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8. 如图，一块草地是长 80 m、宽 60 m 的矩形，要在中间修筑两条互相垂直且宽为 x m 的小路，这时草坪面积为 y m².求 y 与 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围.
答案
8.解:依题意,把两条小路分别进行平移,长为 80 m 的路平移到上方,长为 60 m 的路平移到左方,
∴草坪就变成了长和宽分别为$(80-x)\mathrm{m}$和$(60-x)\mathrm{m}$的长方形,
∴$y=(80-x)(60-x)=x^2-140x+4\ 800$.
自变量 $x$ 的取值范围为 $0＜x＜60$.
∴草坪就变成了长和宽分别为$(80-x)\mathrm{m}$和$(60-x)\mathrm{m}$的长方形,
∴$y=(80-x)(60-x)=x^2-140x+4\ 800$.
自变量 $x$ 的取值范围为 $0＜x＜60$.
解析
【分析】
遇到含交叉道路的几何面积问题时，可通过平移道路的方法简化计算：将互相垂直的两条小路分别平移到矩形的边缘，剩余草坪会形成一个新的完整矩形，无需额外考虑两条小路重叠部分重复扣除的问题。先求出新矩形的长和宽，再根据矩形面积公式推导y与x的关系式，最后结合实际意义确定自变量的取值范围：小路宽度必须为正，且小于原矩形的较短边长，否则草坪不存在。
【解析】
解：将宽度为x的纵向小路平移到矩形左侧，宽度为x的横向小路平移到矩形上方，
此时剩余草坪为长为$(80-x)\mathrm{m}$、宽为$(60-x)\mathrm{m}$的矩形。
根据矩形面积公式可得：
$y=(80-x)(60-x)$
展开整理得：$y=x^2-140x+4800$
结合实际意义，小路宽度需大于0，且小于原矩形的宽，因此自变量x的取值范围为$0＜x＜60$。
【答案】
$y=x^2-140x+4800$，自变量$x$的取值范围是$0＜x＜60$
【知识点】
二次函数的应用，图形平移，矩形面积计算
【点评】
本题是几何实际问题与函数结合的基础题型，平移法是解决此类带重叠区域面积问题的常用技巧，能有效简化计算过程，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免出现不符合现实意义的取值。
【难度系数】
0.7
遇到含交叉道路的几何面积问题时，可通过平移道路的方法简化计算：将互相垂直的两条小路分别平移到矩形的边缘，剩余草坪会形成一个新的完整矩形，无需额外考虑两条小路重叠部分重复扣除的问题。先求出新矩形的长和宽，再根据矩形面积公式推导y与x的关系式，最后结合实际意义确定自变量的取值范围：小路宽度必须为正，且小于原矩形的较短边长，否则草坪不存在。
【解析】
解：将宽度为x的纵向小路平移到矩形左侧，宽度为x的横向小路平移到矩形上方，
此时剩余草坪为长为$(80-x)\mathrm{m}$、宽为$(60-x)\mathrm{m}$的矩形。
根据矩形面积公式可得：
$y=(80-x)(60-x)$
展开整理得：$y=x^2-140x+4800$
结合实际意义，小路宽度需大于0，且小于原矩形的宽，因此自变量x的取值范围为$0＜x＜60$。
【答案】
$y=x^2-140x+4800$，自变量$x$的取值范围是$0＜x＜60$
【知识点】
二次函数的应用，图形平移，矩形面积计算
【点评】
本题是几何实际问题与函数结合的基础题型，平移法是解决此类带重叠区域面积问题的常用技巧，能有效简化计算过程，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免出现不符合现实意义的取值。
【难度系数】
0.7
9. 写出下列各函数的表达式,指出是什么函数,并确定函数的自变量的取值范围.
(1)矩形的周长为 20 cm,它的面积 S(cm²)是它的一边长 a(cm)的函数;
(2)如图,最下面是一个长方形,上面是 10 个小正方形.如果长方形的长为 4 cm,宽为小正方形边长的一半,那么这个图形的总面积 S(cm²)是每个小正方形的边长 x(cm)的函数.
(1)矩形的周长为 20 cm,它的面积 S(cm²)是它的一边长 a(cm)的函数;
(2)如图,最下面是一个长方形,上面是 10 个小正方形.如果长方形的长为 4 cm,宽为小正方形边长的一半,那么这个图形的总面积 S(cm²)是每个小正方形的边长 x(cm)的函数.
答案
9.解:(1)
∵矩形的周长为 20 cm,它的一边长为 $a$ cm,
∴另一边长为$(10-a)$ cm,
∴$S=a(10-a)=-a^2+10a$,$S$ 是 $a$ 的二次函数.
∵$\begin{cases} a＞0, \\ 10-a＞0, \end{cases}$
∴$0＜a＜10$.
(2)由题意得 $S=4×\dfrac{1}{2}x+10x^2$,
即 $S=2x+10x^2$,$S$ 是 $x$ 的二次函数.
∵$\begin{cases} x＞0, \\ 4x＜4, \end{cases}$
∴$0＜x＜1$.
