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1[2025黑龙江齐齐哈尔校级期末]从一张正方形铁皮上截去2 cm宽的一个长方形(长方形的长与正方形铁皮的边长相等),余下部分的面积是48 $cm^2$,则原来的正方形铁皮的面积是 (
A.24 $cm^2$
B.32 $cm^2$
C.8 $cm^2$
D.64 $cm^2$
D
)A.24 $cm^2$
B.32 $cm^2$
C.8 $cm^2$
D.64 $cm^2$
答案
D
【解析】设原来正方形铁皮的边长为x cm,则余下部分为长x cm、宽(x-2) cm的长方形. 根据题意,得x(x-2)=48,解得x=8或x=-6(不合题意,舍去),
∴x²=8×8=64. 故选D.
【解析】设原来正方形铁皮的边长为x cm,则余下部分为长x cm、宽(x-2) cm的长方形. 根据题意,得x(x-2)=48,解得x=8或x=-6(不合题意,舍去),
∴x²=8×8=64. 故选D.
解析
【分析】
解题时首先明确图形变化的边长关系：原正方形截去2cm宽的长方形后，剩余部分为长方形，其长等于原正方形的边长，宽等于原正方形边长减2cm。我们可以先设原正方形边长为未知数，以“剩余长方形面积为48cm²”为等量关系列方程，求解边长后计算原正方形面积即可，注意边长为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设原来正方形铁皮的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则余下部分是长为$x\ \mathrm{cm}$、宽为$(x-2)\ \mathrm{cm}$的长方形。
根据剩余面积为$48\ \mathrm{cm^2}$列方程：
$x(x-2)=48$
整理得$x^2-2x-48=0$，因式分解得$(x-8)(x+6)=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-6$。
由于边长不能为负，故$x=-6$不合题意，舍去。
因此原正方形铁皮的面积为$x^2=8×8=64\ \mathrm{cm^2}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是基础的几何类一元二次方程应用题，解题核心是准确梳理图形变化前后的边长关系，结合面积公式列方程，求解后要注意结合实际情境对根进行取舍。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确图形变化的边长关系：原正方形截去2cm宽的长方形后，剩余部分为长方形，其长等于原正方形的边长，宽等于原正方形边长减2cm。我们可以先设原正方形边长为未知数，以“剩余长方形面积为48cm²”为等量关系列方程，求解边长后计算原正方形面积即可，注意边长为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设原来正方形铁皮的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则余下部分是长为$x\ \mathrm{cm}$、宽为$(x-2)\ \mathrm{cm}$的长方形。
根据剩余面积为$48\ \mathrm{cm^2}$列方程：
$x(x-2)=48$
整理得$x^2-2x-48=0$，因式分解得$(x-8)(x+6)=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-6$。
由于边长不能为负，故$x=-6$不合题意，舍去。
因此原正方形铁皮的面积为$x^2=8×8=64\ \mathrm{cm^2}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是基础的几何类一元二次方程应用题，解题核心是准确梳理图形变化前后的边长关系，结合面积公式列方程，求解后要注意结合实际情境对根进行取舍。
【难度系数】
0.8
2[2025山东青岛质检]如图,把长40 cm、宽30 cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形(阴影部分即剪掉部分),将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子,设剪掉的小正方形的边长为x cm(纸板的厚度忽略不计),若折成的长方体盒子的表面积是950 cm²,则x的值是
（第2题图）
（第4题图）
5
.（第2题图）
（第4题图）
答案
5
【解析】依题意,得$40×30-2x^2-2x·\frac{40}{2}=950$,整理得$x^2+20x-125=0$,解得$x_1=5,x_2=-25$(不合题意,舍去),
∴x的值是5. 故答案为5.
【解析】依题意,得$40×30-2x^2-2x·\frac{40}{2}=950$,整理得$x^2+20x-125=0$,解得$x_1=5,x_2=-25$(不合题意,舍去),
∴x的值是5. 故答案为5.
