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1 若直角三角形的斜边比一条直角边长2 cm，另一条直角边长6 cm，则斜边长为(
A.4 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
C
)。A.4 cm
B.8 cm
C.10 cm
D.12 cm
答案
C
解析
【分析】
这是直角三角形边长计算的基础题，核心解题思路如下：首先根据题目中斜边与直角边的长度关系设未知数，再利用勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）建立方程，解方程后结合边长为正数的实际要求验证结果，即可得到斜边长。
【解析】
设斜边长为$ x $ cm，由题意可知其中一条直角边长度为$ (x-2) $ cm，另一条直角边长为6 cm。
根据勾股定理列方程：
$(x-2)^2 + 6^2 = x^2$
展开并化简方程：
$x^2 - 4x + 4 + 36 = x^2$
消去等号两侧的$ x^2 $得：
$-4x + 40 = 0$
解得$ x=10 $，边长为正数，结果符合实际意义。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元一次方程求解
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，通过设未知数结合几何定理建立方程是这类题的常用解法，求解后要注意验证结果是否符合实际几何意义。
【难度系数】
0.8
这是直角三角形边长计算的基础题，核心解题思路如下：首先根据题目中斜边与直角边的长度关系设未知数，再利用勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）建立方程，解方程后结合边长为正数的实际要求验证结果，即可得到斜边长。
【解析】
设斜边长为$ x $ cm，由题意可知其中一条直角边长度为$ (x-2) $ cm，另一条直角边长为6 cm。
根据勾股定理列方程：
$(x-2)^2 + 6^2 = x^2$
展开并化简方程：
$x^2 - 4x + 4 + 36 = x^2$
消去等号两侧的$ x^2 $得：
$-4x + 40 = 0$
解得$ x=10 $，边长为正数，结果符合实际意义。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；一元一次方程求解
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，通过设未知数结合几何定理建立方程是这类题的常用解法，求解后要注意验证结果是否符合实际几何意义。
【难度系数】
0.8
2 如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得$AO=2$米。若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为(
A.2.5米
B.3米
C.1.5米
D.3.5米
A
)。A.2.5米
B.3米
C.1.5米
D.3.5米
答案
A
解析
【分析】
本题是勾股定理的实际应用问题，解题核心是抓住梯子滑动前后长度不变这一隐含条件。首先设梯子底端初始时到墙根的距离OB为未知数，分别表示出滑动后墙到梯子顶端的距离OC、墙根到梯子底端的距离OD，再利用两个直角三角形的斜边（梯子长度）相等，结合勾股定理列方程求解未知数，最后代入计算梯子长度即可。
【解析】
设$OB=x$米，根据题意可知：
梯子顶端下滑0.5米后，$OC=AO-AC=2-0.5=1.5$米；
梯子底端外移0.5米后，$OD=OB+BD=(x+0.5)$米。
因为梯子长度不变，所以$AB=CD$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：$AB^2=AO^2+OB^2=2^2+x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ COD$中，由勾股定理得：$CD^2=OC^2+OD^2=1.5^2+(x+0.5)^2$。
由$AB^2=CD^2$列方程：
$4+x^2=2.25+(x+0.5)^2$
展开并化简得：
$4+x^2=2.25+x^2+x+0.25$
消去$x^2$后解得$x=1.5$。
将$x=1.5$代入$AB^2=2^2+1.5^2=4+2.25=6.25$，得$AB=\sqrt{6.25}=2.5$米（长度为正，舍去负根）。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，解题关键是找到梯子长度不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的勾股定理计算问题，通过设未知数列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题是勾股定理的实际应用问题，解题核心是抓住梯子滑动前后长度不变这一隐含条件。首先设梯子底端初始时到墙根的距离OB为未知数，分别表示出滑动后墙到梯子顶端的距离OC、墙根到梯子底端的距离OD，再利用两个直角三角形的斜边（梯子长度）相等，结合勾股定理列方程求解未知数，最后代入计算梯子长度即可。
【解析】
设$OB=x$米，根据题意可知：
梯子顶端下滑0.5米后，$OC=AO-AC=2-0.5=1.5$米；
梯子底端外移0.5米后，$OD=OB+BD=(x+0.5)$米。
因为梯子长度不变，所以$AB=CD$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：$AB^2=AO^2+OB^2=2^2+x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ COD$中，由勾股定理得：$CD^2=OC^2+OD^2=1.5^2+(x+0.5)^2$。
