1 [2025安徽]二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$

1. C

2 [2025 泸州]已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的对称轴为直线 $ x=1 $，与 $ y $ 轴的交点位于 $ x $ 轴下方，且 $ x=-1 $ 时，$ y＞0 $，则下列结论正确的是（）

A.$ 2a = b $
B.$ b^2 -4ac ＜0 $
C.$ a -2b +4c ＜0 $
D.$ 8a +c ＞0 $

2. D

3 在平面直角坐标系中,已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$($a,b,c$是常数,$a≠0$).
（1）若$a = 1$,函数图象经过点$(0,-4)$和$(3,-1)$,求函数图象的顶点坐标；
（2）若$a = -2$,函数图象与$x$轴有两个交点$(x_1,0)(x_2,0)$,且$x_1 ＜ 6 ＜ x_2$,求证:$6b + c ＞ 72$.

3.（1）因为 $a=1$，所以 $y=x^2+bx+c$. 因为函数图象经过点 $(0,-4)$ 和 $(3,-1)$，所以 $\begin{cases}c=-4,\\9+3b+c=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-2,\\c=-4.\end{cases}$ 所以 $y=x^2-2x-4=(x-1)^2-5$. 所以函数图象的顶点坐标为 $(1,-5)$ （2）若 $a=-2$，则 $y=-2x^2+bx+c$，所以抛物线开口向下. 因为函数图象与 x 轴有两个交点 $(x_1,0),(x_2,0)$，且 $x_1＜6＜x_2$，所以当 $x=6$ 时，$y=-2×6^2+6b+c＞0$. 所以 $-72+6b+c＞0$. 所以 $6b+c＞72$

4 [2025 齐齐哈尔]如图，二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交于点$(-1,0)$，$(x_1,0)$，且$2＜x_1＜3$。有下列结论：①$abc＞0$；②$2a+c＜0$；③$4a-b+2c＜0$；④若m和n是关于x的一元二次方程$a(x+1)(x-x_1)+c=0(a≠0)$的两根，且$m＜n$，则$m＜-1,n＞2$；⑤关于x的不等式$ax^2+bx+c＞-\frac{c}{x_1}x+c(a≠0)$的解集为$0＜x＜x_1$。其中，正确结论的个数是（）

A.2
B.3
C.4
D.5

4. B 解析:因为抛物线开口向上,所以a＞0.因为抛物线与y轴交于负半轴,所以当x=0时,y=c＜0.又因为抛物线与x轴交于点(-1,0),(x₁,0),且2＜x₁＜3,所以1＜-1+x₁＜2.所以$\frac{1}{2}＜\frac{-1+x_1}{2}＜1$.所以对称轴是直线$x=\frac{-1+x_1}{2}=-\frac{b}{2a}＞0$.所以b＜0.所以abc＞0.故①正确.由题图,可得当x=2时,y=4a+2b+c＜0.又因为当x=-1时,y=a-b+c=0,所以b=a+c.所以4a+2b+c=4a+2a+2c+c=6a+3c＜0.所以2a+c＜0.故②正确.因为$\frac{1}{2}＜\frac{-1+x_1}{2}＜1$,且对称轴是直线$x=\frac{-1+x_1}{2}=-\frac{b}{2a}＞0$,所以$\frac{1}{2}＜-\frac{b}{2a}＜1$.因为a＞0,所以a＜-b＜2a.所以2a+b＞0.所以2a+a+c＞0,即3a+c＞0.所以4a-b+2c=4a-a-c+2c=3a+c＞0.故③错误.因为二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(-1,0),(x₁,0),所以y=ax²+bx+c=a(x+1)(x-x₁).又因为m,n为方程a(x+1)(x-x₁)+c=0的两根,所以易得m,n为二次函数y=a(x+1)(x-x₁)的图象与直线y=-c的交点的横坐标.因为m＜n,所以①,可得m＜-1,n＞2.故④正确.因为易得函数$y=-\frac{c}{x_1}x+c$的图象恒过点(0,c),(x₁,0),所以作出图象②.所以由图②,易得关于x的不等式$ax^2+bx+c＞-\frac{c}{x_1}x+c(a≠0)$的解集是x＜0或x＞x₁.故⑤错误.综上所述,正确的结论是①②④,共3个.

5 [2025 浙江模拟]已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$（$a,b,c$ 是常数，$ab ≠ 0$）的图象经过点$(1,0)$。
（1）若二次函数的图象经过$A(-1,4),B(0,-1)$两点，求该二次函数的表达式；
（2）若二次函数图象的顶点落在$x$轴上，求证：$a = c$；
（3）若二次函数图象的对称轴为直线 $x = \dfrac{c+a}{2}$，当$b ≥ c$时，求$a^2 + b^2 + c^2$的最小值。

5.（1）因为二次函数的图象经过点$(1,0)$，所以 $a+b+c=0$. 又因为二次函数的图象经过 $A(-1,4)$，$B(0,-1)$ 两点，所以 $\begin{cases}a+b+c=0,\\a-b+c=4,\\c=-1.\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}a=3,\\b=-2,\\c=-1.\end{cases}$ 所以 $y=3x^2-2x-1$ （2）因为二次函数图象的顶点落在 x 轴上，所以 $b^2-4ac=0$. 因为二次函数的图象经过点 $(1,0)$，所以 $a+b+c=0$. 所以 $b=-a-c$. 所以 $(-a-c)^2-4ac=(a-c)^2=0$. 所以 $a=c$ （3）因为二次函数图象的对称轴为直线 $x=\frac{c+a}{2}$，且 $a+b+c=0$，所以 $-\frac{b}{2a}=\frac{c+a}{2}=-\frac{b}{2a}$. 因为 $ab≠0$，所以 $b≠0$. 所以 $a=1$. 所以 $b=-1-c$. 又因为 $b≥c$，所以 $-1-c≥c$，解得 $c≤-0.5$. 所以将 $a=1$，$b=-1-c$ 代入，得 $a^2+b^2+c^2=2c^2+2c+2=2(c+\frac{1}{2})^2+1.5$. 所以当 $c=-0.5$ 时，$a^2+b^2+c^2$ 取得最小值，为 1.5