解析
【分析】
解题时先明确等量关系：原矩形纸板的总面积减去剪掉的阴影部分的面积，等于折成的长方体盒子的表面积。第一步先计算原矩形的面积，再分别表示出2个小正方形和2个小矩形的面积，代入等量关系列出一元二次方程，解方程后结合边长为正的实际意义舍去不合理解，即可得到x的值。
【解析】
根据题意，原矩形纸板面积为$40 × 30$，剪掉的2个小正方形总面积为$2x^2$，剪掉的2个小矩形的长为$\frac{40}{2}=20\mathrm{cm}$、宽为$x\mathrm{cm}$，总面积为$2 × 20x$，可列方程：
$40 × 30 - 2x^2 - 2 × \frac{40}{2}x = 950$
整理得：
$x^2 + 20x - 125 = 0$
因式分解得$(x+25)(x-5)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-25$。
因为边长不能为负数，所以$x_2=-25$不符合题意，舍去。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的应用，图形面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于几何与方程结合的基础应用题，解题核心是准确找到面积间的等量关系列方程，求解后注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解题时先明确等量关系：原矩形纸板的总面积减去剪掉的阴影部分的面积，等于折成的长方体盒子的表面积。第一步先计算原矩形的面积，再分别表示出2个小正方形和2个小矩形的面积，代入等量关系列出一元二次方程，解方程后结合边长为正的实际意义舍去不合理解，即可得到x的值。
【解析】
根据题意，原矩形纸板面积为$40 × 30$，剪掉的2个小正方形总面积为$2x^2$，剪掉的2个小矩形的长为$\frac{40}{2}=20\mathrm{cm}$、宽为$x\mathrm{cm}$，总面积为$2 × 20x$，可列方程：
$40 × 30 - 2x^2 - 2 × \frac{40}{2}x = 950$
整理得：
$x^2 + 20x - 125 = 0$
因式分解得$(x+25)(x-5)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=-25$。
因为边长不能为负数，所以$x_2=-25$不符合题意，舍去。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的应用，图形面积计算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于几何与方程结合的基础应用题，解题核心是准确找到面积间的等量关系列方程，求解后注意检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
3 AI DPSK原创
新素材
第十五届全运会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地共同举办，为迎接此次全运会，某校组织校园足球联赛，某球队在联赛中胜场数是一个两位数. 已知这个两位数的个位数字与十位数字之和为5，且这个两位数比它个位数字的平方小2，则该球队的胜场数为（
A.14
B.23
C.32
D.41
新素材
第十五届全运会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地共同举办，为迎接此次全运会，某校组织校园足球联赛，某球队在联赛中胜场数是一个两位数. 已知这个两位数的个位数字与十位数字之和为5，且这个两位数比它个位数字的平方小2，则该球队的胜场数为（
A
）A.14
B.23
C.32
D.41
答案
A
【解析】设该球队的胜场数的十位数字为x,则个位数字为5-x. 由题意得10x+5-x=(5-x)²-2,整理得x²-19x+18=0,解得x₁=1,x₂=18(不符合题意,舍去),
∴5-x=4,即该球队的胜场数为14. 故选A.
【解析】设该球队的胜场数的十位数字为x,则个位数字为5-x. 由题意得10x+5-x=(5-x)²-2,整理得x²-19x+18=0,解得x₁=1,x₂=18(不符合题意,舍去),
∴5-x=4,即该球队的胜场数为14. 故选A.
解析
【分析】
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先回忆两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；题目给出两个等量关系：①个位数字+十位数字=5，②两位数=个位数字的平方-2。我们可以先设十位数字为未知数，用第一个等量关系表示出个位数字，再代入第二个等量关系列方程求解，最后结合数位数字的取值范围（十位数字为1~9的整数，个位数字为0~9的整数）舍去不符合实际的解即可得到答案。
【解析】
设该球队胜场数的十位数字为$x$，则个位数字为$5-x$。
根据题意列方程：
$10x+(5-x)=(5-x)^2-2$
整理方程：
左边化简为$9x+5$，右边展开化简为$x^2-10x+23$，移项合并同类项得：
$x^2-19x+18=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-18)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=18$。
由于十位数字只能是1~9的正整数，因此$x_2=18$不符合题意，舍去。
则个位数字为$5-1=4$，这个两位数为$1×10+4=14$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；两位数的表示；解的合理性检验
【点评】