由$AB^2=CD^2$列方程：
$4+x^2=2.25+(x+0.5)^2$
展开并化简得：
$4+x^2=2.25+x^2+x+0.25$
消去$x^2$后解得$x=1.5$。
将$x=1.5$代入$AB^2=2^2+1.5^2=4+2.25=6.25$，得$AB=\sqrt{6.25}=2.5$米（长度为正，舍去负根）。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题，解题关键是找到梯子长度不变的隐含条件，将实际问题转化为直角三角形的勾股定理计算问题，通过设未知数列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3 如图，长方体的长、宽、高分别是6、3、5，现有一只蚂蚁从点A沿长方体的表面爬行到点B，设爬行的最短路程为$a$，则$a^2$的值是（
A.130
B.106
C.100
D.86
C
）。A.130
B.106
C.100
D.86
答案
C [提示:第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面,则这个长方形的长和宽分别是8和6,所以所走的最短线段是$\sqrt{6^2+8^2}=10$;第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形,则这个长方形的长和宽分别是11和3,所以走的最短线段是$\sqrt{11^2+3^2}=\sqrt{130}$;第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,则这个长方形的长和宽分别是9和5,所以走的最短线段是$\sqrt{9^2+5^2}=\sqrt{106}$。三种情况比较而言,第一种情况最短,最短路程$a=10$,所以$a^2=100$。]
解析
【分析】
要计算蚂蚁沿长方体表面从A爬到B的最短路程，需将立体问题转化为平面问题：把长方体相邻的两个面展开到同一平面，此时A、B两点在同一平面内，根据“两点之间线段最短”，连接AB的线段长度就是该种展开方式下的最短路径。由于长方体相邻面的展开方式共有3种，因此需要分别计算3种展开方式下的路径长度的平方，再比较大小，最小的数值就是所求的$a^2$。
【解析】
我们分三种展开情况计算：
1. 将长方体的前面和上面展开到同一平面：此时形成的长方形的长为6，宽为$3+5=8$，根据勾股定理，路径长度的平方为$6^2+8^2=36+64=100$；
2. 将长方体的左面和上面展开到同一平面：此时形成的长方形的长为3，宽为$6+5=11$，根据勾股定理，路径长度的平方为$3^2+11^2=9+121=130$；
3. 将长方体的前面和右面展开到同一平面：此时形成的长方形的长为5，宽为$6+3=9$，根据勾股定理，路径长度的平方为$5^2+9^2=25+81=106$。
比较三个结果：$100＜106＜130$，因此最短路程的平方$a^2=100$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，最短路径求解，长方体表面展开
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，核心解题思路是将立体图形展开为平面图形，把表面路径问题转化为平面内两点间线段长度问题，解题时需注意枚举所有可能的展开情况，通过对比得到最短路径，避免漏算展开方式导致错误。
【难度系数】
0.7
要计算蚂蚁沿长方体表面从A爬到B的最短路程，需将立体问题转化为平面问题：把长方体相邻的两个面展开到同一平面，此时A、B两点在同一平面内，根据“两点之间线段最短”，连接AB的线段长度就是该种展开方式下的最短路径。由于长方体相邻面的展开方式共有3种，因此需要分别计算3种展开方式下的路径长度的平方，再比较大小，最小的数值就是所求的$a^2$。
【解析】
我们分三种展开情况计算：
1. 将长方体的前面和上面展开到同一平面：此时形成的长方形的长为6，宽为$3+5=8$，根据勾股定理，路径长度的平方为$6^2+8^2=36+64=100$；
2. 将长方体的左面和上面展开到同一平面：此时形成的长方形的长为3，宽为$6+5=11$，根据勾股定理，路径长度的平方为$3^2+11^2=9+121=130$；
3. 将长方体的前面和右面展开到同一平面：此时形成的长方形的长为5，宽为$6+3=9$，根据勾股定理，路径长度的平方为$5^2+9^2=25+81=106$。
比较三个结果：$100＜106＜130$，因此最短路程的平方$a^2=100$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，最短路径求解，长方体表面展开
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，核心解题思路是将立体图形展开为平面图形，把表面路径问题转化为平面内两点间线段长度问题，解题时需注意枚举所有可能的展开情况，通过对比得到最短路径，避免漏算展开方式导致错误。
【难度系数】
0.7
④若等腰三角形腰长为20，底边长为24，则腰上的高为
$\frac{96}{5}$
。答案
$\frac{96}{5}$
解析
【分析】
要求腰上的高，我们可以先通过等腰三角形三线合一的性质作出底边上的高，利用勾股定理求出底边上的高，进而算出三角形的面积；再根据三角形面积的两种计算方式（底边×底边上的高÷2、腰×腰上的高÷2），用面积法反推求出腰上的高。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，其中$AB=AC=20$（腰长），$BC=24$（底边长）。
1. 求底边上的高：过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，根据等腰三角形三线合一的性质，$D$为$BC$中点，因此$BD=BC÷2=24÷2=12$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$。
