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9. 如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东$60°$方向上，他向东走至B处，测得灯塔P在北偏东$30°$方向上，则从灯塔P观测A，B两处的视角的度数是（
A.$30°$
B.$32°$
C.$35°$
D.$40°$
A
）A.$30°$
B.$32°$
C.$35°$
D.$40°$
答案
9.A
解析
【分析】
要求从灯塔P观测A、B两处的视角，即求∠APB的度数。首先根据方向角的定义，先求出△ABP中∠PAB的度数，再得到点B处与P相关的外角的度数，最后利用三角形外角的性质即可求出∠APB的度数。
【解析】
解：由题意可知，A、B在东西方向的直线上，两地的正北方向互相平行。
1. 计算∠PAB：在A处测得灯塔P在北偏东60°方向，因此∠PAB = 90° - 60° = 30°。
2. 计算点B处的外角：在B处测得灯塔P在北偏东30°方向，因此P相对于B的方向与正东方向的夹角为90° - 30° = 60°，该角是△ABP的外角。
3. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得该外角 = ∠PAB + ∠APB。
代入数值：60° = 30° + ∠APB，解得∠APB = 60° - 30° = 30°。
【答案】
A
【知识点】
方向角，三角形外角性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确理解方向角的含义，结合三角形外角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求从灯塔P观测A、B两处的视角，即求∠APB的度数。首先根据方向角的定义，先求出△ABP中∠PAB的度数，再得到点B处与P相关的外角的度数，最后利用三角形外角的性质即可求出∠APB的度数。
【解析】
解：由题意可知，A、B在东西方向的直线上，两地的正北方向互相平行。
1. 计算∠PAB：在A处测得灯塔P在北偏东60°方向，因此∠PAB = 90° - 60° = 30°。
2. 计算点B处的外角：在B处测得灯塔P在北偏东30°方向，因此P相对于B的方向与正东方向的夹角为90° - 30° = 60°，该角是△ABP的外角。
3. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得该外角 = ∠PAB + ∠APB。
代入数值：60° = 30° + ∠APB，解得∠APB = 60° - 30° = 30°。
【答案】
A
【知识点】
方向角，三角形外角性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确理解方向角的含义，结合三角形外角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10.如图，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC=20°，∠C=38°，则∠BAD的度数为（
A.$58°$
B.$64°$
C.$62°$
D.$56°$
A
）A.$58°$
B.$64°$
C.$62°$
D.$56°$
答案
10.A
解析
【分析】
遇到角平分线+角平分线上的垂线这类组合条件时，可通过延长垂线与角的另一边相交，构造全等三角形，将待求的∠BAD转化为与已知角相关的角；再利用三角形外角的性质，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
延长AD交BC于点E。
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ $∠ ABD = ∠ EBD$。
∵ AD⊥BD，
∴ $∠ ADB = ∠ EDB = 90°$。
在$△ ABD$和$△ EBD$中：
$\begin{cases}∠ ABD = ∠ EBD \\BD = BD \\∠ ADB = ∠ EDB\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ EBD$（ASA），
∴ $∠ BAD = ∠ BED$。
∵ $∠ BED$是$△ AEC$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ $∠ BED = ∠ DAC + ∠ C = 20° + 38° = 58°$，
∴ $∠ BAD = 58°$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心解题思路是构造全等三角形实现角的转化，解题关键是合理作出辅助线，熟练掌握全等三角形判定、性质及三角形外角的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线+角平分线上的垂线这类组合条件时，可通过延长垂线与角的另一边相交，构造全等三角形，将待求的∠BAD转化为与已知角相关的角；再利用三角形外角的性质，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
延长AD交BC于点E。
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ $∠ ABD = ∠ EBD$。
∵ AD⊥BD，
∴ $∠ ADB = ∠ EDB = 90°$。
在$△ ABD$和$△ EBD$中：
$\begin{cases}∠ ABD = ∠ EBD \\BD = BD \\∠ ADB = ∠ EDB\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ EBD$（ASA），
∴ $∠ BAD = ∠ BED$。
∵ $∠ BED$是$△ AEC$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ $∠ BED = ∠ DAC + ∠ C = 20° + 38° = 58°$，
