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活动一:读一读 试一试
说说可以用什么方法说明课本第93页图3-9中的三角形是直角三角形.
说说可以用什么方法说明课本第93页图3-9中的三角形是直角三角形.
答案
方法1:用量角器量三角形的三个内角,发现其中一个是90°;方法2:画一个直角三角形,使它两条直角边的长分别为a cm和b cm,发现它与该三角形全等
解析
【分析】
要判定一个三角形是直角三角形，核心是验证该三角形存在90°的内角。我们可以从两个角度思考解题思路：一是从直角三角形的定义出发，直接验证角的度数；二是从全等的性质出发，若待判定三角形和已知的直角三角形全等，则它也为直角三角形，可通过构造直角三角形验证全等的方式判断。
【解析】
方法1：根据直角三角形的定义，有一个内角是90°的三角形是直角三角形，因此可以直接用量角器测量该三角形的三个内角，若测得其中一个内角为90°，即可判定它是直角三角形。
方法2：根据全等三角形对应角相等的性质，先测得图中三角形两条较短边的长度分别为a cm、b cm，再作一个两条直角边长分别为a cm、b cm的直角三角形，验证所作直角三角形与原图中的三角形全等，即可说明原图中的三角形存在90°的内角，是直角三角形。
【答案】
方法1:用量角器量三角形的三个内角,发现其中一个是90°;方法2:画一个直角三角形,使它两条直角边的长分别为a cm和b cm,发现它与该三角形全等
【知识点】
直角三角形的定义、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题考查直角三角形的判定思路，引导从不同维度探究几何图形的判定方法，既可以直接利用定义验证，也可以结合全等的性质转化问题，有助于锻炼动手操作能力和逻辑推理意识。
【难度系数】
0.8
要判定一个三角形是直角三角形，核心是验证该三角形存在90°的内角。我们可以从两个角度思考解题思路：一是从直角三角形的定义出发，直接验证角的度数；二是从全等的性质出发，若待判定三角形和已知的直角三角形全等，则它也为直角三角形，可通过构造直角三角形验证全等的方式判断。
【解析】
方法1：根据直角三角形的定义，有一个内角是90°的三角形是直角三角形，因此可以直接用量角器测量该三角形的三个内角，若测得其中一个内角为90°，即可判定它是直角三角形。
方法2：根据全等三角形对应角相等的性质，先测得图中三角形两条较短边的长度分别为a cm、b cm，再作一个两条直角边长分别为a cm、b cm的直角三角形，验证所作直角三角形与原图中的三角形全等，即可说明原图中的三角形存在90°的内角，是直角三角形。
【答案】
方法1:用量角器量三角形的三个内角,发现其中一个是90°;方法2:画一个直角三角形,使它两条直角边的长分别为a cm和b cm,发现它与该三角形全等
【知识点】
直角三角形的定义、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题考查直角三角形的判定思路，引导从不同维度探究几何图形的判定方法，既可以直接利用定义验证，也可以结合全等的性质转化问题，有助于锻炼动手操作能力和逻辑推理意识。
【难度系数】
0.8
活动二:想一想 说一说
1. 一个三角形的三边满足什么条件时,这个三角形是直角三角形?
2. 如何说明三边长分别为3 cm，4 cm，5 cm的三角形是直角三角形?
3. 什么叫勾股数？你能用自己的语言概述吗？写出你所知道的勾股数.
4. 说说勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别.
1. 一个三角形的三边满足什么条件时,这个三角形是直角三角形?
2. 如何说明三边长分别为3 cm，4 cm，5 cm的三角形是直角三角形?
3. 什么叫勾股数？你能用自己的语言概述吗？写出你所知道的勾股数.
4. 说说勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别.
