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8.「2025山东肥城期末，★★☆」一个瓶子的容积是450 cm³，用该瓶子装入某种液体时，瓶子和液体的总质量与液体的体积关系如图所示。求：
(1)空瓶子的质量；
(2)该液体的密度；
(3)在瓶子中装满该液体，液体与瓶子的总质量。
(1)空瓶子的质量；
(2)该液体的密度；
(3)在瓶子中装满该液体，液体与瓶子的总质量。
答案
8.解析 (1)由图可知,$V=0$时,瓶子的质量为$m_{瓶}=50\ \mathrm{g}$;
(2)液体体积为$V_{液}=200\ \mathrm{cm}^3$时,瓶子和液体的总质量$m_{总1}=250\ \mathrm{g}$,则液体的质量$m_{液}=m_{总1}-m_{瓶}=250\ \mathrm{g}-50\ \mathrm{g}=200\ \mathrm{g}$,液体的密度为$\rho=\frac{m_{液}}{V_{液}}=\frac{200\ \mathrm{g}}{200\ \mathrm{cm}^3}=1\ \mathrm{g/cm}^3$;
(3)瓶子的容积为$450\ \mathrm{cm}^3$,瓶子内盛满这种液体后,瓶子内液体的质量$m=\rho V'=1\ \mathrm{g/cm}^3×450\ \mathrm{cm}^3=450\ \mathrm{g}$,液体和瓶子的总质量是$m_{总2}=m+m_{瓶}=450\ \mathrm{g}+50\ \mathrm{g}=500\ \mathrm{g}$。
(2)液体体积为$V_{液}=200\ \mathrm{cm}^3$时,瓶子和液体的总质量$m_{总1}=250\ \mathrm{g}$,则液体的质量$m_{液}=m_{总1}-m_{瓶}=250\ \mathrm{g}-50\ \mathrm{g}=200\ \mathrm{g}$,液体的密度为$\rho=\frac{m_{液}}{V_{液}}=\frac{200\ \mathrm{g}}{200\ \mathrm{cm}^3}=1\ \mathrm{g/cm}^3$;
(3)瓶子的容积为$450\ \mathrm{cm}^3$,瓶子内盛满这种液体后,瓶子内液体的质量$m=\rho V'=1\ \mathrm{g/cm}^3×450\ \mathrm{cm}^3=450\ \mathrm{g}$,液体和瓶子的总质量是$m_{总2}=m+m_{瓶}=450\ \mathrm{g}+50\ \mathrm{g}=500\ \mathrm{g}$。
解析
【分析】
解题时先明确图像的横纵坐标含义：横坐标为加入液体的体积，纵坐标为瓶子和液体的总质量。①求空瓶质量：当液体体积为0时，此时的总质量就是空瓶的质量，直接读取图像起点数据即可；②求液体密度：选取图像中任意一组总质量和对应液体体积的数据，用总质量减去空瓶质量得到对应液体的质量，再根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$即可计算出液体密度；③求装满液体的总质量：瓶子容积就是装满时液体的体积，用密度公式算出满瓶液体的质量，再加上空瓶质量就能得到总质量。
【解析】
(1) 由图像可知，当液体体积$V=0$时，总质量为空瓶子的质量，因此$m_{瓶}=50\ \mathrm{g}$。
(2) 选取图像中液体体积$V_{液}=200\ \mathrm{cm}^3$的对应点，此时瓶子和液体的总质量$m_{总1}=250\ \mathrm{g}$，则液体的质量为：
$m_{液}=m_{总1}-m_{瓶}=250\ \mathrm{g}-50\ \mathrm{g}=200\ \mathrm{g}$
根据密度公式可得液体密度：
$\rho=\frac{m_{液}}{V_{液}}=\frac{200\ \mathrm{g}}{200\ \mathrm{cm}^3}=1\ \mathrm{g/cm}^3$
(3) 瓶子装满液体时，液体体积等于瓶子容积$V'=450\ \mathrm{cm}^3$，此时液体的质量为：
$m=\rho V'=1\ \mathrm{g/cm}^3×450\ \mathrm{cm}^3=450\ \mathrm{g}$
