选项不符合题意;
选项 D,观察图形只可以得出 AD // BC,故不能判定四边形 ABCD 是矩形,故 D 选项符合题意.故选 D.
∵ AD=BC=4,AB=CD=3,
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∵ AB = 3,BC = 4,AC = 5,
∴ AB²+BC² = 3²+4² = 5² = AC²,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ 四边形 ABCD 是矩形,故 A 选项不符合题意;
选项 B,观察图形可知,四边形的对角线互相平分且相等,
∴ 四边形 ABCD 是矩形,故 B 选项不符合题意;
选项 C,观察图形可知 ∠C = ∠D = ∠A = ∠B = 90°,
∴ 四边形 ABCD 是矩形,故 C 选项不符合题意;
选项 D,观察图形只可以得出 AD // BC,故不能判定四边形 ABCD 是矩形,故 D 选项符合题意.故选 D.
解析
【分析】
解决本题首先要明确矩形的判定定理：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形。解题时逐一分析每个选项给出的条件，结合判定定理判断能否推出四边形ABCD是矩形，无法推出的即为正确答案。
【解析】
选项A：
∵AD=BC=4，AB=CD=3，
∴两组对边分别相等，四边形ABCD是平行四边形。又
∵AB=3，BC=4，AC=5，
∴AB²+BC²=3²+4²=25=5²=AC²，根据勾股定理的逆定理可得∠ABC=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形ABCD是矩形，故A不符合题意。
选项B：由图可知四边形ABCD的对角线互相平分且相等，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，因此四边形ABCD是矩形，故B不符合题意。
选项C：由图可知∠A=∠B=∠C=∠D=90°，四个角都是直角的四边形是矩形，因此四边形ABCD是矩形，故C不符合题意。
选项D：由图中角的条件仅可推出AD//BC，无法证明四边形ABCD是平行四边形，也无法证明存在内角为直角，因此不能判定四边形ABCD是矩形，故D符合题意。
【答案】D
【知识点】矩形的判定；平行四边形的判定；勾股定理的逆定理
【点评】本题侧重考查矩形判定定理的应用，解题的核心是熟练掌握矩形的三类判定方法，注意判定矩形时，若使用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是矩形”这两个定理，需要先判定四边形是平行四边形，再验证直角或对角线相等的条件。
【难度系数】0.8
解决本题首先要明确矩形的判定定理：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形。解题时逐一分析每个选项给出的条件，结合判定定理判断能否推出四边形ABCD是矩形，无法推出的即为正确答案。
【解析】
选项A：
∵AD=BC=4，AB=CD=3，
∴两组对边分别相等，四边形ABCD是平行四边形。又
∵AB=3，BC=4，AC=5，
∴AB²+BC²=3²+4²=25=5²=AC²，根据勾股定理的逆定理可得∠ABC=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此四边形ABCD是矩形，故A不符合题意。
选项B：由图可知四边形ABCD的对角线互相平分且相等，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，因此四边形ABCD是矩形，故B不符合题意。
选项C：由图可知∠A=∠B=∠C=∠D=90°，四个角都是直角的四边形是矩形，因此四边形ABCD是矩形，故C不符合题意。
选项D：由图中角的条件仅可推出AD//BC，无法证明四边形ABCD是平行四边形，也无法证明存在内角为直角，因此不能判定四边形ABCD是矩形，故D符合题意。
【答案】D
【知识点】矩形的判定；平行四边形的判定；勾股定理的逆定理
【点评】本题侧重考查矩形判定定理的应用，解题的核心是熟练掌握矩形的三类判定方法，注意判定矩形时，若使用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”“对角线相等的平行四边形是矩形”这两个定理，需要先判定四边形是平行四边形，再验证直角或对角线相等的条件。
【难度系数】0.8
8.「2026甘肃张掖临泽期中，★☆」如图，$△ ABC$中，点O是边AC上一个动点，过O作直线$MN // BC$.设MN交$∠ ACB$的平分线于点E，交$∠ ACB$的邻补角$∠ ACD$的平分线于点F.
(1)求证:$OE=OF$.
(2)若$CE=12$，$CF=5$，求OC的长.
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.
(1)求证:$OE=OF$.
(2)若$CE=12$，$CF=5$，求OC的长.
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.
