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1. 图(1)(2)中各有两个三角形，其部分边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB，CD交于点O。对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是()。
A.都相似
B.都不相似
C.只有(1)相似
D.只有(2)相似
A.都相似
B.都不相似
C.只有(1)相似
D.只有(2)相似
答案
A
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，我们分别对两组三角形结合已知条件用相似三角形判定定理验证：首先处理图(1)，先根据三角形内角和算出第一个三角形的未知角，对比两个三角形的内角，看是否满足两角对应相等；再处理图(2)，先找对顶角得到相等的夹角，再计算两组对应边的比值，看是否满足两边对应成比例且夹角相等，最终即可判断两个图的三角形是否相似。
【解析】
1. 分析图(1)的两个三角形：
左图三角形已知两个内角为35°、75°，根据三角形内角和为180°，可得第三个角为$180°-35°-75°=70°$。
右图三角形已知两个内角为70°、75°，则两个三角形的三个内角分别对应相等（35°、70°、75°），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可知图(1)的两个三角形相似。
2. 分析图(2)的两个三角形：
AB与CD交于点O，根据对顶角相等，可得$∠ AOC=∠ DOB$。
计算对应边的比值：$\frac{AO}{DO}=\frac{4}{3}$，$\frac{CO}{BO}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，即两组对应边成比例，且夹角为对顶角相等，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可知图(2)的两个三角形相似。
综上，两组三角形都相似，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，需要结合已知的角度、边长条件灵活选择判定方法，解题时要注意找准对应边和对应角，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否相似，我们分别对两组三角形结合已知条件用相似三角形判定定理验证：首先处理图(1)，先根据三角形内角和算出第一个三角形的未知角，对比两个三角形的内角，看是否满足两角对应相等；再处理图(2)，先找对顶角得到相等的夹角，再计算两组对应边的比值，看是否满足两边对应成比例且夹角相等，最终即可判断两个图的三角形是否相似。
【解析】
1. 分析图(1)的两个三角形：
左图三角形已知两个内角为35°、75°，根据三角形内角和为180°，可得第三个角为$180°-35°-75°=70°$。
右图三角形已知两个内角为70°、75°，则两个三角形的三个内角分别对应相等（35°、70°、75°），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可知图(1)的两个三角形相似。
2. 分析图(2)的两个三角形：
AB与CD交于点O，根据对顶角相等，可得$∠ AOC=∠ DOB$。
计算对应边的比值：$\frac{AO}{DO}=\frac{4}{3}$，$\frac{CO}{BO}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，即两组对应边成比例，且夹角为对顶角相等，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可知图(2)的两个三角形相似。
综上，两组三角形都相似，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，需要结合已知的角度、边长条件灵活选择判定方法，解题时要注意找准对应边和对应角，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在正方形$ABCD$中,$E$为边$BC$的中点,$F$是边$CD$上一点,且$AE ⊥ EF$,则下列结论正确的是().
A.$∠ BAE = 30°$
B.$CF = \dfrac{1}{3}AB$
C.$\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{EF}{CF}$
D.$AB = 4CF$
A.$∠ BAE = 30°$
B.$CF = \dfrac{1}{3}AB$
C.$\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{EF}{CF}$
D.$AB = 4CF$
答案
D
解析
【分析】
本题是正方形背景下的几何结论判断题，解题核心是利用角的互余关系证明三角形相似，再结合相似三角形的性质计算各线段关系，逐一验证选项：第一步先根据正方形内角为直角、AE⊥EF的条件，推导得到两组角相等，证明△ABE与△ECF相似；第二步结合E是BC中点的条件，得到相似比，用设边长的方法表示出各线段长度，再分别判断四个选项是否正确。
【解析】
设正方形ABCD的边长为2a，则AB=BC=CD=2a，
∵E是BC中点，
∴BE=EC=a。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE + ∠AEB = 90°，
又
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB + ∠FEC = 90°，
∴∠BAE = ∠FEC，
∴△ABE∽△ECF（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得：$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$，
代入AB=2a，EC=a，BE=a，得$\frac{2a}{a}=\frac{a}{CF}$，解得$CF=\frac{a}{2}$。
接下来逐一判断选项：
A. 在Rt△ABE中，$\tan∠ BAE=\frac{BE}{AB}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{3}$，故∠BAE≠30°，A错误；
B. $CF=\frac{a}{2}$，$AB=2a$，故$CF=\frac{1}{4}AB$，B错误；
C. 由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$，故$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}a}{2a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$；$EF=\sqrt{EC^2+CF^2}=\sqrt{a^2+(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}a}{2}$，故$\frac{EF}{CF}=\frac{\frac{\sqrt{5}a}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{5}$，二者不相等，C错误；