2. 计算三角形面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×24×16=192$。
3. 求腰上的高：设腰$AC$上的高为$h$，三角形面积还可以表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× h$，代入已知值：
$\frac{1}{2}×20× h=192$
$10h=192$
解得$h=\frac{192}{10}=\frac{96}{5}$。
【答案】
$\frac{96}{5}$
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理在等腰三角形中的典型应用，核心是通过面积法建立不同高之间的等量关系，这种方法在求解几何图形的高、边长等问题中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要求腰上的高，我们可以先通过等腰三角形三线合一的性质作出底边上的高，利用勾股定理求出底边上的高，进而算出三角形的面积；再根据三角形面积的两种计算方式（底边×底边上的高÷2、腰×腰上的高÷2），用面积法反推求出腰上的高。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，其中$AB=AC=20$（腰长），$BC=24$（底边长）。
1. 求底边上的高：过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，根据等腰三角形三线合一的性质，$D$为$BC$中点，因此$BD=BC÷2=24÷2=12$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$。
2. 计算三角形面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×24×16=192$。
3. 求腰上的高：设腰$AC$上的高为$h$，三角形面积还可以表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× h$，代入已知值：
$\frac{1}{2}×20× h=192$
$10h=192$
解得$h=\frac{192}{10}=\frac{96}{5}$。
【答案】
$\frac{96}{5}$
【知识点】
等腰三角形的性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理在等腰三角形中的典型应用，核心是通过面积法建立不同高之间的等量关系，这种方法在求解几何图形的高、边长等问题中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
5 如图,某自动感应门的正上方A处装有一个感应器,离地高度$AB=2.5$米,当人体进入感应器的感应范围内时,感应门就会自动打开。一个身高为1.6米的学生$CD$正对门,缓慢走到离门1.2米的地方时($BC=1.2$米),感应门自动打开,此时$AD=$
1.5
米。答案
1.5
解析
【分析】
要解决该问题，需先通过作辅助线构造直角三角形，将实际场景中的长度转化为直角三角形的边长，再利用勾股定理计算AD的长度。首先过点D向AB作垂线，构造出矩形和直角三角形，先求出直角三角形两条直角边的长度，再代入勾股定理即可求出斜边AD的长度。
【解析】
过点D作$DE ⊥ AB$，垂足为E，
则四边形BCDE为矩形，因此$DE=BC=1.2$米，$BE=CD=1.6$米，
$\therefore AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9$米，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，根据勾股定理可得：
$AD^2=AE^2+DE^2=0.9^2+1.2^2=0.81+1.44=2.25$，
$\therefore AD=\sqrt{2.25}=1.5$（米）。
【答案】
1.5
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质
【点评】
本题是结合生活场景的几何应用题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，找准各线段的对应长度即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决该问题，需先通过作辅助线构造直角三角形，将实际场景中的长度转化为直角三角形的边长，再利用勾股定理计算AD的长度。首先过点D向AB作垂线，构造出矩形和直角三角形，先求出直角三角形两条直角边的长度，再代入勾股定理即可求出斜边AD的长度。
【解析】
过点D作$DE ⊥ AB$，垂足为E，
则四边形BCDE为矩形，因此$DE=BC=1.2$米，$BE=CD=1.6$米，
$\therefore AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9$米，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，根据勾股定理可得：
$AD^2=AE^2+DE^2=0.9^2+1.2^2=0.81+1.44=2.25$，
$\therefore AD=\sqrt{2.25}=1.5$（米）。
【答案】
1.5
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的性质
【点评】
本题是结合生活场景的几何应用题，解题核心是通过作垂线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题，找准各线段的对应长度即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