答案
1. 如果三角形的三边长分别为a,b,c,满足$a^2+b^2=c^2$,那么这个三角形是直角三角形
2. 略
3. 满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数a,b,c称为勾股数.例如:3,4,5;6,8,10;5,12,13等
4. 勾股定理是已知三角形是直角三角形得到其边长之间的关系,而逆定理是根据边长之间的关系推出已知三角形是直角三角形
2. 略
3. 满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数a,b,c称为勾股数.例如:3,4,5;6,8,10;5,12,13等
4. 勾股定理是已知三角形是直角三角形得到其边长之间的关系,而逆定理是根据边长之间的关系推出已知三角形是直角三角形
解析
【分析】
这4个问题围绕勾股定理逆定理的相关核心概念设置，思考路径如下：第1题直接回忆勾股定理逆定理的核心内容即可作答；第2题是勾股定理逆定理的基础应用，只需先找到最长边，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可判断；第3题要抓住勾股数的两个核心要素：是正整数、满足两边平方和等于第三边平方，再结合日常积累举例；第4题从两个定理的条件、结论的对应关系入手，区分“性质”和“判定”的差异，就能理清二者的联系与区别。
【解析】
1. 本题考查勾股定理逆定理的内容，直接根据定义作答：若三角形三边长a、b、c满足两边的平方和等于第三边的平方，即$a^2+b^2=c^2$（c为最长边），则该三角形为直角三角形。
2. 第一步：确定三边长中的最长边为5cm；第二步：计算较短两边的平方和：$3^2+4^2=9+16=25$，再计算最长边的平方：$5^2=25$，可得$3^2+4^2=5^2$；第三步：根据勾股定理的逆定理，即可判定该三角形是直角三角形。
3. 本题考查勾股数的定义，需同时满足两个要求：①三个数都是正整数；②三个数满足$a^2+b^2=c^2$的关系，满足这两个条件的三个数就是勾股数，日常积累的常见勾股数都可作为例子。
4. 辨析两个定理可以从条件和结论的对应关系入手：勾股定理的条件是“三角形是直角三角形”，结论是“三边满足$a^2+b^2=c^2$”，属于性质定理；逆定理的条件是“三角形三边满足$a^2+b^2=c^2$”，结论是“三角形是直角三角形”，属于判定定理，二者条件和结论互逆。
【答案】
1. 如果三角形的三边长分别为a,b,c,满足$a^2+b^2=c^2$,那么这个三角形是直角三角形
2. 略
3. 满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数a,b,c称为勾股数.例如:3,4,5;6,8,10;5,12,13等
4. 勾股定理是已知三角形是直角三角形得到其边长之间的关系,而逆定理是根据边长之间的关系推出已知三角形是直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股数的定义；勾股定理与逆定理辨析
【点评】
本组题目属于基础概念类习题，重点考查对勾股定理逆定理相关核心知识点的理解与简单应用，掌握这些基础内容是后续利用逆定理解决几何证明、实际应用类问题的重要前提。
【难度系数】
0.8
这4个问题围绕勾股定理逆定理的相关核心概念设置，思考路径如下：第1题直接回忆勾股定理逆定理的核心内容即可作答；第2题是勾股定理逆定理的基础应用，只需先找到最长边，再验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可判断；第3题要抓住勾股数的两个核心要素：是正整数、满足两边平方和等于第三边平方，再结合日常积累举例；第4题从两个定理的条件、结论的对应关系入手，区分“性质”和“判定”的差异，就能理清二者的联系与区别。
【解析】
1. 本题考查勾股定理逆定理的内容，直接根据定义作答：若三角形三边长a、b、c满足两边的平方和等于第三边的平方，即$a^2+b^2=c^2$（c为最长边），则该三角形为直角三角形。
2. 第一步：确定三边长中的最长边为5cm；第二步：计算较短两边的平方和：$3^2+4^2=9+16=25$，再计算最长边的平方：$5^2=25$，可得$3^2+4^2=5^2$；第三步：根据勾股定理的逆定理，即可判定该三角形是直角三角形。
3. 本题考查勾股数的定义，需同时满足两个要求：①三个数都是正整数；②三个数满足$a^2+b^2=c^2$的关系，满足这两个条件的三个数就是勾股数，日常积累的常见勾股数都可作为例子。
4. 辨析两个定理可以从条件和结论的对应关系入手：勾股定理的条件是“三角形是直角三角形”，结论是“三边满足$a^2+b^2=c^2$”，属于性质定理；逆定理的条件是“三角形三边满足$a^2+b^2=c^2$”，结论是“三角形是直角三角形”，属于判定定理，二者条件和结论互逆。
【答案】
1. 如果三角形的三边长分别为a,b,c,满足$a^2+b^2=c^2$,那么这个三角形是直角三角形
2. 略
3. 满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数a,b,c称为勾股数.例如:3,4,5;6,8,10;5,12,13等
4. 勾股定理是已知三角形是直角三角形得到其边长之间的关系,而逆定理是根据边长之间的关系推出已知三角形是直角三角形
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股数的定义；勾股定理与逆定理辨析
【点评】
本组题目属于基础概念类习题，重点考查对勾股定理逆定理相关核心知识点的理解与简单应用，掌握这些基础内容是后续利用逆定理解决几何证明、实际应用类问题的重要前提。
【难度系数】
0.8
1. 3，4，5是一组勾股数，将这3个数分别扩大为原来的2倍，所得的3个数还是勾股数吗？扩大为原来的3倍、4倍、k倍（k为正整数）呢？为什么？说说你的发现。
答案
将3，4，5分别扩大正整数k倍后得到的仍然是勾股数
解析
【分析】
解题时首先要明确勾股数的判定条件：三个正整数，若其中两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股数。我们可以先从特殊情况入手，分别计算3、4、5扩大2倍、3倍、4倍后的三个数，验证它们的平方和关系，再推广到扩大k倍（k为正整数）的一般情况，用含k的代数式表示三个数，通过整式运算验证平方和关系，同时确认所得三个数均为正整数，即可得出结论，最后归纳出勾股数的相关性质。
【解析】
1. 验证扩大2倍的情况：
3、4、5扩大2倍得到6、8、10，均为正整数。
计算得：$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足勾股数条件，因此是勾股数。
2. 验证扩大3倍的情况：
得到9、12、15，均为正整数。
$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，满足条件，是勾股数。
3. 验证扩大4倍的情况：
得到12、16、20，均为正整数。
$12^2+16^2=144+256=400=20^2$，满足条件，是勾股数。
4. 推广到扩大k倍（k为正整数）的情况：
得到三个数为$3k$、$4k$、$5k$，由于k是正整数，因此三个数均为正整数。