∴ $∠ BAD = 58°$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心解题思路是构造全等三角形实现角的转化，解题关键是合理作出辅助线，熟练掌握全等三角形判定、性质及三角形外角的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11.在探究证明“三角形的内角和是$180°$”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是$180°$”的是（
A.图1中，延长AC至点F，过点C作$CE// AB$
B.图2中，过点C作$EF// AB$
C.图3中，作$CD⊥ AB$，垂足为D
D.图4中，过点D作$DE// BC$，$DF// AC$
C
）A.图1中，延长AC至点F，过点C作$CE// AB$
B.图2中，过点C作$EF// AB$
C.图3中，作$CD⊥ AB$，垂足为D
D.图4中，过点D作$DE// BC$，$DF// AC$
答案
11.C
解析
【分析】
要判断哪种辅助线不能证明三角形内角和为$180°$，核心思路是：证明三角形内角和的本质是通过平行线的性质，将三角形的三个内角转移到同一位置，拼成1个平角（$180°$），或者转化为互补的同旁内角，且证明过程不能出现循环论证（即不能用待证的内角和结论作为推理依据）。我们只需逐个分析每个选项的辅助线能否满足上述要求即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
选项A：过点C作$CE// AB$，根据平行线的性质，可得$∠ A=∠ ECF$（两直线平行，同位角相等），$∠ B=∠ BCE$（两直线平行，内错角相等）。因为$∠ ACF$是平角，大小为$180°$，即$∠ ACB+∠ BCE+∠ ECF=180°$，等量代换可得$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，可以证明，不符合题意。
选项B：过点C作$EF// AB$，根据平行线的性质，可得$∠ A=∠ ACE$（两直线平行，内错角相等），$∠ B=∠ BCF$（两直线平行，内错角相等）。因为$∠ ECF$是平角，大小为$180°$，即$∠ ACE+∠ ACB+∠ BCF=180°$，等量代换可得$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，可以证明，不符合题意。
选项C：作$CD⊥ AB$，仅能得到$∠ CDA=∠ CDB=90°$，若要推导内角和，需要用到“直角三角形两锐角互余”的结论，而这个结论本身就是三角形内角和为$180°$的推论，属于循环论证，无法完成证明，符合题意。
选项D：过点D作$DE// BC$，$DF// AC$，根据平行线的性质，可得$∠ A=∠ BDF$（两直线平行，同位角相等），$∠ B=∠ ADE$（两直线平行，同位角相等）；由$DE// BC$得$∠ C=∠ AED$（两直线平行，同位角相等），再由$DF// AC$得$∠ AED=∠ EDF$（两直线平行，内错角相等），因此$∠ C=∠ EDF$。因为$∠ ADB$是平角，大小为$180°$，即$∠ ADE+∠ EDF+∠ FDB=180°$，等量代换可得$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，可以证明，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题考查三角形内角和定理的证明逻辑，解题的关键是理解内角和证明的核心是通过平行线转化角，同时要注意证明过程不能出现循环论证的错误。
【难度系数】
0.7
要判断哪种辅助线不能证明三角形内角和为$180°$，核心思路是：证明三角形内角和的本质是通过平行线的性质，将三角形的三个内角转移到同一位置，拼成1个平角（$180°$），或者转化为互补的同旁内角，且证明过程不能出现循环论证（即不能用待证的内角和结论作为推理依据）。我们只需逐个分析每个选项的辅助线能否满足上述要求即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
选项A：过点C作$CE// AB$，根据平行线的性质，可得$∠ A=∠ ECF$（两直线平行，同位角相等），$∠ B=∠ BCE$（两直线平行，内错角相等）。因为$∠ ACF$是平角，大小为$180°$，即$∠ ACB+∠ BCE+∠ ECF=180°$，等量代换可得$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，可以证明，不符合题意。
选项B：过点C作$EF// AB$，根据平行线的性质，可得$∠ A=∠ ACE$（两直线平行，内错角相等），$∠ B=∠ BCF$（两直线平行，内错角相等）。因为$∠ ECF$是平角，大小为$180°$，即$∠ ACE+∠ ACB+∠ BCF=180°$，等量代换可得$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，可以证明，不符合题意。
选项C：作$CD⊥ AB$，仅能得到$∠ CDA=∠ CDB=90°$，若要推导内角和，需要用到“直角三角形两锐角互余”的结论，而这个结论本身就是三角形内角和为$180°$的推论，属于循环论证，无法完成证明，符合题意。
选项D：过点D作$DE// BC$，$DF// AC$，根据平行线的性质，可得$∠ A=∠ BDF$（两直线平行，同位角相等），$∠ B=∠ ADE$（两直线平行，同位角相等）；由$DE// BC$得$∠ C=∠ AED$（两直线平行，同位角相等），再由$DF// AC$得$∠ AED=∠ EDF$（两直线平行，内错角相等），因此$∠ C=∠ EDF$。因为$∠ ADB$是平角，大小为$180°$，即$∠ ADE+∠ EDF+∠ FDB=180°$，等量代换可得$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，可以证明，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题考查三角形内角和定理的证明逻辑，解题的关键是理解内角和证明的核心是通过平行线转化角，同时要注意证明过程不能出现循环论证的错误。