答案
8.解析 (1)证明:如图,
由题意得∠2=∠5,∠4=∠6,
∵ MN//BC,
∴ ∠1=∠5,∠3=∠6,
∴ ∠1=∠2,∠3=∠4,
∴ EO=CO,FO=CO,
∴ OE=OF.
(2)
∵ ∠2=∠5,∠4=∠6,∠ACD 是∠ACB 的邻补角,
∴ ∠2+∠4=∠5+∠6=90°,
∵ CE=12,CF=5,
∴ $EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{144+25}=13$,
由(1)知 OE=OF,
∴ O 为 EF 的中点,
∴ $OC=\frac{1}{2}EF=\frac{13}{2}$.
(3)当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形AECF 是矩形.
理由如下:当 O 为 AC 的中点时,AO=CO,
∵ EO=FO,
∴ 四边形 AECF 是平行四边形,
∵ ∠ECF=90°,
∴ 平行四边形 AECF 是矩形.
解析
【分析】
(1) 欲证OE=OF，可通过证明二者都等于OC推导：首先根据角平分线定义得到∠2=∠5，∠4=∠6，结合MN//BC的平行线性质，可得内错角∠1=∠5、∠3=∠6，等量代换得∠1=∠2、∠3=∠4，根据等角对等边可得EO=CO、FO=CO，即可得出OE=OF。
(2) 先根据邻补角的性质和角平分线定义，推出∠2+∠4=90°，即△ECF为直角三角形，利用勾股定理求出EF的长度，再结合(1)中OE=OF可知O是EF中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求出OC的长度。
(3) 已知∠ECF=90°，要判定四边形AECF是矩形，只需先证明它是平行四边形即可：已知OE=OF，若O为AC中点，则四边形对角线互相平分，即可判定为平行四边形，再结合直角即可得矩形。
【解析】
(1)证明:如图,
由题意得∠2=∠5,∠4=∠6,
∵ MN//BC,
∴ ∠1=∠5,∠3=∠6,
∴ ∠1=∠2,∠3=∠4,
∴ EO=CO,FO=CO,
∴ OE=OF.
(2)
∵ ∠2=∠5,∠4=∠6,∠ACD 是∠ACB 的邻补角,
∴ ∠2+∠4=∠5+∠6=90°,
∵ CE=12,CF=5,
∴ $EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{144+25}=13$,
由(1)知 OE=OF,
∴ O 为 EF 的中点,
∴ $OC=\frac{1}{2}EF=\frac{13}{2}$.
(3)当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形AECF 是矩形.
理由如下:当 O 为 AC 的中点时,AO=CO,
∵ EO=FO,
∴ 四边形 AECF 是平行四边形,
∵ ∠ECF=90°,
∴ 平行四边形 AECF 是矩形.
【答案】
(1) 证明成立，OE=OF；
(2) $OC=\frac{13}{2}$；
(3) 点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形判定；矩形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，梯度设置合理，融合了角平分线、平行线、特殊三角形及特殊四边形的相关知识点，解题核心是利用角平分线与平行线的组合得到等角，进而推导边的关系，再结合对应判定定理求解。
【难度系数】
0.7
(1) 欲证OE=OF，可通过证明二者都等于OC推导：首先根据角平分线定义得到∠2=∠5，∠4=∠6，结合MN//BC的平行线性质，可得内错角∠1=∠5、∠3=∠6，等量代换得∠1=∠2、∠3=∠4，根据等角对等边可得EO=CO、FO=CO，即可得出OE=OF。
(2) 先根据邻补角的性质和角平分线定义，推出∠2+∠4=90°，即△ECF为直角三角形，利用勾股定理求出EF的长度，再结合(1)中OE=OF可知O是EF中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即可求出OC的长度。
(3) 已知∠ECF=90°，要判定四边形AECF是矩形，只需先证明它是平行四边形即可：已知OE=OF，若O为AC中点，则四边形对角线互相平分，即可判定为平行四边形，再结合直角即可得矩形。
【解析】
(1)证明:如图,
由题意得∠2=∠5,∠4=∠6,
∵ MN//BC,
∴ ∠1=∠5,∠3=∠6,
∴ ∠1=∠2,∠3=∠4,
∴ EO=CO,FO=CO,
∴ OE=OF.
(2)
∵ ∠2=∠5,∠4=∠6,∠ACD 是∠ACB 的邻补角,
∴ ∠2+∠4=∠5+∠6=90°,
∵ CE=12,CF=5,
∴ $EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=\sqrt{144+25}=13$,
由(1)知 OE=OF,
∴ O 为 EF 的中点,
∴ $OC=\frac{1}{2}EF=\frac{13}{2}$.