D. $AB=2a$，$CF=\frac{a}{2}$，故$AB=4CF$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题解题的关键是通过互余的角相等证明三角形相似，结合相似三角形的性质得到线段比例关系，再通过设参数表示线段长度即可轻松判断各选项正误，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题是正方形背景下的几何结论判断题，解题核心是利用角的互余关系证明三角形相似，再结合相似三角形的性质计算各线段关系，逐一验证选项：第一步先根据正方形内角为直角、AE⊥EF的条件，推导得到两组角相等，证明△ABE与△ECF相似；第二步结合E是BC中点的条件，得到相似比，用设边长的方法表示出各线段长度，再分别判断四个选项是否正确。
【解析】
设正方形ABCD的边长为2a，则AB=BC=CD=2a，
∵E是BC中点，
∴BE=EC=a。
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE + ∠AEB = 90°，
又
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB + ∠FEC = 90°，
∴∠BAE = ∠FEC，
∴△ABE∽△ECF（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得：$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$，
代入AB=2a，EC=a，BE=a，得$\frac{2a}{a}=\frac{a}{CF}$，解得$CF=\frac{a}{2}$。
接下来逐一判断选项：
A. 在Rt△ABE中，$\tan∠ BAE=\frac{BE}{AB}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}≠\frac{\sqrt{3}}{3}$，故∠BAE≠30°，A错误；
B. $CF=\frac{a}{2}$，$AB=2a$，故$CF=\frac{1}{4}AB$，B错误；
C. 由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}a$，故$\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{5}a}{2a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$；$EF=\sqrt{EC^2+CF^2}=\sqrt{a^2+(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}a}{2}$，故$\frac{EF}{CF}=\frac{\frac{\sqrt{5}a}{2}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{5}$，二者不相等，C错误；
D. $AB=2a$，$CF=\frac{a}{2}$，故$AB=4CF$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题解题的关键是通过互余的角相等证明三角形相似，结合相似三角形的性质得到线段比例关系，再通过设参数表示线段长度即可轻松判断各选项正误，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=3$,$BC=4$,以点$B$为圆心,适当长为半径画弧,分别交$BC$,$BD$于点$E$,$F$,再分别以点$E$,$F$为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧交于点$P$,作射线$BP$,过点$C$作$BP$的垂线分别交$BD$,$AD$于点$M$,$N$,则$CN$的长为().
A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{11}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{11}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
答案
A
解析
【分析】
解题时第一步先利用矩形的性质和勾股定理求出对角线BD的长度；第二步根据尺规作图的特征识别出BP是∠DBC的角平分线，结合CN⊥BP的条件可推出△BMC为等腰三角形，得到BM=BC，进而算出DM的长度；第三步由AD//BC可判定△NDM和△CBM相似，根据相似比求出DN的长度；最后在Rt△CDN中用勾股定理即可算出CN的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4
∴ CD=AB=3，AD=BC=4，∠BCD=∠CDA=90°
由勾股定理得 $BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
由作图可知，BP是∠DBC的角平分线，又
∵CN⊥BP
∴ △BMC为等腰三角形，$BM=BC=4$
∴ $DM=BD-BM=5-4=1$
∵ AD//BC
∴ ∠DNM=∠BCM，∠NDM=∠CBM
∴ △NDM∽△CBM
∴ $\frac{DN}{BC}=\frac{DM}{BM}=\frac{1}{4}$
代入BC=4，解得$DN=1$
在Rt△CDN中，由勾股定理得 $CN=\sqrt{CD^2+DN^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
【答案】
A
【知识点】
角平分线的尺规作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合了尺规作图识别、矩形性质、相似三角形及勾股定理的应用，解题的突破口是正确识别角平分线，结合垂直条件得到等腰三角形，再借助相似三角形的性质求出未知线段长度。
【难度系数】
0.6
解题时第一步先利用矩形的性质和勾股定理求出对角线BD的长度；第二步根据尺规作图的特征识别出BP是∠DBC的角平分线，结合CN⊥BP的条件可推出△BMC为等腰三角形，得到BM=BC，进而算出DM的长度；第三步由AD//BC可判定△NDM和△CBM相似，根据相似比求出DN的长度；最后在Rt△CDN中用勾股定理即可算出CN的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4
∴ CD=AB=3，AD=BC=4，∠BCD=∠CDA=90°
由勾股定理得 $BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
由作图可知，BP是∠DBC的角平分线，又
∵CN⊥BP
∴ △BMC为等腰三角形，$BM=BC=4$
∴ $DM=BD-BM=5-4=1$
∵ AD//BC
∴ ∠DNM=∠BCM，∠NDM=∠CBM
∴ △NDM∽△CBM
∴ $\frac{DN}{BC}=\frac{DM}{BM}=\frac{1}{4}$
代入BC=4，解得$DN=1$
在Rt△CDN中，由勾股定理得 $CN=\sqrt{CD^2+DN^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
【答案】
A
【知识点】
角平分线的尺规作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合了尺规作图识别、矩形性质、相似三角形及勾股定理的应用，解题的突破口是正确识别角平分线，结合垂直条件得到等腰三角形，再借助相似三角形的性质求出未知线段长度。
【难度系数】
0.6
二、填空题
4. 下列三角形中相似的是：(1)与相似，(2)与相似，(3)与相似.
