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5.明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤。”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）。设总共有x两银子，根据题意，所列方程正确的是（
A.$7x - 4 = 9x - 8$
B.$\frac{x + 4}{7} = \frac{x - 8}{9}$
C.$7x + 4 = 9x + 8$
D.$\frac{x - 4}{7} = \frac{x + 8}{9}$
D
）A.$7x - 4 = 9x - 8$
B.$\frac{x + 4}{7} = \frac{x - 8}{9}$
C.$7x + 4 = 9x + 8$
D.$\frac{x - 4}{7} = \frac{x + 8}{9}$
答案
5.D
解析
【分析】
解题的核心是抓住不变量：分银的人数固定不变。我们可以先完成单位换算，再用总银数x分别表示两种分银方式下的人数，根据人数相等即可列出正确方程。第一步先换算单位：明代1斤=16两，所以半斤为8两；第二步表示第一种分法的人数：每人分7两剩4两，说明总银数减去多余的4两刚好够每人分7两，除以7就是人数；第三步表示第二种分法的人数：每人分9两少8两，说明总银数加上缺少的8两刚好够每人分9两，除以9就是人数；第四步让两个人数表达式相等即可得到方程。
【解析】
首先进行单位换算：明代1斤=16两，因此半斤=8两。
已知总共有x两银子，分银的人数是固定不变的：
1. 每人分7两剩余4两时，总银数减去多出来的4两刚好能让每人分7两，因此人数为$\frac{x-4}{7}$；
2. 每人分9两还差8两时，总银数加上缺少的8两刚好能让每人分9两，因此人数为$\frac{x+8}{9}$。
因为分银人数相等，所以可列方程：$\frac{x - 4}{7} = \frac{x + 8}{9}$。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用，等量关系确定，单位换算
【点评】
本题属于经典的盈亏类数学问题，解题关键是找准题目中的不变量建立等量关系，同时要注意题干给出的特殊单位换算规则，避免混淆盈亏对应的加减关系导致列式错误。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住不变量：分银的人数固定不变。我们可以先完成单位换算，再用总银数x分别表示两种分银方式下的人数，根据人数相等即可列出正确方程。第一步先换算单位：明代1斤=16两，所以半斤为8两；第二步表示第一种分法的人数：每人分7两剩4两，说明总银数减去多余的4两刚好够每人分7两，除以7就是人数；第三步表示第二种分法的人数：每人分9两少8两，说明总银数加上缺少的8两刚好够每人分9两，除以9就是人数；第四步让两个人数表达式相等即可得到方程。
【解析】
首先进行单位换算：明代1斤=16两，因此半斤=8两。
已知总共有x两银子，分银的人数是固定不变的：
1. 每人分7两剩余4两时，总银数减去多出来的4两刚好能让每人分7两，因此人数为$\frac{x-4}{7}$；
2. 每人分9两还差8两时，总银数加上缺少的8两刚好能让每人分9两，因此人数为$\frac{x+8}{9}$。
因为分银人数相等，所以可列方程：$\frac{x - 4}{7} = \frac{x + 8}{9}$。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用，等量关系确定，单位换算
【点评】
本题属于经典的盈亏类数学问题，解题关键是找准题目中的不变量建立等量关系，同时要注意题干给出的特殊单位换算规则，避免混淆盈亏对应的加减关系导致列式错误。
【难度系数】
0.7
6. 一列匀速行驶的列车在行进途中经过一个长1800米的隧道，已知列车从进入隧道到离开隧道共需35秒时间.在这一过程中，隧道顶部一盏固定照明灯垂直照射列车达5秒时间，求该列车行驶的速度和列车的长度.
答案
6.60米/秒 300米
解析
【分析】
这是一道匀速行驶的行程类应用题，解题时先明确两个核心过程的路程含义：①隧道顶部固定灯照射列车的5秒内，列车行驶的路程恰好等于列车自身的长度；②列车从进入隧道到离开隧道的35秒内，行驶的总路程等于隧道长度加列车自身长度。由于列车匀速行驶速度不变，我们可以设速度为未知数，以路程的等量关系列一元一次方程求解。
【解析】
解：设该列车行驶的速度为$ x $米/秒。
根据灯光照射列车的过程可知，列车的长度为$ 5x $米。
列车过隧道的总路程 = 隧道长 + 列车长，且总路程也等于速度×过隧道总时间，据此列方程：
$ 1800 + 5x = 35x $
移项得：$ 35x - 5x = 1800 $
合并同类项得：$ 30x = 1800 $
系数化为1得：$ x = 60 $
则列车的长度为：$ 5x = 5 × 60 = 300 $（米）
【答案】
60米/秒，300米
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；路程=速度×时间
【点评】
本题是行程应用题的经典题型，解题的关键是准确区分两个过程对应的行驶路程，找到合适的等量关系列方程，难度不大，只要理清路程的组成即可正确求解。
【难度系数】
0.7
这是一道匀速行驶的行程类应用题，解题时先明确两个核心过程的路程含义：①隧道顶部固定灯照射列车的5秒内，列车行驶的路程恰好等于列车自身的长度；②列车从进入隧道到离开隧道的35秒内，行驶的总路程等于隧道长度加列车自身长度。由于列车匀速行驶速度不变，我们可以设速度为未知数，以路程的等量关系列一元一次方程求解。
【解析】
解：设该列车行驶的速度为$ x $米/秒。
根据灯光照射列车的过程可知，列车的长度为$ 5x $米。
列车过隧道的总路程 = 隧道长 + 列车长，且总路程也等于速度×过隧道总时间，据此列方程：
$ 1800 + 5x = 35x $
移项得：$ 35x - 5x = 1800 $
合并同类项得：$ 30x = 1800 $
系数化为1得：$ x = 60 $
则列车的长度为：$ 5x = 5 × 60 = 300 $（米）
【答案】
60米/秒，300米
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题；路程=速度×时间
【点评】
本题是行程应用题的经典题型，解题的关键是准确区分两个过程对应的行驶路程，找到合适的等量关系列方程，难度不大，只要理清路程的组成即可正确求解。
【难度系数】
0.7
★7.如图,将一条长为60cm的卷尺铺平后折叠,使得卷尺自身的一部分重合(折叠后刻度60仍可见),然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀,此时卷尺分为了三段.若这三段的长度由短到长的比为1:2:3,求折痕对应的刻度.
