6. 如图6-1-10，有两个可以自由转动的转盘。
(1)转动A转盘，转盘停止转动后指针指向蓝色区域的概率是；
(2)请你在图中设计B转盘，使得游戏者同时转动两个转盘，转盘停止转动后，指针指向两个转盘的区域能配成紫色(红色和蓝色在一起就能配成紫色)的概率是$\frac{1}{2}$，并画树状图或列表验证你的设计。

6. 解:(1)$\frac{2}{3}$
(2)B转盘的设计如：
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中能配成紫色的有3种，
所以P(能配成紫色)=$\frac{1}{2}$。
(答案不唯一，合理即可)

【分析】
(1) 几何概率问题中，指针指向某区域的概率等于该区域的角度占整个圆周角的比例。先计算A转盘蓝色区域的角度，再除以圆周角360°即可得到对应概率。
(2) 首先明确配成紫色的条件：两个转盘指针一个指向红色、一个指向蓝色。先得出A转盘指向红色的概率为$\frac{1}{3}$、指向蓝色的概率为$\frac{2}{3}$，设B转盘指向红色的概率为$p$，则指向蓝色的概率为$1-p$，根据配紫概率为$\frac{1}{2}$列方程求解可得$p=\frac{1}{2}$，因此只需将B转盘平均分为2份，分别涂红色和蓝色即可，最后通过列表法验证概率是否符合要求。
【解析】
(1) A转盘圆周角为360°，红色区域为120°，因此蓝色区域角度为$360°-120°=240°$。
指针指向蓝色区域的概率为$\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$。
(2) 设计方案：将B转盘平均分成两个圆心角为180°的扇形，一半涂红色，一半涂蓝色，如。
验证过程：将A转盘的蓝色区域分为2个等面积的扇形，即A转盘共有3种等可能的结果：红、蓝、蓝；B转盘共有2种等可能的结果：红、蓝，列表如下：
| A\B | 红 | 蓝 |
| :----: | :----: | :----: |
| 红 | 不配紫 | 配紫 |
| 蓝 | 配紫 | 不配紫 |
| 蓝 | 配紫 | 不配紫 |
由表可知，共有6种等可能的结果，其中能配成紫色的有3种，因此$P(\mathrm{配成紫色})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，符合要求。（设计方案不唯一，合理即可）
【答案】
(1)$\frac{2}{3}$
(2)B转盘的设计如，验证如上（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
几何概率计算；列表法求概率；概率的应用
【点评】
本题将概率计算和方案设计结合，既考查了几何概率的基本计算方法，也要求能根据目标概率反推设计思路，同时需要掌握列表或树状图验证概率的方法，有助于提升概率知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7

7. 某学校游戏节活动中，设计了一个有奖转盘游戏，如图6-1-11，A转盘被分成三个面积相等的扇形，B转盘被分成四个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数，先转动A转盘，记下指针所指区域内的数，再转动B转盘，记下指针所指区域内的数（指针指在边界线上时重转），然后将两次记录的数相乘。
（1）请利用画树状图或列表的方法，求出乘积为负数的概率；
（2）如果乘积是无理数时获得一等奖，那么获得一等奖的概率是多少？

7. 解:列表如下：
所有等可能的结果有12种。
(1)乘积为负数的结果有4种，
则P(乘积结果为负数)=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$。
(2)乘积是无理数的结果有2种，
则P(乘积为无理数)=$\frac{2}{12}$=$\frac{1}{6}$。
故获得一等奖的概率是$\frac{1}{6}$。

【分析】
本题是两步试验的概率计算问题，解题思路如下：①首先明确A转盘有3个等可能的结果：0、1、-1，B转盘有4个等可能的结果：$\frac{1}{2}$、1.5、-3、$-\sqrt{2}$，总共有$3×4=12$种等可能的组合；②通过列表法枚举所有组合的乘积；③分别找出乘积为负数、乘积为无理数的结果数；④根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$计算对应概率。注意0和任何数相乘都为0，判断时要优先排除该类特殊情况避免错算。
【解析】
列表展示所有等可能的乘积结果如下：
| A\B | $\frac{1}{2}$ | $1.5$ | $-3$ | $-\sqrt{2}$ |
|-------|---------------|-------|------|-------------|
| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $\frac{1}{2}$ | $1.5$ | $-3$ | $-\sqrt{2}$ |
| $-1$ | $-\frac{1}{2}$| $-1.5$| $3$ | $\sqrt{2}$ |
所有等可能的结果共有12种。
(1) 观察表格，乘积为负数的结果有：$1×(-3)$、$1×(-\sqrt{2})$、$-1×\frac{1}{2}$、$-1×1.5$，共4种，
则$P(\mathrm{乘积为负数})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
(2) 观察表格，乘积是无理数的结果有：$1×(-\sqrt{2})$、$-1×(-\sqrt{2})$，共2种，
则$P(\mathrm{获得一等奖})=P(\mathrm{乘积为无理数})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
（1）$\boxed{\dfrac{1}{3}}$；（2）$\boxed{\dfrac{1}{6}}$
【知识点】
列表法求概率；正负数乘法法则；无理数的概念
【点评】
本题结合趣味转盘场景考查概率计算，需要学生熟练掌握枚举法列举所有等可能结果，同时能准确判断数的正负性和是否为无理数，整体难度不高，解题时需细心避免漏算、错算符合条件的结果。
【难度系数】
0.7