液体和瓶子的总质量为：
$m_{总2}=m+m_{瓶}=450\ \mathrm{g}+50\ \mathrm{g}=500\ \mathrm{g}$
【答案】
(1) 空瓶子的质量为$50\ \mathrm{g}$；
(2) 该液体的密度为$1\ \mathrm{g/cm}^3$；
(3) 瓶子装满该液体时总质量为$500\ \mathrm{g}$。
【知识点】
1. 密度公式应用
2. m-V图像解读
3. 总质量计算
【点评】
本题是密度计算的基础应用题，结合图像考查信息提取和公式运用能力，解题的核心是从图像中获取空瓶质量、对应体积的总质量等有效信息，再代入密度公式逐步计算即可。
【难度系数】
0.75
解题时先明确图像的横纵坐标含义：横坐标为加入液体的体积，纵坐标为瓶子和液体的总质量。①求空瓶质量：当液体体积为0时，此时的总质量就是空瓶的质量，直接读取图像起点数据即可；②求液体密度：选取图像中任意一组总质量和对应液体体积的数据，用总质量减去空瓶质量得到对应液体的质量，再根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$即可计算出液体密度；③求装满液体的总质量：瓶子容积就是装满时液体的体积，用密度公式算出满瓶液体的质量，再加上空瓶质量就能得到总质量。
【解析】
(1) 由图像可知，当液体体积$V=0$时，总质量为空瓶子的质量，因此$m_{瓶}=50\ \mathrm{g}$。
(2) 选取图像中液体体积$V_{液}=200\ \mathrm{cm}^3$的对应点，此时瓶子和液体的总质量$m_{总1}=250\ \mathrm{g}$，则液体的质量为：
$m_{液}=m_{总1}-m_{瓶}=250\ \mathrm{g}-50\ \mathrm{g}=200\ \mathrm{g}$
根据密度公式可得液体密度：
$\rho=\frac{m_{液}}{V_{液}}=\frac{200\ \mathrm{g}}{200\ \mathrm{cm}^3}=1\ \mathrm{g/cm}^3$
(3) 瓶子装满液体时，液体体积等于瓶子容积$V'=450\ \mathrm{cm}^3$，此时液体的质量为：
$m=\rho V'=1\ \mathrm{g/cm}^3×450\ \mathrm{cm}^3=450\ \mathrm{g}$
液体和瓶子的总质量为：
$m_{总2}=m+m_{瓶}=450\ \mathrm{g}+50\ \mathrm{g}=500\ \mathrm{g}$
【答案】
(1) 空瓶子的质量为$50\ \mathrm{g}$；
(2) 该液体的密度为$1\ \mathrm{g/cm}^3$；
(3) 瓶子装满该液体时总质量为$500\ \mathrm{g}$。
【知识点】
1. 密度公式应用
2. m-V图像解读
3. 总质量计算
【点评】
本题是密度计算的基础应用题，结合图像考查信息提取和公式运用能力，解题的核心是从图像中获取空瓶质量、对应体积的总质量等有效信息，再代入密度公式逐步计算即可。
【难度系数】
0.75
9.「2026四川都江堰市期末，★☆」两个体积和质量完全相同的铜球和铝球($\rho_{铜}＞\rho_{铝}$),对于它们是否空心的判断正确的是 (
A.两球一定都是空心的
B.两球可能都是实心的
C.铜球一定是空心的
D.铝球一定是实心的
C
)A.两球一定都是空心的
B.两球可能都是实心的
C.铜球一定是空心的
D.铝球一定是实心的
答案
9.C 若两球都是实心的,两球质量m相等,$\rho_{铜}＞\rho_{铝}$,则实心球的体积关系为$V_{铜}＜V_{铝}$;由于两球的体积相同,所以铜球一定是空心的,铝球可能是空心的,也可能是实心的,故选C。
解析
【分析】
解题时可先利用密度公式的变形式分析两球为实心时的体积关系，再结合题目给出的两球体积相等的条件，推导两者的空心情况。首先明确已知条件：铜球和铝球的质量相等、体积相等，且铜的密度大于铝的密度。先假设两球均为实心，根据$V=\frac{m}{\rho}$计算出实心状态下两球的体积，再和实际体积对比，即可判断是否空心。
【解析】