本题是基础的一元二次方程实际应用题型，核心考查学生提取等量关系、结合实际问题检验方程解的能力，解题关键是掌握两位数的表示方法，牢记数位数字的取值范围。
【难度系数】
0.8
这是一道数字类一元二次方程应用题，解题思路如下：首先回忆两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字；题目给出两个等量关系：①个位数字+十位数字=5，②两位数=个位数字的平方-2。我们可以先设十位数字为未知数，用第一个等量关系表示出个位数字，再代入第二个等量关系列方程求解，最后结合数位数字的取值范围（十位数字为1~9的整数，个位数字为0~9的整数）舍去不符合实际的解即可得到答案。
【解析】
设该球队胜场数的十位数字为$x$，则个位数字为$5-x$。
根据题意列方程：
$10x+(5-x)=(5-x)^2-2$
整理方程：
左边化简为$9x+5$，右边展开化简为$x^2-10x+23$，移项合并同类项得：
$x^2-19x+18=0$
因式分解得：
$(x-1)(x-18)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=18$。
由于十位数字只能是1~9的正整数，因此$x_2=18$不符合题意，舍去。
则个位数字为$5-1=4$，这个两位数为$1×10+4=14$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；两位数的表示；解的合理性检验
【点评】
本题是基础的一元二次方程实际应用题型，核心考查学生提取等量关系、结合实际问题检验方程解的能力，解题关键是掌握两位数的表示方法，牢记数位数字的取值范围。
【难度系数】
0.8
4[2026河南南阳质检]2026年7月1日是建党105周年纪念日,在该月月历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示),若方框圈出的4个数中,最小的数与最大的数的乘积为84,则该方框圈出的最小的数为
6
.答案
6
思路分析
第一步:审题—— 题图中圈出的4个数中,最大数与最小数的差是8
第二步:设未知数—— 设最小数为x,则最大数为x+8
第三步:找等量关系列方程—— 最小数与最大数的乘积为84,即x(x+8)=84
【解析】设该方框圈出的最小数为x,则最大数为x+8. 依题意,得x(x+8)=84,整理得x²+8x-84=0,解得x₁=6,x₂=-14(不合题意,舍去),故答案为6.
思路分析
题目所给月历表中,圈出的4个数中最大数与最小数的差始终是8,设最小数为x,则最大数为x+8,列方程求解即可.
思路分析
第一步:审题—— 题图中圈出的4个数中,最大数与最小数的差是8
第二步:设未知数—— 设最小数为x,则最大数为x+8
第三步:找等量关系列方程—— 最小数与最大数的乘积为84,即x(x+8)=84
【解析】设该方框圈出的最小数为x,则最大数为x+8. 依题意,得x(x+8)=84,整理得x²+8x-84=0,解得x₁=6,x₂=-14(不合题意,舍去),故答案为6.
思路分析
题目所给月历表中,圈出的4个数中最大数与最小数的差始终是8,设最小数为x,则最大数为x+8,列方程求解即可.
解析
【分析】
首先观察月历中2×2方框圈出的4个数的规律：同一行相邻数差1，同一列相邻数差7，因此方框内最小的数（左上角）和最大的数（右下角）相差8。结合题目给出的“最小数与最大数的乘积为84”的条件，我们可以设最小数为未知数，用含未知数的式子表示最大数，再根据乘积关系列一元二次方程求解，最后舍去不符合日期实际意义的根即可得到答案。
【解析】
设该方框圈出的最小的数为$ x $，根据月历数字规律，最大的数为$ x+8 $。
依题意列方程：
$ x(x+8)=84 $
整理得：$ x^2+8x-84=0 $
因式分解得：$ (x+14)(x-6)=0 $
解得：$ x_1=6 $，$ x_2=-14 $
由于日期为正整数，$ x=-14 $不符合实际，舍去。
【答案】
6
【知识点】
月历数字规律、一元二次方程应用、实际问题解的检验
【点评】
本题结合生活中常见的月历场景考查方程的实际应用，解题关键是找准2×2方框内最大数与最小数的数量关系，求解后要注意验证结果是否符合实际意义，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
首先观察月历中2×2方框圈出的4个数的规律：同一行相邻数差1，同一列相邻数差7，因此方框内最小的数（左上角）和最大的数（右下角）相差8。结合题目给出的“最小数与最大数的乘积为84”的条件，我们可以设最小数为未知数，用含未知数的式子表示最大数，再根据乘积关系列一元二次方程求解，最后舍去不符合日期实际意义的根即可得到答案。
【解析】
设该方框圈出的最小的数为$ x $，根据月历数字规律，最大的数为$ x+8 $。
依题意列方程：
$ x(x+8)=84 $
整理得：$ x^2+8x-84=0 $
因式分解得：$ (x+14)(x-6)=0 $
解得：$ x_1=6 $，$ x_2=-14 $
由于日期为正整数，$ x=-14 $不符合实际，舍去。
【答案】
6
【知识点】
月历数字规律、一元二次方程应用、实际问题解的检验
【点评】
本题结合生活中常见的月历场景考查方程的实际应用，解题关键是找准2×2方框内最大数与最小数的数量关系，求解后要注意验证结果是否符合实际意义，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
5 如图，Rt△ACB中，∠C = 90°，AC=7，BC=5，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，一点先到达终点时P，Q两点同时停止移动，则当△PCQ的面积等于4时，经过的时间为（
A.1秒
B.2秒
C.4秒
D.1秒或4秒
A
）A.1秒
B.2秒
C.4秒
D.1秒或4秒
答案
A
【解析】设经过t秒时,△PCQ的面积等于4. 由题意得BP=t,CQ=2t,则CP=5-t.