计算平方和：$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，满足勾股数的判定条件。
因此3、4、5扩大为原来的正整数k倍后，所得的三个数仍是勾股数，可归纳规律：一组勾股数同时扩大相同的正整数倍，得到的三个数仍然是勾股数。
【答案】
将3，4，5分别扩大正整数k倍后得到的仍然是勾股数
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的逆定理；积的乘方运算
【点评】
本题从特殊到一般推导勾股数的性质，既考查了勾股数的判定方法，也锻炼了归纳推理能力，解题的核心是熟练运用勾股定理的逆定理对三组数的平方关系进行验证。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确勾股数的判定条件：三个正整数，若其中两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股数。我们可以先从特殊情况入手，分别计算3、4、5扩大2倍、3倍、4倍后的三个数，验证它们的平方和关系，再推广到扩大k倍（k为正整数）的一般情况，用含k的代数式表示三个数，通过整式运算验证平方和关系，同时确认所得三个数均为正整数，即可得出结论，最后归纳出勾股数的相关性质。
【解析】
1. 验证扩大2倍的情况：
3、4、5扩大2倍得到6、8、10，均为正整数。
计算得：$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足勾股数条件，因此是勾股数。
2. 验证扩大3倍的情况：
得到9、12、15，均为正整数。
$9^2+12^2=81+144=225=15^2$，满足条件，是勾股数。
3. 验证扩大4倍的情况：
得到12、16、20，均为正整数。
$12^2+16^2=144+256=400=20^2$，满足条件，是勾股数。
4. 推广到扩大k倍（k为正整数）的情况：
得到三个数为$3k$、$4k$、$5k$，由于k是正整数，因此三个数均为正整数。
计算平方和：$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，满足勾股数的判定条件。
因此3、4、5扩大为原来的正整数k倍后，所得的三个数仍是勾股数，可归纳规律：一组勾股数同时扩大相同的正整数倍，得到的三个数仍然是勾股数。
【答案】
将3，4，5分别扩大正整数k倍后得到的仍然是勾股数
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的逆定理；积的乘方运算
【点评】
本题从特殊到一般推导勾股数的性质，既考查了勾股数的判定方法，也锻炼了归纳推理能力，解题的核心是熟练运用勾股定理的逆定理对三组数的平方关系进行验证。
【难度系数】
0.8
2. 如图3-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12.求凹四边形ABCD的面积.
答案
24
解析
【分析】
要求凹四边形ABCD的面积，可通过连接辅助线AC，将不规则图形的面积转化为两个三角形的面积差求解。第一步先在Rt△ADC中，利用勾股定理求出斜边AC的长度；第二步将AC的长度与已知的AB、BC长度结合，用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，进而求出△ABC的面积；最后用△ABC的面积减去△ADC的面积，即可得到凹四边形的面积。
【解析】
1. 连接AC，在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$AD=4$，$CD=3$，根据勾股定理：
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2=16+9=25$，因此$AC=5$（边长取正值）。
2. 在$△ ABC$中，已知$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$，计算得：
$AC^2+BC^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$，即$AC^2+BC^2=AB^2$。
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
3. 计算两个三角形的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30$，
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×4×3=6$。
4. 凹四边形ABCD的面积：
$S_{ABCD}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}=30-6=24$。
【答案】
24
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型综合应用题，核心解题思路是通过添加辅助线将不规则图形的面积转化为规则三角形的面积差，需要熟练掌握勾股定理及逆定理的适用场景，灵活运用转化思想求解不规则图形面积。
【难度系数】
0.7
要求凹四边形ABCD的面积，可通过连接辅助线AC，将不规则图形的面积转化为两个三角形的面积差求解。第一步先在Rt△ADC中，利用勾股定理求出斜边AC的长度；第二步将AC的长度与已知的AB、BC长度结合，用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，进而求出△ABC的面积；最后用△ABC的面积减去△ADC的面积，即可得到凹四边形的面积。
【解析】
1. 连接AC，在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$AD=4$，$CD=3$，根据勾股定理：
$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+3^2=16+9=25$，因此$AC=5$（边长取正值）。
2. 在$△ ABC$中，已知$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$，计算得：
$AC^2+BC^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$，即$AC^2+BC^2=AB^2$。
根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
3. 计算两个三角形的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×5×12=30$，
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×4×3=6$。
4. 凹四边形ABCD的面积：
$S_{ABCD}=S_{△ ABC}-S_{△ ADC}=30-6=24$。
【答案】
24
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型综合应用题，核心解题思路是通过添加辅助线将不规则图形的面积转化为规则三角形的面积差，需要熟练掌握勾股定理及逆定理的适用场景，灵活运用转化思想求解不规则图形面积。
【难度系数】
0.7