已知$m_铜=m_铝$，$\rho_铜＞\rho_铝$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$变形可得$V=\frac{m}{\rho}$。
假设两球均为实心，则实心铜球的体积$V_{铜实}=\frac{m_铜}{\rho_铜}$，实心铝球的体积$V_{铝实}=\frac{m_铝}{\rho_铝}$，代入已知关系可得$V_{铜实}＜V_{铝实}$。
题目中给出两球的实际体积相等，即$V_{铜球}=V_{铝球}$，因此铜球的实际体积大于实心铜球的体积，说明铜球一定是空心的；而铝球的实际体积可能等于实心铝球的体积（即实心），也可能大于实心铝球的体积（即空心，空心程度小于铜球），因此铝球可能实心、也可能空心。
对选项逐一判断：
A. 铝球可能为实心，因此两球不一定都是空心，A错误；
B. 若两球均为实心，铜球体积会小于铝球体积，不符合两球体积相等的条件，B错误；
C. 由推导可知铜球一定是空心的，C正确；
D. 铝球可能空心，也可能实心，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 密度公式的应用 2. 空心实心判断
【点评】
本题是密度相关的典型基础题，核心考查利用密度公式分析空心、实心问题的方法，解题的关键是先假设物体为实心，通过计算实心体积和实际体积的对比得出结论，注意不要混淆不同密度物体的空心情况判断。
【难度系数】
0.7
解题时可先利用密度公式的变形式分析两球为实心时的体积关系，再结合题目给出的两球体积相等的条件，推导两者的空心情况。首先明确已知条件：铜球和铝球的质量相等、体积相等，且铜的密度大于铝的密度。先假设两球均为实心，根据$V=\frac{m}{\rho}$计算出实心状态下两球的体积，再和实际体积对比，即可判断是否空心。
【解析】
已知$m_铜=m_铝$，$\rho_铜＞\rho_铝$，根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$变形可得$V=\frac{m}{\rho}$。
假设两球均为实心，则实心铜球的体积$V_{铜实}=\frac{m_铜}{\rho_铜}$，实心铝球的体积$V_{铝实}=\frac{m_铝}{\rho_铝}$，代入已知关系可得$V_{铜实}＜V_{铝实}$。
题目中给出两球的实际体积相等，即$V_{铜球}=V_{铝球}$，因此铜球的实际体积大于实心铜球的体积，说明铜球一定是空心的；而铝球的实际体积可能等于实心铝球的体积（即实心），也可能大于实心铝球的体积（即空心，空心程度小于铜球），因此铝球可能实心、也可能空心。
对选项逐一判断：
A. 铝球可能为实心，因此两球不一定都是空心，A错误；
B. 若两球均为实心，铜球体积会小于铝球体积，不符合两球体积相等的条件，B错误；
C. 由推导可知铜球一定是空心的，C正确；
D. 铝球可能空心，也可能实心，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 密度公式的应用 2. 空心实心判断
【点评】
本题是密度相关的典型基础题，核心考查利用密度公式分析空心、实心问题的方法，解题的关键是先假设物体为实心，通过计算实心体积和实际体积的对比得出结论，注意不要混淆不同密度物体的空心情况判断。
【难度系数】
0.7
10. 跨学科实践「2026河南信阳期末，★☆」小明家里有一件工艺品，小明疑惑这件工艺品是不是纯银的，他想到学过的密度知识，于是测出了这件工艺品的质量为315 g，为测出工艺品的体积，小明把它完全浸入盛满水的容器中，刚好溢出50 g的水，查资料得知银的密度$\rho_{银}=10.5×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$。求：
(1)溢出的水的体积；
(2)这件工艺品的密度；
(3)小明发现工艺品底部有一个塞子，拧下塞子，发现内部是空心的。用注射器往内部注水，发现内部最多可注入20 mL的水，请初步判断工艺品是不是纯银的。
(1)溢出的水的体积；
(2)这件工艺品的密度；
(3)小明发现工艺品底部有一个塞子，拧下塞子，发现内部是空心的。用注射器往内部注水，发现内部最多可注入20 mL的水，请初步判断工艺品是不是纯银的。