(1) 30°，105°
(2) 2.5，30°，4.5
(3) 4，3，2
(4) 2.7，30°，1.5
(5) 8，12，16
(7) 3，4.5，6
4. 下列三角形中相似的是：(1)与相似，(2)与相似，(3)与相似.
(1) 30°，105°
(2) 2.5，30°，4.5
(3) 4，3，2
(4) 2.7，30°，1.5
(5) 8，12，16
(7) 3，4.5，6
答案
(6)；(4)；(5)(7)
解析
【分析】
解题时先回忆相似三角形的三类常用判定定理：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似。再根据每个三角形的已知条件选择对应判定方法匹配：
1. 三角形(1)已知两个内角，先通过三角形内角和算出第三个角，再找有两个对应角相等的三角形即可。
2. 三角形(2)已知两边及夹角，找夹角相同、且两组对应边比值相等的三角形即可。
3. 三角形(3)已知三边长度，将各候选三角形的三边按从小到大排序，计算对应边的比值，找三边比值全部相等的三角形即可。
【解析】
1. 分析三角形(1)：
根据三角形内角和为180°，可得(1)的第三个角为$180°-30°-105°=45°$，即(1)的三个内角为$30°、45°、105°$。
观察三角形(6)，已知两个内角为$45°、30°$，第三个角也为$105°$，两角分别对应相等，因此(1)与(6)相似。
2. 分析三角形(2)：
(2)的两边长为2.5、4.5，夹角为$30°$；三角形(4)的两边长为1.5、2.7，夹角为$30°$。
计算边长比：$\frac{2.5}{1.5}=\frac{5}{3}$，$\frac{4.5}{2.7}=\frac{5}{3}$，两边对应成比例且夹角相等，因此(2)与(4)相似。
3. 分析三角形(3)：
将(3)的三边从小到大排序为2、3、4。
三角形(5)的三边从小到大排序为8、12、16，对应边比值：$\frac{2}{8}=\frac{3}{12}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$，三边对应成比例，故(3)与(5)相似。
三角形(7)的三边从小到大排序为3、4.5、6，对应边比值：$\frac{2}{3}=\frac{3}{4.5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，三边对应成比例，故(3)与(7)相似。
综上，(3)与(5)(7)相似。
【答案】
(6)；(4)；(5)(7)
【知识点】
相似三角形的判定、三角形内角和定理、比例化简
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时要根据已知条件选择合适的判定方法，需注意使用“两边及夹角”判定时，角必须是两组对应边的夹角，使用“三边成比例”判定时，要先将三边按统一顺序排序再计算比值。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆相似三角形的三类常用判定定理：①两角分别相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似。再根据每个三角形的已知条件选择对应判定方法匹配：
1. 三角形(1)已知两个内角，先通过三角形内角和算出第三个角，再找有两个对应角相等的三角形即可。
2. 三角形(2)已知两边及夹角，找夹角相同、且两组对应边比值相等的三角形即可。
3. 三角形(3)已知三边长度，将各候选三角形的三边按从小到大排序，计算对应边的比值，找三边比值全部相等的三角形即可。
【解析】
1. 分析三角形(1)：
根据三角形内角和为180°，可得(1)的第三个角为$180°-30°-105°=45°$，即(1)的三个内角为$30°、45°、105°$。
观察三角形(6)，已知两个内角为$45°、30°$，第三个角也为$105°$，两角分别对应相等，因此(1)与(6)相似。
2. 分析三角形(2)：
(2)的两边长为2.5、4.5，夹角为$30°$；三角形(4)的两边长为1.5、2.7，夹角为$30°$。
计算边长比：$\frac{2.5}{1.5}=\frac{5}{3}$，$\frac{4.5}{2.7}=\frac{5}{3}$，两边对应成比例且夹角相等，因此(2)与(4)相似。
3. 分析三角形(3)：
将(3)的三边从小到大排序为2、3、4。
三角形(5)的三边从小到大排序为8、12、16，对应边比值：$\frac{2}{8}=\frac{3}{12}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$，三边对应成比例，故(3)与(5)相似。
三角形(7)的三边从小到大排序为3、4.5、6，对应边比值：$\frac{2}{3}=\frac{3}{4.5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，三边对应成比例，故(3)与(7)相似。
综上，(3)与(5)(7)相似。
【答案】
(6)；(4)；(5)(7)
【知识点】
相似三角形的判定、三角形内角和定理、比例化简
【点评】
本题考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时要根据已知条件选择合适的判定方法，需注意使用“两边及夹角”判定时，角必须是两组对应边的夹角，使用“三边成比例”判定时，要先将三边按统一顺序排序再计算比值。
【难度系数】
0.7
