1 AI DPSK原创 如图, 四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$, $AB$ 是$\odot O$ 的直径, 点 $E$ 在$\odot O$ 上, 连接 $CE$, $BE$, 小明通过连接 $AE$, 得到圆内接四边形, 小丽通过连接 $DE$, 得到圆内接四边形.

（第1题图）
（第2题图）

1. ADCE BCDE 【解析】连接 AE, 如图(1), 得到圆内接四边形 ADCE. 连接 DE, 如图(2), 得到圆内接四边形 BCDE.

2 如图,在圆内接四边形ABCD中,若∠A,∠B,∠C的度数之比为4:3:5,则∠D的度数是 ()

A.80°
B.100°
C.110°
D.120°

2. D 【解析】设∠A的度数为4x,则∠B的度数为3x,∠C的度数为5x.
∵ 四边形ABCD为圆内接四边形,
∴ ∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°,
∴ 4x+5x=180°, 解得 x=20°,
∴ ∠B=3x=60°,
∴ ∠D=180°-60°=120°. 故选 D.
思路分析
先根据圆内接四边形的性质列出方程求出∠B的度数,进而可得∠D的度数.

3[2026浙江杭州期中]如图,已知四边形ABCD内接于$\odot O$,连接AC,记$∠ BAC$的度数为$α$,$∠ CAD$的度数为$β$.若$AB=AC$,$AB// CD$,则（）

A.$2α+3β=180°$
B.$3α+4β=360°$
C.$3α+2β=180°$
D.$4α+3β=360°$

(第3题图)
(第4题图)

3. C 【解析】
∵ ∠BAC的度数为α,∠CAD的度数为β,
∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = α+β.
∵ AB=AC,
∴ ∠B = ∠ACB. 由三角形内角和定理得∠B+∠ACB+∠BAC=180°,
∴ 2∠ACB+α=180°,
∴ ∠ACB = 90° - 1/2 α.
∵ AB // CD,
∴ ∠ACD=∠BAC=α,
∴ ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 90° - 1/2 α + α = 90° + 1/2 α.
∵ 四边形ABCD内接于⊙O,
∴ ∠BCD + ∠BAD = 180°,
∴ 90° + 1/2 α + α + β = 180°, 整理得 3α+2β=180°. 故选 C.
思路分析
(2)利用圆周角定理的推论, 可得∠ACB = 90°, 利用勾股定理求 AB 的长, 利用垂径定理的推论得出OC ⊥ BD, BD = 2BG, 设OG=x,在两个三角形中,利用勾股定理求BG²,得到关于x的方程,求解即可.

4[2025黑龙江大庆期末]如图,点A,B,C在⊙O上,四边形OABC是平行四边形,若对角线AC=$2\sqrt{3}$,则OA的长为.

4. 2 【解析】如图,在⊙O上找一点M,连接AM,CM,OB,OB交AC于点N,则∠AOC=2∠AMC.
∵ 四边形OABC是平行四边形,
∴ ∠ABC = ∠AOC = 2∠AMC.
∵ 四边形MABC是⊙O的内接四边形,
∴ ∠AMC+∠ABC=180°,
∴ ∠AMC+2∠AMC=180°,
∴ ∠AMC=60°,
∴ ∠AOC=120°.
∵ 四边形OABC是平行四边形, OA=OC,
∴ 四边形OABC是菱形,
∴ AN=CN=1/2 AC = 1/2 × 2√3 = √3, ∠AOB = ∠COB = 60°, ∠ONA = 90°,
∴ ∠OAN = 30°,
∴ OA = 2ON,
∴ (2ON)² = ON² + (√3)²,
∴ ON=1,
∴ OA=2ON=2,故答案为2.

5[2026江苏徐州质检]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=90°，∠BCD=120°，AB=4，AD=5，则⊙O的面积为。

5. 7π 【解析】如图，延长BC,AD交于点E,连接AC. 由条件可知∠BAD=180°-120°=60°, ∠ADC=180°-90°=90°, AC是⊙O的直径,
∴ ∠CDE=90°, ∠E=30°,
∴ CE=2CD.
∵ AB=4,
∴ AE=2AB=8.
∵ AD=5,
∴ DE=3.
∵ CE² - CD² = DE²,
∴ CD=√3,
∴ AC=√(AD²+CD²)=2√7,
∴ ⊙O的半径为√7,
∴ ⊙O的面积为7π. 故答案为7π.