答案
10.解析 (1)已知溢出50 g的水,则溢出的水的体积为$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{50\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=50\ \mathrm{cm}^3$。
(2)这件工艺品的质量为315 g,把它完全浸入盛满水的容器中,刚好溢出50 g的水,则工艺品的体积$V_{工}=V_{水}=50\ \mathrm{cm}^3$;根据密度公式可知,工艺品的密度为$\rho_{工}=\frac{m}{V_{工}}=\frac{315\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=6.3\ \mathrm{g/cm}^3$。
(3)工艺品空心部分的体积等于注入水的体积,$V_{空}=V=20\ \mathrm{mL}=20\ \mathrm{cm}^3$,则制作该工艺品的材料的体积$V'=V_{工}-V_{空}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$;制作该工艺品的材料的密度$\rho=\frac{m}{V'}=\frac{315\ \mathrm{g}}{30\ \mathrm{cm}^3}=10.5\ \mathrm{g/cm}^3$。因为材料的密度与银的密度相等,故初步判断该工艺品是纯银的。
(2)这件工艺品的质量为315 g,把它完全浸入盛满水的容器中,刚好溢出50 g的水,则工艺品的体积$V_{工}=V_{水}=50\ \mathrm{cm}^3$;根据密度公式可知,工艺品的密度为$\rho_{工}=\frac{m}{V_{工}}=\frac{315\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=6.3\ \mathrm{g/cm}^3$。
(3)工艺品空心部分的体积等于注入水的体积,$V_{空}=V=20\ \mathrm{mL}=20\ \mathrm{cm}^3$,则制作该工艺品的材料的体积$V'=V_{工}-V_{空}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$;制作该工艺品的材料的密度$\rho=\frac{m}{V'}=\frac{315\ \mathrm{g}}{30\ \mathrm{cm}^3}=10.5\ \mathrm{g/cm}^3$。因为材料的密度与银的密度相等,故初步判断该工艺品是纯银的。
解析
【分析】
解题可按问题逐次推导：(1)求溢出水的体积时，已知溢出水的质量，水的密度为已知常量，直接用密度公式的变形公式$V=\frac{m}{\rho}$即可计算；(2)工艺品完全浸没在水中，因此工艺品的体积等于溢出水的体积，再代入密度公式，用工艺品的质量除以体积就能算出它的平均密度；(3)已知空心部分最多注入水的体积即空心体积，用工艺品总体积减去空心体积得到制作工艺品的材料实际体积，再用总质量除以材料实际体积得到材料的密度，和银的密度对比即可判断是否为纯银。
【解析】
(1) 已知溢出水的质量$m_{水}=50\ \mathrm{g}$，水的密度$\rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm}^3$，由$\rho=\frac{m}{V}$变形得溢出水的体积：
$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{50\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=50\ \mathrm{cm}^3$。
(2) 工艺品完全浸没在水中，因此工艺品的体积等于溢出水的体积，即$V_{工}=V_{水}=50\ \mathrm{cm}^3$，已知工艺品质量$m=315\ \mathrm{g}$，则工艺品的密度：
$\rho_{工}=\frac{m}{V_{工}}=\frac{315\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=6.3\ \mathrm{g/cm}^3$。
