14. (16分) 新考向 新定义题
【概念学习】
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作“除方”.例如:$2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等.类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2$记作$2^{③}$,读作“2的圈3次方”,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$记作$(-3)^{④}$,读作“-3的圈4次方”,一般地,把$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}(a≠0)$记作$a^{ⓝ}$,读作“a的圈n次方”.
【初步探究】
(1) 直接写出计算结果:$2^{③}=$, $(-\dfrac{1}{2})^{⑤}=$.
(2) 下列说法错误的是 ()
A. 任何“非零数的圈2次方”都等于1
B. 对于任意正整数n,$1^{ⓝ}=1$
C. $3^{④}=4^{③}$
D. “负数的圈奇数次方”的结果是负数,“负数的圈偶数次方”的结果是正数
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算?
(3) 试一试:将下列运算结果直接写成幂的形式.
$(-3)^{④}=$, $5^{⑥}=$, $(-\dfrac{1}{2})^{⑩}=$.
(4) 想一想:将一个“非零有理数a的圈n次方”写成幂的形式为.
(5) 算一算:$12^2÷(-\dfrac{1}{3})^{④}×(-2)^{⑤}-(-\dfrac{1}{3})^{⑥}÷3^3$.

(1) $\frac{1}{2}$；$-8$.
(2) C. 因为任何“非零数的圈2次方”就是两个相同数相除，所以结果都等于1。所以选项 A 正确。因为多少个 1 相除都是 1，所以对于任意正整数 $n$，$1^{ⓝ}=1$。所以选项 B 正确。因为 $3^{④}=3÷3÷3÷3=\frac{1}{9}$，$4^{③}=4÷4÷4=\frac{1}{4}$，所以 $3^{④}≠4^{③}$。所以选项 C 错误。因为“负数的圈奇数次方”相当于奇数个负数相除，所以结果是负数。因为“负数的圈偶数次方”相当于偶数个负数相除，所以结果是正数。所以选项 D 正确。
(3) $(-\frac{1}{3})^2$；$(\frac{1}{5})^4$；$(-2)^8$. $(-3)^{④}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=1×(-\frac{1}{3})^2=(-\frac{1}{3})^2$；同理，得 $5^{⑥}=(\frac{1}{5})^4$；$(-\frac{1}{2})^{⑩}=(-2)^8$.
(4) $(\frac{1}{a})^{n-2}$.
(5) $12^2÷(-\frac{1}{3})^{④}×(-2)^{⑤}-(-\frac{1}{3})^{⑥}÷3^3=144÷(-3)^2×(-\frac{1}{2})^3-(-3)^4÷3^3=144×\frac{1}{9}×(-\frac{1}{8})-81÷27=16×(-\frac{1}{8})-3=-2-3=-5.$