14.“8字”形的性质及应用：
(1)如图1，AD，BC相交于点O，得到一个“8字”形ABCD，求证∠A+∠B=∠C+∠D；
(2)如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用第(1)问中的结论证明∠E=$\frac{1}{2}$(∠A+∠C)。

(1) 证明：
在$△ AOB$中，由三角形内角和定理得：
$∠ A + ∠ B + ∠ AOB = 180°$，
因此$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ AOB$。
在$△ COD$中，由三角形内角和定理得：
$∠ C + ∠ D + ∠ COD = 180°$，
因此$∠ C + ∠ D = 180° - ∠ COD$。
$\because AD, BC$相交于点$O$，$∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，
$\therefore ∠ AOB = ∠ COD$，
$\therefore 180° - ∠ AOB = 180° - ∠ COD$，
即$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$。
---
(2) 证明：
$\because BE$平分$∠ ABC$，$DE$平分$∠ ADC$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ADE = ∠ EDC = \frac{1}{2}∠ ADC$。
由(1)的“8字”形结论可得：
$∠ A + ∠ ABE = ∠ E + ∠ ADE \quad ①$，
$∠ C + ∠ EDC = ∠ E + ∠ EBC \quad ②$。
将①+②得：
$∠ A + ∠ ABE + ∠ C + ∠ EDC = 2∠ E + ∠ ADE + ∠ EBC$，
$\because ∠ ABE = ∠ EBC$，$∠ ADE = ∠ EDC$，
等式两边消去相等项后得：
$∠ A + ∠ C = 2∠ E$，
$\therefore ∠ E = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ C)$。

【分析】
(1) 要证明∠A+∠B=∠C+∠D，可分别在△AOB和△COD中用三角形内角和定理表示出两组角的和，再结合对顶角相等的性质，即可推导出等量关系。
(2) 首先根据角平分线的定义得到两组相等的角，再观察图2中的两个“8字”形结构，分别套用第(1)问的结论列出两个等式，将两个等式相加后消去相等的角，整理即可得到要证明的结论。
【解析】
(1) 证明：
在$△ AOB$中，由三角形内角和定理得：
$∠ A + ∠ B + ∠ AOB = 180°$，
因此$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ AOB$。
在$△ COD$中，由三角形内角和定理得：
$∠ C + ∠ D + ∠ COD = 180°$，
因此$∠ C + ∠ D = 180° - ∠ COD$。
$\because AD, BC$相交于点$O$，$∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，
$\therefore ∠ AOB = ∠ COD$，
$\therefore 180° - ∠ AOB = 180° - ∠ COD$，
即$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D$。
(2) 证明：
$\because BE$平分$∠ ABC$，$DE$平分$∠ ADC$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ADE = ∠ EDC = \frac{1}{2}∠ ADC$。
由(1)的“8字”形结论可得：
$∠ A + ∠ ABE = ∠ E + ∠ ADE \quad ①$，
$∠ C + ∠ EDC = ∠ E + ∠ EBC \quad ②$。
将①+②得：
$∠ A + ∠ ABE + ∠ C + ∠ EDC = 2∠ E + ∠ ADE + ∠ EBC$，
$\because ∠ ABE = ∠ EBC$，$∠ ADE = ∠ EDC$，
等式两边消去相等项后得：
$∠ A + ∠ C = 2∠ E$，
$\therefore ∠ E = \frac{1}{2}(∠ A + ∠ C)$。
【答案】
(1) 见上述证明过程；
(2) 见上述证明过程。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题是典型的几何模型推导应用题，第一问是“8字”模型的基础推导，第二问是模型的拓展应用，解题的关键是准确识别图形中的“8字”结构，结合已知的角平分线条件建立角度间的等量关系，熟练掌握这类基础几何模型能大幅提升角度类证明、计算题的解题效率。
【难度系数】
0.7

15.将三角尺(△MPN)放置在△ABC上,∠MPN=90°,且点P在△ABC内,如图1所示,三角尺的两边PM,PN恰好经过点B和点C.
(1)特例探究:若∠A=50°,则∠PBC+∠PCB=°,∠ABP+∠ACP=°;
(2)类比探究:写出∠ABP,∠ACP,∠A之间满足的数量关系,并说明理由;
(3)变式探索:如图2,改变三角尺的位置,使点P在△ABC外,三角尺的两边PM,PN仍恰好经过点B和点C,求∠ABP,∠ACP,∠A之间满足的数量关系,并说明理由.