∵$S_{△PCQ}=\frac{1}{2}CQ·CP$,
∴$4=\frac{1}{2}×2t×(5-t)$,整理得t²-5t+4=0,解得t₁=1,t₂=4(不合题意,舍去),即经过1秒时,△PCQ的面积等于4. 故选A.
思路分析
(2)根据题意可得△PBQ的面积,再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程,再解方程即可.
【解析】设经过t秒时,△PCQ的面积等于4. 由题意得BP=t,CQ=2t,则CP=5-t.
∵$S_{△PCQ}=\frac{1}{2}CQ·CP$,
∴$4=\frac{1}{2}×2t×(5-t)$,整理得t²-5t+4=0,解得t₁=1,t₂=4(不合题意,舍去),即经过1秒时,△PCQ的面积等于4. 故选A.
思路分析
(2)根据题意可得△PBQ的面积,再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程,再解方程即可.
解析
【分析】
这是一道结合动点的面积求解问题，可按以下思路解题：1. 先确定运动时间的取值范围：点Q速度为2单位/秒，AC长7，因此Q最多运动$7÷2=3.5$秒就到达终点，两点同时停止运动，所以时间t的范围是$0≤ t≤3.5$；2. 用t表示$△ PCQ$的两条直角边长度：P的速度为1单位/秒，t秒后$BP=t$，因此直角边$CP=BC-BP=5-t$，Q运动t秒后直角边$CQ=2t$；3. 结合直角三角形面积公式列一元二次方程，求解后舍去超出时间范围的解，即可得到正确结果。
【解析】
设经过t秒时，$△ PCQ$的面积等于4。
根据题意得：$BP=t$，$CQ=2t$，因此$CP=BC-BP=5-t$。
$\because△ PCQ$是直角三角形，$∠ C=90°$，
$\therefore S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}· CQ· CP$，
代入面积等于4得：$4=\frac{1}{2}×2t×(5-t)$，
整理得：$t^2-5t+4=0$，
解得：$t_1=1$，$t_2=4$。
$\because$点Q最多运动3.5秒就停止，$4＞3.5$，不符合题意，舍去$t=4$，
$\therefore$经过1秒时，$△ PCQ$的面积等于4。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，直角三角形面积计算，动点问题分析
【点评】
本题考查方程在几何动点问题中的应用，解题核心是用时间参数准确表示出相关线段长度，结合几何公式列方程求解，要注意结合实际运动的限制条件对解进行取舍，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
这是一道结合动点的面积求解问题，可按以下思路解题：1. 先确定运动时间的取值范围：点Q速度为2单位/秒，AC长7，因此Q最多运动$7÷2=3.5$秒就到达终点，两点同时停止运动，所以时间t的范围是$0≤ t≤3.5$；2. 用t表示$△ PCQ$的两条直角边长度：P的速度为1单位/秒，t秒后$BP=t$，因此直角边$CP=BC-BP=5-t$，Q运动t秒后直角边$CQ=2t$；3. 结合直角三角形面积公式列一元二次方程，求解后舍去超出时间范围的解，即可得到正确结果。
【解析】
设经过t秒时，$△ PCQ$的面积等于4。
根据题意得：$BP=t$，$CQ=2t$，因此$CP=BC-BP=5-t$。
$\because△ PCQ$是直角三角形，$∠ C=90°$，
$\therefore S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}· CQ· CP$，
代入面积等于4得：$4=\frac{1}{2}×2t×(5-t)$，
整理得：$t^2-5t+4=0$，
解得：$t_1=1$，$t_2=4$。
$\because$点Q最多运动3.5秒就停止，$4＞3.5$，不符合题意，舍去$t=4$，
$\therefore$经过1秒时，$△ PCQ$的面积等于4。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，直角三角形面积计算，动点问题分析
【点评】
本题考查方程在几何动点问题中的应用，解题核心是用时间参数准确表示出相关线段长度，结合几何公式列方程求解，要注意结合实际运动的限制条件对解进行取舍，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
6[2026江苏无锡期中]如图,将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A'B'C',若两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为1 cm²,则它移动的距离AA'等于 (
A.0.5 cm
B.1 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
B
)A.0.5 cm
B.1 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
答案
B
【解析】如图,设AC交A'B'于H. 由题意知∠CAD=45°,∠D=90°,
∴由平移可得∠AA'H=90°,
∴△A'HA是等腰直角三角形. 设AA'=x cm,则A'H=x cm,A'D=(2-x) cm. 由平移可知阴影部分是平行四边形,
∴x·(2-x)=1,
∴x₁=x₂=1,即AA'=1 cm. 故选B.
