9.(甘肃省中考改编)如图，$∠ AEB=∠ CED$，$ED=EC$，$∠ ADE=∠ C$，若四边形ABDE和$△ BDE$的周长分别是21和14，则AB的长为（）

A.21
B.14
C.10
D.7

9.D

【分析】
解题时先从已知的角相等、边相等条件入手，优先考虑证明三角形全等。首先由∠AEB=∠CED，两边同时加∠BED可推出∠AED=∠BEC，结合ED=EC、∠ADE=∠C，用ASA判定定理即可证明△AED≌△BEC，得到对应边AE=BE。再结合两个图形的周长条件，将四边形ABDE的周长减去△BDE的周长，就能直接求出AB的长度。
【解析】
1. 推导相等的角
已知$∠ AEB=∠ CED$，等式两边同时加$∠ BED$可得：
$∠ AEB + ∠ BED = ∠ CED + ∠ BED$，即$∠ AED=∠ BEC$
2. 证明三角形全等
在$△ AED$和$△ BEC$中：
$\begin{cases}∠ ADE=∠ C \\ED=EC \\∠ AED=∠ BEC\end{cases}$
$\therefore △ AED ≌ △ BEC (\mathrm{ASA})$
根据全等三角形的性质可得：$AE=BE$
3. 结合周长计算AB的长
由题意可知：
四边形$ABDE$的周长：$AB + BD + DE + AE = 21$
$△ BDE$的周长：$BD + DE + BE = 14$
因为$AE=BE$，将两式相减：
$AB + BD + DE + AE - (BD + DE + BE) = 21 - 14$
化简后得$AB=7$
【答案】D
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形的性质；周长计算
【点评】
本题是全等三角形与周长计算结合的基础题，解题关键是通过角的和差得到全等所需的等角条件，再利用全等的性质转化相等边，结合周长的差简化计算，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7

10.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点B,C均在坐标轴上,点A在第一象限,若∠ACB=90°,AC=BC,则点A的坐标是.

10.$(2,6)$

【分析】
要求点A的坐标，可通过构造全等三角形转化已知线段长度求解。已知AC=BC、∠ACB=90°，过点A作AD⊥y轴于点D，利用直角三角形两锐角互余的性质可得一组相等的角，结合AC=BC可证明△ADC与△COB全等，再根据全等三角形对应边相等求出AD、OD的长度，即可得到点A的坐标。
【解析】
过点A作AD⊥y轴，垂足为D，则∠ADC=∠COB=90°。
在Rt△ADC中，$∠ CAD + ∠ ACD = 90°$，
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ ACD + ∠ BCO = 180° - 90°=90°$，
∴$∠ CAD = ∠ BCO$。
在△ADC和△COB中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ COB \\∠ CAD=∠ BCO \\AC=BC\end{cases}$
∴$△ ADC ≌ △ COB$（AAS）。
由图可知$C(0,2)$，$B(4,0)$，
∴$OC=2$，$OB=4$。
根据全等三角形对应边相等，得$AD=OC=2$，$CD=OB=4$，
∴$OD=OC + CD=2 + 4=6$。
∵点A在第一象限，横坐标为AD的长度2，纵坐标为OD的长度6，
∴点A的坐标为$(2,6)$。
【答案】
$(2,6)$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系中点的坐标，直角三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的典型习题，解题关键是合理作辅助线构造全等三角形，将已知线段长度转化为求点坐标所需的线段长度，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6

11.如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AE//DF,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求证:AB=CD;
(2)若AB=CF,∠B=40°,则∠D=.

11. (1)证明: $\because AE// DF,\therefore ∠ AEB=∠ CFD$. 在 $△ ABE$ 和 $△ DCF$ 中,
$\begin{cases}∠ A=∠ D,\\AE=DF,\\∠ AEB=∠ DFC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ DCF,(ASA),\therefore AB=CD.$
(2)$70°$

【分析】
(1)要证明AB=CD，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先由AE//DF可得到一组内错角相等，结合题目给出的∠A=∠D、AE=DF的条件，刚好符合ASA全等判定的要求，证明△ABE和△DCF全等即可得到AB=CD的结论。
(2)借助第一问全等三角形的性质，可得∠C=∠B、AB=CD，再结合AB=CF的条件可推出CD=CF，即△CDF为等腰三角形，已知∠B的度数即可得到∠C的度数，最后利用三角形内角和定理计算出∠D的度数。
【解析】
(1)证明：$\because AE// DF$，$\therefore ∠ AEB=∠ CFD$。
在 $△ ABE$ 和 $△ DCF$ 中，
$\begin{cases}∠ A=∠ D,\\AE=DF,\\∠ AEB=∠ DFC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ DCF\ (ASA)$，
$\therefore AB=CD$。
(2)解：由(1)中$△ ABE≌△ DCF$，可得$∠ C=∠ B=40°$，$AB=CD$。
$\because AB=CF$，$\therefore CD=CF$，
$\therefore ∠ D=∠ CFD$。
在$△ CDF$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ C+∠ D+∠ CFD=180°$，
代入$∠ C=40°$，$∠ D=∠ CFD$，得$40°+2∠ D=180°$，
解得$∠ D=70°$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$70°$
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，主要考察全等三角形的判定及性质的应用，同时结合了平行线、等腰三角形、三角形内角和的相关知识，解题的关键是准确找到全等的判定条件，结合已知条件逐步推导。
【难度系数】
0.7