【难度系数】
0.7
12. 在$△ ABC$中,如果$∠ A=∠ B=4∠ C$,那么$∠ C=$
20
°.答案
12.20
解析
【分析】
解题的切入点是三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和为180°。首先观察题目给出的角的数量关系，∠A和∠B都等于4∠C，因此可以将三个内角都用∠C来表示，再代入内角和公式，得到只含有∠C的等式，计算即可求出∠C的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A = ∠ B = 4∠ C$，将其代入上式得：
$4∠ C + 4∠ C + ∠ C = 180°$
合并同类项得：$9∠ C = 180°$
解得：$∠ C = 20°$
【答案】
20
【知识点】
三角形内角和定理；角度计算
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题，解题核心是利用已知的角的等量关系，将三个内角统一为同一个未知量表示，结合内角和公式列等式求解，属于需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题的切入点是三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和为180°。首先观察题目给出的角的数量关系，∠A和∠B都等于4∠C，因此可以将三个内角都用∠C来表示，再代入内角和公式，得到只含有∠C的等式，计算即可求出∠C的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理可得：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A = ∠ B = 4∠ C$，将其代入上式得：
$4∠ C + 4∠ C + ∠ C = 180°$
合并同类项得：$9∠ C = 180°$
解得：$∠ C = 20°$
【答案】
20
【知识点】
三角形内角和定理；角度计算
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题，解题核心是利用已知的角的等量关系，将三个内角统一为同一个未知量表示，结合内角和公式列等式求解，属于需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
13.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°，求x的值. 
答案
13.140
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据三角形内角和为180°，在大△ABC中已知∠A的度数，可先求出∠ABC与∠ACB的度数和；再结合∠1=∠2、∠3=∠4的条件，可推出∠2+∠4是∠ABC与∠ACB和的一半，算出∠2+∠4的度数；最后再利用一次三角形内角和，在含x°的小三角形中即可求出x的值。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
∵$∠ A=100°$
∴$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 100° = 80°$
∵$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$
∴$∠ 2 = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ 4 = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ 2 + ∠ 4 = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×80° = 40°$
在含$x°$的三角形中，根据三角形内角和定理得：
$x° + ∠ 2 + ∠ 4 = 180°$
∴$x = 180 - 40 = 140$
【答案】
140
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题型，解题的关键是合理运用角的等量关系，将未知角的和转化为与已知角相关的量，解题思路清晰，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据三角形内角和为180°，在大△ABC中已知∠A的度数，可先求出∠ABC与∠ACB的度数和；再结合∠1=∠2、∠3=∠4的条件，可推出∠2+∠4是∠ABC与∠ACB和的一半，算出∠2+∠4的度数；最后再利用一次三角形内角和，在含x°的小三角形中即可求出x的值。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
∵$∠ A=100°$
∴$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 100° = 80°$
∵$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$
∴$∠ 2 = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ 4 = \frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ 2 + ∠ 4 = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×80° = 40°$
在含$x°$的三角形中，根据三角形内角和定理得：
$x° + ∠ 2 + ∠ 4 = 180°$
∴$x = 180 - 40 = 140$
【答案】
140
【知识点】
三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题型，解题的关键是合理运用角的等量关系，将未知角的和转化为与已知角相关的量，解题思路清晰，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