6[2026浙江宁波期末]如图,四边形ABCD内接于$\odot O,∠ABC=60°,∠BAC=∠CAD=45°,AB+AD=6$,则$\odot O$的半径长为.

6. √6 【解析】过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E,连接CO并延长交⊙O于点F,连接AF,如图所示,则∠ACE=90°.
∵ ∠BAC=45°,
∴ △ACE是等腰直角三角形,
∴ AC=EC, ∠E=45°,
∴ ∠CAD=∠E=45°.
∵ 四边形ABCD内接于⊙O,
∴ 易得∠D=∠CBE. 在△CAD和△CEB中,
$\begin{cases}∠D=∠CBE,\\∠CAD=∠E,\\AC=EC,\end{cases}$
∴ △CAD ≅ △CEB (AAS),
∴ AD = BE.
∵ AB + AD = 6,
∴ AE = AB + BE = AB + AD = 6. 在Rt△ACE中, AC = EC, 由勾股定理得 AE = √(AC²+EC²) = √2 AC,
∴ AC = 3√2.
∵ CF是⊙O的直径,
∴ ∠CAF=90°. 在Rt△CAF中, ∠F = ∠ABC = 60°,
∴ ∠ACF=30°,
∴ AF = 1/2 CF. 由勾股定理得 CF² - AF² = AC²,
∴ CF² - (1/2 CF)² = (3√2)²,
∴ CF=2√6(负值已舍去),
∴ ⊙O的半径长为√6.

刷有所得
与线段和有关的问题常通过构造全等三角形来转化线段. 圆内接四边形的外角等于其内对角.
思路分析
连接OA,OF,利用AC=AF推出△AOF≅△AOC,从而得到∠BAC与∠C的关系,利用三角形内角和定理求出∠C,进而求出∠AOC,再利用弧长公式求$\overset{\frown}{AC}$的长.

7 如图,四边形ADBC内接于$\odot O$,$△ ABC$是等边三角形,$\odot O$的半径为2,点D在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上运动(不与点A,B重合).
(1)当点D在劣弧$\overset{\frown}{AB}$中点时,四边形ADBC的面积是;
(2)求四边形ADBC的面积S与线段DC的长x之间的函数关系式.

7.【解】(1)如图(1).
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠ABC = ∠BAC = ∠ACB = 60°,
∴ ∠ADC=∠ABC=60°, ∠BDC=∠BAC=60°.
∵ 点D是劣弧$\overset{\frown}{AB}$的中点,
∴ ∠ACD = ∠BCD = 1/2 ∠ACB = 30°,
∴ ∠DAC = ∠DBC=90°,
∴ CD是⊙O的直径,
∴ CD=4,易得AD=BD=2, BC=AC=2√3,
∴ $S_{四边形ADBC} = S_{△ADC} + S_{△BDC} = \frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3} + \frac{1}{2} × 2 × 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$,故答案为$4\sqrt{3}$.

(2)如图(2),将△ADC绕点C逆时针旋转60°,得到△BHC,则CD=CH, ∠DAC=∠HBC.
∵ 四边形ACBD是圆内接四边形,
∴ ∠DAC + ∠DBC = 180°,
∴ ∠DBC + ∠HBC = 180°,
∴ 点D,B,H共线.
∵ DC=CH, ∠CDH=60°,
∴ △DCH是等边三角形,
∴ 易得四边形ADBC的面积$S = S_{△ADC} + S_{△BDC} = S_{△CDH} = \frac{\sqrt{3}}{4} CD^2$,
∴ $S = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$.

思路分析
(2) 将△ADC绕点C逆时针旋转60°,得到△BHC,证明△DCH是等边三角形,再根据等边三角形的性质解答即可.
关键点拨
解题的关键是能够根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半,求出优弧$\overset{\frown}{ADC}$所对的圆心角的度数.