12.（新考法）如图，已知$△ ABC$和$△ DEF$，点$E$，$F$在直线$BC$上，$AB=DF$，$∠ A=∠ D$，$∠ B=∠ F$。如图①，易证：$BC+BE=BF$。请解答下列问题：
（1）如图②，图③，请猜想$BC$，$BE$，$BF$之间的数量关系，并直接写出猜想结论；
（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明。

12. (1)解:图②:$BC+BE=BF$,图③:$BE-BC=BF$.
(2)图②:证明: $\because ∠ A = ∠ D, AB = DF, ∠ B = ∠ F,\therefore △ ABC≌△ DFE.(ASA) \therefore BC=EF. \therefore BC+BE=EF+BE=BF.$
图③:证明: $\because ∠ A = ∠ D, AB = DF, ∠ ABC=∠ DFE,\therefore △ ABC≌△ DFE.(ASA) \therefore BC=EF. \therefore BE-BC=BE-EF=BF.$

【分析】
解决本题的核心思路是先通过已知条件证明三角形全等，得到等线段后再结合图形的线段位置关系推导结论。第一步，先梳理已知全等条件：题目给出∠A=∠D，AB=DF，∠B=∠F，刚好符合ASA全等判定的要求，可证△ABC和△DFE全等，得到对应边BC=EF；第二步，结合不同图形中点E、F在直线BC上的位置，利用线段的和差关系，将EF替换为BC，即可推导出BC、BE、BF的数量关系。
【解析】
(1) 结合全等性质与线段和差关系可猜想：
图②：$BC+BE=BF$；
图③：$BE-BC=BF$。
(2) 选择图②的结论证明：
$\because ∠ A = ∠ D$，$AB = DF$，$∠ B = ∠ F$，
$\therefore △ ABC ≌ △ DFE \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore BC = EF$，
又$\because BF = BE + EF$，
$\therefore BC + BE = EF + BE = BF$。
（若选择图③的结论证明：
$\because ∠ A = ∠ D$，$AB = DF$，$∠ ABC = ∠ DFE$，
$\therefore △ ABC ≌ △ DFE \ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore BC = EF$，
又$\because BE = BF + EF$，
$\therefore BE - BC = BE - EF = BF$。）
【答案】
(1) 图②：$BC+BE=BF$，图③：$BE-BC=BF$；
(2) 证明过程见上述解析。
【知识点】
ASA全等判定，全等三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是典型的几何探究题，需要结合图形位置分类讨论得到对应结论，解题的关键是先通过全等得到相等线段，再通过线段和差转化得到目标关系，有助于培养图形分析与逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

13.【核心素养·应用意识】如图，小强在河的一边，要测河面的一只船B与对岸码头A的距离，他的做法如下：
①在岸边确定一点C，使C与A，B在同一直线上；
②在AC的垂直方向画线段CD，取其中点O；
③画$DF⊥ CD$，使F，O，A在同一直线上；
④在线段DF上找一点E，使E与O，B共线。
他说测出的线段EF的长就是船B与码头A的距离。他的说法有道理吗？为什么？

13. 解:有道理. 理由如下: $\because DF⊥ CD, AC⊥ CD,\therefore ∠ C=∠ D=90°. \because O$ 为 CD 的中点, $\therefore CO = DO$. 在 $△ ACO$ 和 $△ FDO$ 中,
$\begin{cases}∠ C=∠ D,\\CO=DO,\\∠ AOC=∠ FOD,\end{cases}$
$\therefore △ ACO ≌ △ FDO,(ASA),\therefore AO=FO,∠ A=∠ F.$ 在 $△ ABO$ 和 $△ FEO$ 中,
$\begin{cases}∠ A=∠ F,\\AO=FO,\\∠ AOB=∠ FOE,\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ FEO,(ASA) \therefore AB=EF.$

【分析】
要判断小强的说法是否有道理，本质是证明AB=EF，可通过证明三角形全等来推导。首先根据已知的垂直关系可得一组直角相等，结合O是CD中点得到一组边相等，再加上对顶角相等，可先利用ASA证明△ACO≌△FDO，得到AO=FO、∠A=∠F；再利用这两个结论，结合对顶角相等，再次用ASA证明△ABO≌△FEO，即可得到对应边AB=EF，从而验证说法的合理性。
【解析】
他的说法有道理，理由如下：
$\because DF⊥CD$，$AC⊥CD$，$\therefore ∠C=∠D=90°$。
$\because O$为$CD$的中点，$\therefore CO=DO$。
在$△ ACO$和$△ FDO$中，
$\begin{cases}∠C=∠D,\\CO=DO,\\∠AOC=∠FOD,\end{cases}$
$\therefore △ ACO ≌ △ FDO$（ASA），
$\therefore AO=FO$，$∠A=∠F$。
在$△ ABO$和$△ FEO$中，
$\begin{cases}∠A=∠F,\\AO=FO,\\∠AOB=∠FOE,\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ FEO$（ASA），
$\therefore AB=EF$，即EF的长就是船B与码头A的距离。
【答案】
他的说法有道理，测出的线段EF的长就是船B与码头A的距离。
【知识点】
ASA判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，通过构造两次全等三角形，将不便直接测量的河面距离转化为岸边可直接测量的线段长度，解题的关键是结合已知条件逐步推导全等所需的对应边、对应角相等的条件。
【难度系数】
0.7