解析
【分析】
解题时先利用正方形对角线的性质，得出∠CAD=45°，再结合平移的性质判断出△A'HA为等腰直角三角形、阴影部分为平行四边形。设移动距离AA'为x cm，用x表示出平行四边形的底和对应高，根据阴影部分面积为1 cm²列一元二次方程，求解即可得到平移距离。
【解析】
如图，设AC交A'B'于H。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD=45°，∠D=90°，
由平移的性质可得A'B'//AB，又AB⊥AD，
∴∠AA'H=90°，
∴△A'HA是等腰直角三角形。
设AA'=x cm，则A'H=x cm，A'D=(2-x) cm。
由平移可知阴影部分是平行四边形，根据平行四边形面积公式可得：
$x(2-x)=1$
整理得$x^2-2x+1=0$，解得$x_1=x_2=1$，即AA'=1 cm。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用
【点评】
本题将几何平移问题和一元二次方程结合，解题关键是通过数形结合，用平移距离表示出阴影平行四边形的边长，再结合面积公式列方程求解，能有效考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先利用正方形对角线的性质，得出∠CAD=45°，再结合平移的性质判断出△A'HA为等腰直角三角形、阴影部分为平行四边形。设移动距离AA'为x cm，用x表示出平行四边形的底和对应高，根据阴影部分面积为1 cm²列一元二次方程，求解即可得到平移距离。
【解析】
如图，设AC交A'B'于H。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD=45°，∠D=90°，
由平移的性质可得A'B'//AB，又AB⊥AD，
∴∠AA'H=90°，
∴△A'HA是等腰直角三角形。
设AA'=x cm，则A'H=x cm，A'D=(2-x) cm。
由平移可知阴影部分是平行四边形，根据平行四边形面积公式可得：
$x(2-x)=1$
整理得$x^2-2x+1=0$，解得$x_1=x_2=1$，即AA'=1 cm。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用
【点评】
本题将几何平移问题和一元二次方程结合，解题关键是通过数形结合，用平移距离表示出阴影平行四边形的边长，再结合面积公式列方程求解，能有效考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7[2026上海静安区期中]如图，$l_1$是一条东西方向的道路，$l_2$是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点O.小明和小丽分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着$l_1$以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着$l_2$以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点P处，古树与$l_1$，$l_2$的距离分别为3千米和2千米.问离开路口后经过多长时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？
答案
【解】设两人离开路口的时间为t时. 如图,将小明看成点A,小丽看成点B,连接PA,PB,
∴OA=5t千米,OB=4t千米.
当两人与这棵古树的距离恰好相等时,PA=PB,
∴PA²=PB².
过点P作PN⊥l₁于点N,PM⊥l₂于点M,
∴PM=2千米=ON,PN=3千米=OM.
在Rt△AMP中,PA²=AM²+PM²,即PA²=(5t-3)²+2².
在Rt△BNP中,PB²=NB²+PN²,即PB²=(4t-2)²+3²,
∴(5t-3)²+2²=(4t-2)²+3²,解得t₁=0(舍去),t₂=$\frac{14}{9}$,
∴t=$\frac{14}{9}$.
答:离开路口后经过$\frac{14}{9}$小时,两人与这棵古树的距离恰好相等.