(3) 空心部分体积等于最多注入水的体积，即$V_{空}=20\ \mathrm{mL}=20\ \mathrm{cm}^3$，则制作工艺品的材料体积：
$V'=V_{工}-V_{空}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$，
材料的密度：
$\rho=\frac{m}{V'}=\frac{315\ \mathrm{g}}{30\ \mathrm{cm}^3}=10.5\ \mathrm{g/cm}^3$，
已知银的密度$\rho_{银}=10.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=10.5\ \mathrm{g/cm}^3$，二者密度相等，因此初步判断该工艺品是纯银的。
【答案】
(1) $\boxed{50\ \mathrm{cm}^3}$
(2) $\boxed{6.3\ \mathrm{g/cm}^3}$
(3) 该工艺品是纯银的
【知识点】
密度公式应用，排水法测体积，空心问题计算
【点评】
本题结合生活探究场景考查密度相关计算，解题核心是明确排水法测体积的原理，以及空心类问题中总体积、实心材料体积、空心体积三者的关系，侧重考查学生对基础公式的运用和实际问题的分析能力。
【难度系数】
0.8
解题可按问题逐次推导：(1)求溢出水的体积时，已知溢出水的质量，水的密度为已知常量，直接用密度公式的变形公式$V=\frac{m}{\rho}$即可计算；(2)工艺品完全浸没在水中，因此工艺品的体积等于溢出水的体积，再代入密度公式，用工艺品的质量除以体积就能算出它的平均密度；(3)已知空心部分最多注入水的体积即空心体积，用工艺品总体积减去空心体积得到制作工艺品的材料实际体积，再用总质量除以材料实际体积得到材料的密度，和银的密度对比即可判断是否为纯银。
【解析】
(1) 已知溢出水的质量$m_{水}=50\ \mathrm{g}$，水的密度$\rho_{水}=1\ \mathrm{g/cm}^3$，由$\rho=\frac{m}{V}$变形得溢出水的体积：
$V_{水}=\frac{m_{水}}{\rho_{水}}=\frac{50\ \mathrm{g}}{1\ \mathrm{g/cm}^3}=50\ \mathrm{cm}^3$。
(2) 工艺品完全浸没在水中，因此工艺品的体积等于溢出水的体积，即$V_{工}=V_{水}=50\ \mathrm{cm}^3$，已知工艺品质量$m=315\ \mathrm{g}$，则工艺品的密度：
$\rho_{工}=\frac{m}{V_{工}}=\frac{315\ \mathrm{g}}{50\ \mathrm{cm}^3}=6.3\ \mathrm{g/cm}^3$。
(3) 空心部分体积等于最多注入水的体积，即$V_{空}=20\ \mathrm{mL}=20\ \mathrm{cm}^3$，则制作工艺品的材料体积：
$V'=V_{工}-V_{空}=50\ \mathrm{cm}^3-20\ \mathrm{cm}^3=30\ \mathrm{cm}^3$，
材料的密度：
$\rho=\frac{m}{V'}=\frac{315\ \mathrm{g}}{30\ \mathrm{cm}^3}=10.5\ \mathrm{g/cm}^3$，
已知银的密度$\rho_{银}=10.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3=10.5\ \mathrm{g/cm}^3$，二者密度相等，因此初步判断该工艺品是纯银的。
【答案】
(1) $\boxed{50\ \mathrm{cm}^3}$
(2) $\boxed{6.3\ \mathrm{g/cm}^3}$
(3) 该工艺品是纯银的
【知识点】
密度公式应用，排水法测体积，空心问题计算
【点评】
本题结合生活探究场景考查密度相关计算，解题核心是明确排水法测体积的原理，以及空心类问题中总体积、实心材料体积、空心体积三者的关系，侧重考查学生对基础公式的运用和实际问题的分析能力。
【难度系数】
0.8
