1[2026河北石家庄质检]“轮动发石机”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图(1)是陈列在展览馆的仿真模型，图(2)是模型驱动部分的示意图，其中$\odot M$，$\odot N$的半径分别是1 cm和10 cm，当$\odot M$顺时针转动2周时，$\odot N$上的点P随之旋转$n°$，则$n=$（）


A.120
B.108
C.90
D.72

【解析】$\because \odot M$ 的半径为 1 cm,$\therefore \odot M$ 的周长为 $2π$ cm,$\therefore \odot M$ 顺时针转动 2 周时,点 P 转动的弧长为 $4π$ cm,$\therefore 4π=\frac{nπ× 10}{180}$, 解得 $n=72$,故选 D.

2[2026四川广安质检]如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 30°$，点$D$是$BC$上一点，以$CD$为直径的半圆$O$经过$△ ABC$的顶点$A$，交$AB$于点$F$，若$AC=AF$，$CD=10$，则$\overset{\frown}{AC}$的长为（）

A.$\frac{5}{3}π$
B.$\frac{5}{6}π$
C.$\frac{20}{9}π$
D.$\frac{25}{18}π$

【解析】如图，连接OA,OF. $\because AF=AC,OF=OC,OA=OA,\therefore △ AOF≌ △ AOC(SSS),\therefore ∠ OAF=∠ OAC.\because OA=OC,\therefore ∠ C=∠ OAC,\therefore ∠ BAC=2∠ C$. 在 $△ ABC$ 中, $\because ∠ BAC+∠ B+∠ C=180°$,$\therefore 3∠ C+∠ B=180°.\because ∠ B=30°,\therefore 3∠ C+30°=180°,\therefore ∠ C=50°,\therefore ∠ AOC=180°-50°-50°=80°$. 又$\because$ 直径 $CD=10$,$\therefore$ 半径 $OA=OC=5$,$\therefore \overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{80π× 5}{180}=\frac{20}{9}π$. 故选 C.

3 新考向跨学科综合 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10 cm，OA是滑轮的一条半径，当OA绕轴心O按逆时针方向旋转$180°$时，重物上升的高度为 cm.

【解析】根据题意得,重物上升的高度为$\frac{180× π× 10}{180}=10π(\mathrm{cm})$.

4如图,将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG,点B的对应点E落在边CD上,若
$AB=\sqrt{6},BC=\sqrt{3}$,则$\overset{\frown}{CF}$($\overset{\frown}{CF}$是旋转过程中C的运动轨迹)的长为.

【解析】如图,连接 $AC,AF$,过点 $E$ 作 $EM⊥ AB$ 于 $M$,则 $EM=CB=\sqrt{3}$. 由旋转的性质可知, $AB=AE=\sqrt{6}$,$AC=AF$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AC=\sqrt{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{3})^2}=3$. 在 $\mathrm{Rt}△ AEM$ 中, $AM=\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{3}$,$\therefore AM=EM$,$\therefore ∠ EAM=45°$. 由旋转可得, $∠ FAC=∠ EAM=45°$,$\therefore \overset{\frown}{CF}$ 的长为 $\frac{45π· 3}{180}=\frac{3π}{4}$. 故答案为 $\frac{3π}{4}$.

5 如图，四边形ABCD内接于半径为3的⊙O，CD是直径，若∠ABC=110°，则扇形AOD的面积为（）


A.$\frac{7}{4}π$
B.$π$
C.$\frac{7}{2}π$
D.$2π$

【解析】$\because ∠ ABC=110°$,$\therefore$ 优弧 $\overset{\frown}{ADC}$ 所对的圆心角的度数为 $110°× 2=220°$. $\because CD$ 是直径,$\therefore ∠ COD=180°$. $\because ∠ COD+∠ AOD=220°$,$\therefore ∠ AOD=40°$. $\because \odot O$ 的半径为 3,$\therefore$ 扇形 $AOD$ 的面积为 $\frac{40× π× 3^2}{360}=π$,故选 B.

6 如图(1)是边长为1的等边三角形铁丝框ABC,按图(2)方式变形成以A为圆心,AB长为半径的扇形(图形周长保持不变),则所得扇形ABC的面积为.

【解析】设 $∠ A=n°$. $\because$ 等边三角形铁丝框 $ABC$ 的边长为 1,$\therefore AB=BC=1$,$\therefore l_{\overset{\frown}{BC}}=1$,$\therefore \frac{nπ× 1}{180}=1$, 解得 $n=\frac{180}{π}$,$\therefore$ 所得扇形 $ABC$ 的面积为 $\frac{\frac{180}{π}· π× 1^2}{360}=\frac{1}{2}$,故答案为 $\frac{1}{2}$.

7 如图,边长为1的正方形ABCD的顶点A在扇形OEF的半径OE上,点B,C在OF上,点D在$\overset{\frown}{EF}$上,若∠EOF=45°,则扇形OEF的面积为.

【解析】如图所示,连接 $OD$. $\because ∠ EOF=45°$,四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore ∠ ABO=90°$,$\therefore ∠ OAB=45°=∠ EOF$,$\therefore AB=OB=BC=CD=1$,$\therefore OC=2$. 在 $\mathrm{Rt}△ ODC$ 中, $OD=\sqrt{CD^2+OC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$\therefore$ 扇形 $OEF$ 的面积为 $\frac{45× π× (\sqrt{5})^2}{360}=\frac{5}{8}π$,故答案为 $\frac{5}{8}π$.

8[2026山西阳泉期末]如图,AB是半圆O的直径,点D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,连接DA,AC,DE⊥AO于点E.若∠DAC=22.5°,DE=1,求阴影部分的面积.

【解】如图,连接 $OD,OC$.
$\because ∠ DAC=22.5°$,$\therefore ∠ COD=2∠ DAC=45°$. $\because$ 点 $D$ 是 $\overset{\frown}{AC}$ 的中点,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore ∠ AOD=∠ COD=45°$,$\therefore △ ODE$ 为等腰直角三角形,$\therefore$ 易得 $OD=\sqrt{2}$,$\therefore S_{\mathrm{扇形}OAD}=\frac{45π× (\sqrt{2})^2}{360}=\frac{π}{4}$,$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}AO· DE=\frac{1}{2}× \sqrt{2}× 1=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OAD}-S_{△ AOD}=\frac{π}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}$.