解析
【分析】
要解决这个问题可按以下思路思考：① 先设两人离开路口的时间为t小时，根据两人的行驶速度，分别表示出t小时后小明、小丽到O点的距离；② 两人到古树P的距离相等即PA=PB，为避免计算根号，可转化为PA²=PB²建立等量关系；③ 过点P向两条道路作垂线构造直角三角形，结合古树到两条道路的距离，用勾股定理分别表示PA²和PB²；④ 列出一元二次方程求解，结合实际意义舍去出发时刻t=0的解，即可得到最终结果。
【解析】
设两人离开路口的时间为t时，此时小明在$l_2$上的点A处，小丽在$l_1$上的点B处，可得：
$OA=5t$千米，$OB=4t$千米。
当两人与古树距离相等时，$PA=PB$，因此$PA^2=PB^2$。
过点P作$PN⊥ l_1$于点N，$PM⊥ l_2$于点M，由题意可知：$PM=2$千米（P到$l_2$的距离），$PN=3$千米（P到$l_1$的距离），因此$OM=PN=3$千米，$ON=PM=2$千米。
在$Rt△ AMP$中，根据勾股定理：$PA^2 = AM^2 + PM^2 = (5t - 3)^2 + 2^2$；
在$Rt△ BNP$中，根据勾股定理：$PB^2 = NB^2 + PN^2 = (4t - 2)^2 + 3^2$。
联立等式得：
$(5t-3)^2 + 2^2 = (4t-2)^2 + 3^2$
展开整理：
$25t^2 - 30t + 9 + 4 = 16t^2 - 16t + 4 + 9$
$9t^2 -14t = 0$
$t(9t -14)=0$
解得$t_1=0$（为出发时刻，不符合题意，舍去），$t_2=\frac{14}{9}$。
【答案】
离开路口后经过$\frac{14}{9}$小时，两人与这棵古树的距离恰好相等。
【知识点】
勾股定理，一元二次方程的应用，行程问题公式
【点评】
本题是结合生活场景的实际应用题，将行程问题与几何计算相结合，需要学生建立方程模型求解，解题时要注意结合实际意义对解进行取舍，能够有效锻炼学生的数形结合能力和数学建模能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题可按以下思路思考：① 先设两人离开路口的时间为t小时，根据两人的行驶速度，分别表示出t小时后小明、小丽到O点的距离；② 两人到古树P的距离相等即PA=PB，为避免计算根号，可转化为PA²=PB²建立等量关系；③ 过点P向两条道路作垂线构造直角三角形，结合古树到两条道路的距离，用勾股定理分别表示PA²和PB²；④ 列出一元二次方程求解，结合实际意义舍去出发时刻t=0的解，即可得到最终结果。
【解析】
设两人离开路口的时间为t时，此时小明在$l_2$上的点A处，小丽在$l_1$上的点B处，可得：
$OA=5t$千米，$OB=4t$千米。
当两人与古树距离相等时，$PA=PB$，因此$PA^2=PB^2$。
过点P作$PN⊥ l_1$于点N，$PM⊥ l_2$于点M，由题意可知：$PM=2$千米（P到$l_2$的距离），$PN=3$千米（P到$l_1$的距离），因此$OM=PN=3$千米，$ON=PM=2$千米。
在$Rt△ AMP$中，根据勾股定理：$PA^2 = AM^2 + PM^2 = (5t - 3)^2 + 2^2$；
在$Rt△ BNP$中，根据勾股定理：$PB^2 = NB^2 + PN^2 = (4t - 2)^2 + 3^2$。
联立等式得：
$(5t-3)^2 + 2^2 = (4t-2)^2 + 3^2$
展开整理：
$25t^2 - 30t + 9 + 4 = 16t^2 - 16t + 4 + 9$
$9t^2 -14t = 0$
$t(9t -14)=0$
解得$t_1=0$（为出发时刻，不符合题意，舍去），$t_2=\frac{14}{9}$。
【答案】
离开路口后经过$\frac{14}{9}$小时，两人与这棵古树的距离恰好相等。
【知识点】
勾股定理，一元二次方程的应用，行程问题公式
【点评】
本题是结合生活场景的实际应用题，将行程问题与几何计算相结合，需要学生建立方程模型求解，解题时要注意结合实际意义对解进行取舍，能够有效锻炼学生的数形结合能力和数学建模能力。
【难度系数】
0.7
