1. 如图,在$△ ABC$中,$AC＞BC$,将$△ ABC$绕点$C$旋转得到$△ DEC$,使得点$B$的对应点$E$落在直线$AB$上(点$E$不与点$B$重合).
尺规作图:作出$△ DEC$(不写作法,保留作图痕迹).

1. 如图,△DEC即为所求. 解析:①以C为圆心,CB长度为半径画弧交AB的延长线于点E;②分别以C,E为圆心,AC,AB长度为半径画弧,两弧交于点D;③连接CD,CE,DE.

2. 如图所示，$△ ABO$ 和 $△ CDO$ 关于点 $O$ 中心对称.
(1)请用尺规作图作出点 $D$，连接 $AD$，$CD$；
(2)求证：$AD=BC$.

2. (1)如图,点D即为所求作,连接AD,CD.

(2)
∵△ABO和△CDO关于点O中心对称,
∴OA=OC,OD=OB,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC.

3. (2026·福州月考)如图,点O是等边三角形ABC内的一点,∠BOC=150°,将△BOC绕点C顺时针旋转得到△ADC,使旋转后的BC边与AC边重合.
(1)用尺规作出△ADC,连接OD;
(2)若OB=2,OC=3,求AO的长.

3. (1)
∵三角形ABC是等边三角形,
∴∠BCA=60°,BC=AC.
∵将△BOC绕点C顺时针旋转得到△ADC,使旋转后的BC边与AC边重合,
∴△BOC≌△ADC.故以点A为圆心,以BC的长为半径画弧,以点C为圆心,以CO的长为半径画弧,两弧交于△ABC外一点,即为点D,连接OD,如图所示.

(2)
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠ACB=60°.
∵△BOC绕点C顺时针旋转得到△ADC,
∴AD=OB=2,∠ADC=∠BOC=150°,OC=DC,∠OCD=∠ACB=60°,
∴△OCD是等边三角形,
∴∠ODC=60°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°.
∵△OCD是等边三角形,
∴OD=OC=3.在Rt△ADO中,$AO=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.

4. 作出旋转变换后的图象:将图中的△ABC绕点O顺时针旋转$90°$后得到$△ A'B'C'$.

4. 如图,△A'B'C'即为所求.

5. 如图,点A,B,C是格点,请用无刻度的直尺按要求在网格中作图,并标明字母.
(1)作四边形ABDC,使四边形ABDC为中心对称图形,且D为格点;
(2)以AC为边作四边形ACMN,使四边形ACMN既是中心对称图形,又是轴对称图形,且M,N均为格点.

5. (1)如图,四边形ABDC即为所求.

(2)如图,四边形ACMN即为所求.(合理即可)

6. (2026·临夏期末)如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形$OA_1B_1C_1$,依此方式,绕点O连续旋转2026次得到正方形$OA_{2026}B_{2026}C_{2026}$,如果点A的坐标为(1,0),那么点$B_{2026}$的坐标为.

6. (-1,1) 解析:
∵正方形OABC绕点O逆时针旋转45°,
∴360°÷45°=8,每旋转8次回到原来位置,
∴2026÷8=253……2,
∴点$B_{2026}$的坐标与点$B_2$的坐标相同.
∵已知点A(1,0),则点B(1,1),旋转45°后得点$B_1(0,\sqrt{2})$,再旋转45°后得点$B_2(-1,1)$,
∴点$B_{2026}$的坐标为(-1,1).

7. (2025·威海期末)如图,在直角坐标系中,已知点$A(-3,0),B(0,4)$,对$△ OAB$连续作旋转变换,依次得到$△ _{1},△ _{2},△ _{3},△ _{4},···$,那么$△ _{20}$的直角顶点的坐标为。

7. $( \dfrac{396}{5},\dfrac{12}{5} )$ 解析:如图,过点$O_1$作$O_1D ⊥ x$轴于点D,

∵$A(-3,0),B(0,4)$,
∴$OA=3,OB=4$,
∴$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$,由旋转得$O_1A_2=OA=3,O_1B_1=OB=4,A_2B_1=AB=5$,
∵$S_{△ O_1A_2B_1}=\dfrac{1}{2}O_1D · A_2B_1=\dfrac{1}{2}O_1A_2 · O_1B_1$,
∴$O_1D=\dfrac{12}{5}$,
∴$B_1D=\sqrt{O_1B_1^2-O_1D^2}=\dfrac{16}{5}$,
∴$OD=OB_1+B_1D=\dfrac{36}{5}$.
∵第一次旋转变换后直角顶点坐标为(0,0),
∴第二次旋转变换后直角顶点坐标为$( \dfrac{36}{5},\dfrac{12}{5} )$,第三次旋转变换后直角顶点为(12,0),第四次旋转变换后直角顶点坐标为(12,0),第五次旋转变换后直角顶点坐标为$( \dfrac{96}{5},\dfrac{12}{5} )$……由图可知,每旋转三个三角形为一个循环组依次循环,
∵20÷3=6……2,
∴$△_{20}$的直角顶点是第7个循环组中第二个三角形的直角顶点.
∵每增加一个循环组横坐标增加4+5+3=12,
∴$6×12+\dfrac{36}{5}=\dfrac{396}{5}$,
∴$△_{20}$的直角顶点的坐标为$( \dfrac{396}{5},\dfrac{12}{5} )$.