答案
7.20或25
解析
【分析】解题时先根据三段长度比求出三段的实际长度，再结合折叠的性质：折叠后重合的两个点（即剪开后的两个断点）关于折痕对称，折痕为两个断点的中点。结合“折叠后刻度60仍可见”可知折痕刻度小于30，分两种情况讨论断点的排列，即可求出折痕对应的刻度。
【解析】
解：已知三段长度由短到长的比为$1:2:3$，总长度为$60\mathrm{cm}$，
总份数为 $1+2+3=6$，每份长度为 $60÷6=10\ \mathrm{cm}$，
因此三段长度分别为 $10\ \mathrm{cm}$、$20\ \mathrm{cm}$、$30\ \mathrm{cm}$。
设剪开后两个断点对应的刻度为$m$、$n$（$m＜n$），根据折叠的性质，折痕为$m$和$n$的中点，即折痕刻度$x=\frac{m+n}{2}$。
由“折叠后刻度60仍可见”可知，折叠时是将左侧部分向右折叠，60未被遮挡，因此折痕$x＜30$，即$m+n＜60$，分两种情况讨论：
1. 最右侧靠近60的段长为$30\mathrm{cm}$：
则$60-n=30$，解得$n=30$，剩余两段长度为$10\mathrm{cm}$和$20\mathrm{cm}$，即$m=10$，$n-m=20$，
此时折痕$x=\frac{10+30}{2}=20\ \mathrm{cm}$。
2. 最右侧靠近60的段长为$20\mathrm{cm}$：
则$60-n=20$，解得$n=40$，剩余两段长度为$10\mathrm{cm}$和$30\mathrm{cm}$，即$m=10$，$n-m=30$，
此时折痕$x=\frac{10+40}{2}=25\ \mathrm{cm}$。
若最右侧段长为$10\mathrm{cm}$，可得$n=50$，此时$m+n≥20+50=70＞60$，折痕$x≥35＞30$，不符合60可见的条件，舍去。
综上，折痕对应的刻度为20或25。
【答案】20或25
【知识点】比例的应用，折叠的性质，分类讨论思想
【点评】本题需要结合折叠的对称性和分类讨论思想求解，解题关键是先根据比例求出三段的实际长度，再结合题干的限制条件筛选符合要求的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】0.6
【解析】
解：已知三段长度由短到长的比为$1:2:3$，总长度为$60\mathrm{cm}$，
总份数为 $1+2+3=6$，每份长度为 $60÷6=10\ \mathrm{cm}$，
因此三段长度分别为 $10\ \mathrm{cm}$、$20\ \mathrm{cm}$、$30\ \mathrm{cm}$。
设剪开后两个断点对应的刻度为$m$、$n$（$m＜n$），根据折叠的性质，折痕为$m$和$n$的中点，即折痕刻度$x=\frac{m+n}{2}$。
由“折叠后刻度60仍可见”可知，折叠时是将左侧部分向右折叠，60未被遮挡，因此折痕$x＜30$，即$m+n＜60$，分两种情况讨论：
1. 最右侧靠近60的段长为$30\mathrm{cm}$：
则$60-n=30$，解得$n=30$，剩余两段长度为$10\mathrm{cm}$和$20\mathrm{cm}$，即$m=10$，$n-m=20$，
此时折痕$x=\frac{10+30}{2}=20\ \mathrm{cm}$。
2. 最右侧靠近60的段长为$20\mathrm{cm}$：
则$60-n=20$，解得$n=40$，剩余两段长度为$10\mathrm{cm}$和$30\mathrm{cm}$，即$m=10$，$n-m=30$，
此时折痕$x=\frac{10+40}{2}=25\ \mathrm{cm}$。
若最右侧段长为$10\mathrm{cm}$，可得$n=50$，此时$m+n≥20+50=70＞60$，折痕$x≥35＞30$，不符合60可见的条件，舍去。
综上，折痕对应的刻度为20或25。
【答案】20或25
【知识点】比例的应用，折叠的性质，分类讨论思想
【点评】本题需要结合折叠的对称性和分类讨论思想求解，解题关键是先根据比例求出三段的实际长度，再结合题干的限制条件筛选符合要求的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】0.6