(3)当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时,四边形AECF 是矩形.
理由如下:当 O 为 AC 的中点时,AO=CO,
∵ EO=FO,
∴ 四边形 AECF 是平行四边形,
∵ ∠ECF=90°,
∴ 平行四边形 AECF 是矩形.
【答案】
(1) 证明成立，OE=OF；
(2) $OC=\frac{13}{2}$；
(3) 点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由见解析。
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形判定；矩形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，梯度设置合理，融合了角平分线、平行线、特殊三角形及特殊四边形的相关知识点，解题核心是利用角平分线与平行线的组合得到等角，进而推导边的关系，再结合对应判定定理求解。
【难度系数】
0.7
9. 核心素养推理能力 如图,已知$△ ABC$和$△ DEF$是两个边长都为10 cm的等边三角形,且$B,D,C,E$都在同一直线上,连接$AD,CF$.若$BD=3\ \mathrm{cm}$,$△ ABC$沿着$BE$的方向以每秒1 cm的速度运动,设$△ ABC$运动时间为$t$秒,
(1)当$t$为何值时,四边形$ADFC$是菱形?请说明你的理由.
(2)四边形$ADFC$有可能是矩形吗?若可能,求出$t$的值及此矩形的面积;若不可能,请说明理由.
(1)当$t$为何值时,四边形$ADFC$是菱形?请说明你的理由.
(2)四边形$ADFC$有可能是矩形吗?若可能,求出$t$的值及此矩形的面积;若不可能,请说明理由.
答案
9.解析 (1)$t$ 为3.理由:
∵ △ABC 和△FDE 都是边长为10 cm 的等边三角形,
∴ AC = DF,∠ACD = ∠FDE = 60°,
∴ AC // DF,
∴ 四边形 ADFC 是平行四边形,
当$t=3$时,B 与 D 重合,
∴ AD = DF,
∴ 平行四边形ADFC 是菱形.
(2)四边形 ADFC 有可能是矩形.当$t=13$时,平行四边形 ADFC 是矩形,此时 B 与 E 重合,A,B,F 在一条直线上,
∴ AF = CD = 20 cm,
∴ 平行四边形 ADFC 是矩形,
∴ ∠CFD = 90°,
∴ $CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=10\sqrt{3}$ cm,
∴ $S_{\mathrm{矩形}ADFC}=10×10\sqrt{3}=100\sqrt{3}\ (\mathrm{cm}^2)$.
∵ △ABC 和△FDE 都是边长为10 cm 的等边三角形,
∴ AC = DF,∠ACD = ∠FDE = 60°,
∴ AC // DF,
∴ 四边形 ADFC 是平行四边形,
当$t=3$时,B 与 D 重合,
∴ AD = DF,
∴ 平行四边形ADFC 是菱形.
(2)四边形 ADFC 有可能是矩形.当$t=13$时,平行四边形 ADFC 是矩形,此时 B 与 E 重合,A,B,F 在一条直线上,
∴ AF = CD = 20 cm,
∴ 平行四边形 ADFC 是矩形,
∴ ∠CFD = 90°,
∴ $CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=10\sqrt{3}$ cm,
∴ $S_{\mathrm{矩形}ADFC}=10×10\sqrt{3}=100\sqrt{3}\ (\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
本题是动点结合特殊平行四边形判定的几何题，解题思路如下：①首先根据两个等边三角形的性质，可判断无论运动时间t取何值，四边形ADFC都是平行四边形：△ABC和△DEF都是边长为10cm的等边三角形，可得AC=DF且AC//DF，满足平行四边形的判定条件，后续只需结合菱形、矩形的判定条件分析即可。②第(1)问要使平行四边形ADFC为菱形，只需邻边相等，即AD=DF，此时对应点B与点D重合，运动距离等于初始BD的长度3cm，结合运动速度即可求出t。③第(2)问要使平行四边形ADFC为矩形，只需满足对角线相等或有一个内角为直角，此时对应点B运动到与点E重合的位置，先计算运动距离求出t，再利用勾股定理求矩形边长，最后计算面积即可。
【解析】
(1) 当$t=3$时，四边形$ADFC$是菱形，理由：
∵ $△ ABC$和$△ FDE$都是边长为10 cm的等边三角形，
∴ $AC = DF$，$∠ ACD = ∠ FDE = 60°$，
∴ $AC // DF$，
∴ 四边形$ADFC$是平行四边形。
