24.「2025陕西西安交大附中期末，★★★」（12分）已知抛物线$L$：$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与$x$轴交于点$A(-2,0)$，点$B(4,0)$，与$y$轴交于点$C(0,4)$。
(1)求抛物线$L$的表达式。
(2)若点$P$是直线$y=x+2$上第一象限内的一个动点，将抛物线$L$进行平移得到抛物线$L'$，点$B$的对应点为点$Q$，是否存在以$A,B,P,Q$四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由。（可借助图中的平面直角坐标系解答）

解析 (1)把$A(-2,0)$,$B(4,0)$,$C(0,4)$代入$y=ax^2+bx+c$得$\begin{cases}4a-2b+c=0,\\16a+4b+c=0,\\c=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\b=1,\\c=4,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线$L$的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4$.$·············································$ (4分)
(2)存在以$A,B,P,Q$四个点为顶点的四边形是菱形. $···$
$·$ (5分)
设$P(t,t+2)$,$Q(m,n)$,
$\because A(-2,0)$,$B(4,0)$,
$\therefore AB^2=(-2-4)^2+(0-0)^2=36$. $·$ (6分)
分以下三种情况讨论.
①当$AP,BQ$为对角线时,$AP,BQ$的中点重合,且$AB=BP$,
$\therefore \begin{cases}-2+t=4+m,\\t+2=n,\\36=(t-4)^2+(t+2)^2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=4,\\m=-2,\\n=6\end{cases}$,或$\begin{cases}t=-2,\\m=-8,\\n=0\end{cases}$,(此时点$P,A$重合,舍去),
$\therefore Q(-2,6)$,
$\because B(4,0)$,$\therefore$ 抛物线的平移方式是向左平移6个单位,向上平移6个单位.$·$ (8分)
②当$AB,PQ$为对角线时,$AB,PQ$的中点重合,且$AP=AQ$,
$\therefore \begin{cases}-2+4=t+m,\\0=t+2+n,\\2(t+2)^2=(m+2)^2+n^2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=1,\\m=1,\\n=-3,\end{cases}$ $\therefore Q(1,-3)$,
$\because B(4,0)$,$\therefore$ 抛物线的平移方式是向左平移3个单位,向下平移3个单位. $·$ (10分)
③当$AQ,BP$为对角线时,$AQ,BP$的中点重合,且$AB=AP$,
$\therefore \begin{cases}-2+m=t+4,\\t+2=n,\\36=(t+2)^2+(t+2)^2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=3\sqrt{2}-2,\\m=3\sqrt{2}+4,\\n=3\sqrt{2}\end{cases}$,或$\begin{cases}t=-3\sqrt{2}-2,\\m=-3\sqrt{2}+4,\\n=-3\sqrt{2}\end{cases}$,(此时点$P$不在第一象限,舍去),$\therefore Q(3\sqrt{2}+4,3\sqrt{2})$,
$\because B(4,0)$,$\therefore$ 抛物线的平移方式是向右平移$3\sqrt{2}$个单位,向上平移$3\sqrt{2}$个单位.
综上所述,抛物线的平移方式是向左平移6个单位,向上平移6个单位或向左平移3个单位,向下平移3个单位或向右平移$3\sqrt{2}$个单位,向上平移$3\sqrt{2}$个单位. $······$ (12分)