三、解答题(共52分)
9. (18分)如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线DE分别交AC,AB于点D,E,且$AD^2 - DC^2 = BC^2$.
(1) 求证: $∠ C=90°$;
(2) 若$AC=16, CD:AD=3:5$,求BC的长.

9. (1) 连结$BD$. 因为$AB$的垂直平分线$DE$分别交$AC,AB$于点$D,E$,所以$AD = BD$. 因为$AD^2 - DC^2 = BC^2$,所以$BD^2 - DC^2 = BC^2$,即$DC^2 + BC^2 = BD^2$. 所以$∠ C=90°$
(2) 因为$AC=16, CD:AD=3:5$,所以$CD=6, AD=10$. 因为$AD=BD$,所以$BD=10$. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,由勾股定理,易得$BC=8$

10. (16分)如图,小明从点A出发,先向东走1 m,再向南走4 m,然后向西走2 m,接着向南走4 m,最后向东走7 m,到达点B,求出发点A到终点B的距离.

10. 过点$A$作$AC ⊥ BD$,垂足为$C$. 根据题意,易得$AC=4+4=8(\mathrm{m})$,$BC=7-2+1=6(\mathrm{m})$. 在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,由勾股定理,得$AC^2 + BC^2 = AB^2$,所以易得$AB=10\ \mathrm{m}$. 所以出发点$A$到终点$B$的距离为$10\ \mathrm{m}$

11. (18分)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且$DE// AB$,过点E作$EF⊥ DE$,交BC的延长线于点F.
(1)求$∠ F$的度数;
(2)若$CD=2$,求DF的长.

11. (1) 因为$△ ABC$为等边三角形,所以$∠ ACB=∠ B=60°$. 因为$DE// AB$,所以$∠ EDC=∠ B=60°$. 因为$EF ⊥ DE$,所以$∠ DEF=90°$. 所以$∠ F=90°-∠ EDC=30°$
(2) 因为$∠ ACB=60°$,$∠ EDC=60°$,所以$△ EDC$为等边三角形. 所以$DE=CD=2$. 因为$∠ DEF=90°$,$∠ F=30°$,所以$DF=2DE=4$