当$t=3$时，$△ ABC$向右运动的距离为$1×3=3\ \mathrm{cm}$，恰好等于初始$BD$的长度，此时点$B$与点$D$重合，
∴ $AD = AB = 10\ \mathrm{cm} = DF$，
∴ 平行四边形$ADFC$是菱形。
(2) 四边形$ADFC$有可能是矩形，求解如下：
当平行四边形$ADFC$是矩形时，对角线相等，此时点$B$与点$E$重合，$△ ABC$向右运动的距离为$BD + DE = 3+10=13\ \mathrm{cm}$，
∴ $t=\frac{13}{1}=13$秒。
此时$A、B、F$三点共线，对角线$AF = CD = 20\ \mathrm{cm}$，平行四边形对角线相等，因此$ADFC$是矩形，
∴ $∠ CFD = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CFD$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴ 矩形$ADFC$的面积$S=DF× CF=10×10\sqrt{3}=100\sqrt{3}\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=3\ \mathrm{s}}$；
(2) 可能，$\boldsymbol{t=13\ \mathrm{s}}$，矩形面积为$\boldsymbol{100\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
等边三角形的性质、菱形的判定、矩形的判定与性质
【点评】
本题将动点问题与特殊平行四边形的判定相结合，解题核心是先确定四边形ADFC恒为平行四边形，再根据菱形、矩形的判定条件找到动点的对应位置，能较好地考查逻辑推理能力和动态分析能力。
【难度系数】
0.6
本题是动点结合特殊平行四边形判定的几何题，解题思路如下：①首先根据两个等边三角形的性质，可判断无论运动时间t取何值，四边形ADFC都是平行四边形：△ABC和△DEF都是边长为10cm的等边三角形，可得AC=DF且AC//DF，满足平行四边形的判定条件，后续只需结合菱形、矩形的判定条件分析即可。②第(1)问要使平行四边形ADFC为菱形，只需邻边相等，即AD=DF，此时对应点B与点D重合，运动距离等于初始BD的长度3cm，结合运动速度即可求出t。③第(2)问要使平行四边形ADFC为矩形，只需满足对角线相等或有一个内角为直角，此时对应点B运动到与点E重合的位置，先计算运动距离求出t，再利用勾股定理求矩形边长，最后计算面积即可。
【解析】
(1) 当$t=3$时，四边形$ADFC$是菱形，理由：
∵ $△ ABC$和$△ FDE$都是边长为10 cm的等边三角形，
∴ $AC = DF$，$∠ ACD = ∠ FDE = 60°$，
∴ $AC // DF$，
∴ 四边形$ADFC$是平行四边形。
当$t=3$时，$△ ABC$向右运动的距离为$1×3=3\ \mathrm{cm}$，恰好等于初始$BD$的长度，此时点$B$与点$D$重合，
∴ $AD = AB = 10\ \mathrm{cm} = DF$，
∴ 平行四边形$ADFC$是菱形。
(2) 四边形$ADFC$有可能是矩形，求解如下：
当平行四边形$ADFC$是矩形时，对角线相等，此时点$B$与点$E$重合，$△ ABC$向右运动的距离为$BD + DE = 3+10=13\ \mathrm{cm}$，
∴ $t=\frac{13}{1}=13$秒。
此时$A、B、F$三点共线，对角线$AF = CD = 20\ \mathrm{cm}$，平行四边形对角线相等，因此$ADFC$是矩形，
∴ $∠ CFD = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ CFD$中，由勾股定理得：
$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{20^2-10^2}=10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴ 矩形$ADFC$的面积$S=DF× CF=10×10\sqrt{3}=100\sqrt{3}\ (\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=3\ \mathrm{s}}$；
(2) 可能，$\boldsymbol{t=13\ \mathrm{s}}$，矩形面积为$\boldsymbol{100\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
等边三角形的性质、菱形的判定、矩形的判定与性质
【点评】
本题将动点问题与特殊平行四边形的判定相结合，解题核心是先确定四边形ADFC恒为平行四边形，再根据菱形、矩形的判定条件找到动点的对应位置，能较好地考查逻辑推理能力和动态分析能力。
【难度系数】
0.6