6 如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,则船向岸边移动了
9
米。答案
9
解析
【分析】
本题可将实际场景转化为直角三角形问题求解：首先观察图形可知CA垂直于岸边直线AB，因此△CAB和△CAD均为直角三角形。解题时先利用勾股定理分别求出初始状态下船到岸边的距离AB，以及船移动到D点时到岸边的距离AD，两段距离的差就是船向岸边移动的长度。
【解析】
由题意得：$∠ A=90°$，$AC=8$米，$BC=17$米，$CD=10$米。
在$Rt△ CAB$中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$（米）
在$Rt△ CAD$中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$（米）
则船移动的距离$BD=AB-AD=15-6=9$（米）
【答案】
9
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理的常见实际应用题，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，再代入勾股定理计算对应边长即可，解题时需注意区分两个直角三角形的斜边长度，避免混淆。
【难度系数】
0.8
本题可将实际场景转化为直角三角形问题求解：首先观察图形可知CA垂直于岸边直线AB，因此△CAB和△CAD均为直角三角形。解题时先利用勾股定理分别求出初始状态下船到岸边的距离AB，以及船移动到D点时到岸边的距离AD，两段距离的差就是船向岸边移动的长度。
【解析】
由题意得：$∠ A=90°$，$AC=8$米，$BC=17$米，$CD=10$米。
在$Rt△ CAB$中，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$（米）
在$Rt△ CAD$中，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$（米）
则船移动的距离$BD=AB-AD=15-6=9$（米）
【答案】
9
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理的常见实际应用题，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，再代入勾股定理计算对应边长即可，解题时需注意区分两个直角三角形的斜边长度，避免混淆。
【难度系数】
0.8
7 如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25 km，C、D为两村庄（视为两个点），DA ⊥ AB于点A，CB ⊥ AB于点B。已知DA=15 km，CB=10 km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C、D两村庄到收购站E的距离相等，则收购站E应建在距A站
10
km处。答案
10
解析
【分析】
要使C、D两村庄到E的距离相等，即DE=CE。观察图形可知△ADE和△BCE都是直角三角形，我们可以设AE的长度为x km，那么BE的长度就是(25-x)km，分别用勾股定理表示出DE²和CE²，再根据DE=CE则二者平方相等的关系列方程求解即可。
【解析】
设收购站E距A站x km，则EB = (25 - x) km。
∵ DA⊥AB，CB⊥AB
∴ ∠A = ∠B = 90°，△ADE和△BCE均为直角三角形
根据勾股定理：
在Rt△ADE中，DE² = AD² + AE² = 15² + x²
在Rt△BCE中，CE² = BC² + BE² = 10² + (25 - x)²
∵ DE = CE
∴ DE² = CE²，即：
$225 + x² = 100 + (25 - x)²$
展开等式右侧：$225 + x² = 100 + 625 - 50x + x²$
消去两侧$x²$，整理得：$50x = 500$
解得：$x = 10$
【答案】
10
【知识点】
勾股定理，一元一次方程应用，直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的常见题型，解题核心是利用两条线段相等的条件，通过勾股定理建立等量关系，将几何问题转化为代数方程求解，逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
要使C、D两村庄到E的距离相等，即DE=CE。观察图形可知△ADE和△BCE都是直角三角形，我们可以设AE的长度为x km，那么BE的长度就是(25-x)km，分别用勾股定理表示出DE²和CE²，再根据DE=CE则二者平方相等的关系列方程求解即可。
【解析】
设收购站E距A站x km，则EB = (25 - x) km。
∵ DA⊥AB，CB⊥AB
∴ ∠A = ∠B = 90°，△ADE和△BCE均为直角三角形
根据勾股定理：
在Rt△ADE中，DE² = AD² + AE² = 15² + x²
在Rt△BCE中，CE² = BC² + BE² = 10² + (25 - x)²
∵ DE = CE
∴ DE² = CE²，即：
$225 + x² = 100 + (25 - x)²$
展开等式右侧：$225 + x² = 100 + 625 - 50x + x²$
消去两侧$x²$，整理得：$50x = 500$
解得：$x = 10$
【答案】
10
【知识点】
勾股定理，一元一次方程应用，直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想解决实际问题的常见题型，解题核心是利用两条线段相等的条件，通过勾股定理建立等量关系，将几何问题转化为代数方程求解，逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