15.(1)90,40 (2)$∠ ABP+∠ ACP+∠ A=90°$ (3)$∠ ABP+90°=∠ ACP+∠ A$

【分析】
(1) 先利用三角形内角和定理，在△PBC中已知∠P=90°，可直接求出∠PBC+∠PCB的度数；再在△ABC中求出∠ABC+∠ACB的度数，将∠ABC拆为∠ABP+∠PBC、∠ACB拆为∠ACP+∠PCB，作差即可得到∠ABP+∠ACP的度数。
(2) 把(1)的特殊角度∠A=50°换成一般的∠A，沿用(1)的推导思路，结合两个三角形的内角和关系，整理式子即可得到三个角的数量关系。
(3) 当点P在△ABC外时，先结合图形明确∠ABC、∠ACB与∠ABP、∠ACP、∠PBC、∠PCB的和差关系，再分别利用△ABC和△PBC的内角和定理，代入整理即可得到新的数量关系。
【解析】
(1) 在△PBC中，∠MPN=90°，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ PBC+∠ PCB=180°-∠ MPN=180°-90°=90°$。
在△ABC中，∠A=50°，同理得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-50°=130°$。
又
∵$∠ ABC=∠ ABP+∠ PBC$，$∠ ACB=∠ ACP+∠ PCB$，
∴$∠ ABP+∠ ACP=(∠ ABC+∠ ACB)-(∠ PBC+∠ PCB)=130°-90°=40°$。
(2) 数量关系：$\boldsymbol{∠ABP+∠ACP+∠A=90°}$，理由如下：
在△ABC中，由三角形内角和定理得：$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，
即$(∠ ABP+∠ PBC)+(∠ ACP+∠ PCB)=180°-∠ A$，
整理得$∠ ABP+∠ ACP + (∠ PBC+∠ PCB)=180°-∠ A$。
在△PBC中，∠P=90°，故$∠ PBC+∠ PCB=180°-90°=90°$，
将其代入上式得：$∠ ABP+∠ ACP +90°=180°-∠ A$，
移项化简得$∠ ABP+∠ ACP+∠ A=90°$。
(3) 数量关系：$\boldsymbol{∠ABP+90°=∠ACP+∠A}$，理由如下：
在△ABC中，由三角形内角和定理得：$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A$，
结合图形可知：$∠ ABC=∠ PBC-∠ ABP$，$∠ ACB=∠ PCB+∠ ACP$，
代入得：$(∠ PBC-∠ ABP)+(∠ PCB+∠ ACP)=180°-∠ A$，
整理得$(∠ PBC+∠ PCB) + ∠ ACP - ∠ ABP=180°-∠ A$。
在△PBC中，∠P=90°，故$∠ PBC+∠ PCB=90°$，
代入上式得：$90° + ∠ ACP - ∠ ABP=180°-∠ A$，
移项化简得：$∠ ABP+90°=∠ ACP+∠ A$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90}$，$\boldsymbol{40}$
(2) $\boldsymbol{∠ABP+∠ACP+∠A=90°}$
(3) $\boldsymbol{∠ABP+90°=∠ACP+∠A}$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角的和差计算
3. 等量代换
【点评】
本题围绕三角形内角和定理展开，通过改变三角尺的位置探究角的数量关系，解题的核心是将所求角拆分为已知三角形的内角，结合内角和定理进行等量代换与化简，需要注意图形变化时角的和差关系也会对应改变，要结合图形准确分析角的构成。
【难度系数】
0.65