∵矩形的周长为 20 cm,它的一边长为 $a$ cm,
∴另一边长为$(10-a)$ cm,
∴$S=a(10-a)=-a^2+10a$,$S$ 是 $a$ 的二次函数.
∵$\begin{cases} a＞0, \\ 10-a＞0, \end{cases}$
∴$0＜a＜10$.
(2)由题意得 $S=4×\dfrac{1}{2}x+10x^2$,
即 $S=2x+10x^2$,$S$ 是 $x$ 的二次函数.
∵$\begin{cases} x＞0, \\ 4x＜4, \end{cases}$
∴$0＜x＜1$.
解析
【分析】
对于(1)：先利用矩形周长公式推导另一边长，再结合矩形面积公式列出面积与边长的函数关系式，根据矩形边长为正的要求确定自变量取值范围，最后依据函数形式判断函数类型。
对于(2)：明确图形总面积等于下方长方形面积加上方10个小正方形的总面积，分别计算两部分面积后相加得到函数关系式，再根据小正方形边长为正、最下层4个小正方形总长度小于长方形长的要求确定自变量取值范围，判断函数类型。
【解析】
(1)
∵矩形的周长为20 cm，它的一边长为$a$ cm，
∴另一边长为$\frac{20}{2}-a=(10-a)$ cm，
∴$S=a(10-a)=-a^2+10a$，$S$是$a$的二次函数。
∵边长为正数，即$\begin{cases} a＞0, \\ 10-a＞0, \end{cases}$
∴$0＜a＜10$。
(2) 由题意得，下方长方形的宽为$\frac{1}{2}x$ cm，
长方形面积为$4×\frac{1}{2}x=2x$ cm²，10个小正方形总面积为$10x^2$ cm²，
因此$S=2x+10x^2$，$S$是$x$的二次函数。
∵小正方形边长为正，且最下层4个小正方形总长度小于长方形的长，即$\begin{cases} x＞0, \\ 4x＜4, \end{cases}$
∴$0＜x＜1$。
【答案】
(1) $S=-a^2+10a$，是二次函数，自变量$a$的取值范围为$0＜a＜10$；
(2) $S=10x^2+2x$，是二次函数，自变量$x$的取值范围为$0＜x＜1$。
【知识点】
列函数关系式，二次函数的概念，自变量取值范围
【点评】
本题结合几何图形实际情境考查函数关系式的列法，解题关键是熟练掌握常见几何图形的面积计算公式，找准等量关系，同时注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，考查内容偏重基础。
【难度系数】
0.8
对于(1)：先利用矩形周长公式推导另一边长，再结合矩形面积公式列出面积与边长的函数关系式，根据矩形边长为正的要求确定自变量取值范围，最后依据函数形式判断函数类型。
对于(2)：明确图形总面积等于下方长方形面积加上方10个小正方形的总面积，分别计算两部分面积后相加得到函数关系式，再根据小正方形边长为正、最下层4个小正方形总长度小于长方形长的要求确定自变量取值范围，判断函数类型。
【解析】
(1)
∵矩形的周长为20 cm，它的一边长为$a$ cm，
∴另一边长为$\frac{20}{2}-a=(10-a)$ cm，
∴$S=a(10-a)=-a^2+10a$，$S$是$a$的二次函数。
∵边长为正数，即$\begin{cases} a＞0, \\ 10-a＞0, \end{cases}$
∴$0＜a＜10$。
(2) 由题意得，下方长方形的宽为$\frac{1}{2}x$ cm，
长方形面积为$4×\frac{1}{2}x=2x$ cm²，10个小正方形总面积为$10x^2$ cm²，
因此$S=2x+10x^2$，$S$是$x$的二次函数。
∵小正方形边长为正，且最下层4个小正方形总长度小于长方形的长，即$\begin{cases} x＞0, \\ 4x＜4, \end{cases}$
∴$0＜x＜1$。
【答案】
(1) $S=-a^2+10a$，是二次函数，自变量$a$的取值范围为$0＜a＜10$；
(2) $S=10x^2+2x$，是二次函数，自变量$x$的取值范围为$0＜x＜1$。
【知识点】
列函数关系式，二次函数的概念，自变量取值范围
【点评】
本题结合几何图形实际情境考查函数关系式的列法，解题关键是熟练掌握常见几何图形的面积计算公式，找准等量关系，同时注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义，考查内容偏重基础。
【难度系数】
0.8
10一经销商按市场价收购某种海鲜1 000斤放养在池塘内（假设放养期内每只海鲜的质量基本保持不变），当天市场价为每斤30元，据市场行情推测，此后该海鲜的市场价每天每斤可上涨1元，但是平均每天有10斤海鲜死去。假设死去的海鲜均于当天以每斤20元的价格全部售出。
（1）用含x的代数式填空：
①x天后每斤海鲜的市场价为
②x天后死去的海鲜共有
③x天后活着的海鲜还有
（2）如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售，加上已经售出的死去的海鲜，销售总额为$y_1$，写出$y_1$关于x的函数表达式；
（3）若每放养一天需支出各种费用共400元，写出经销商此次经销活动获得的总利润$y_2$关于放养天数x的函数表达式。
（1）用含x的代数式填空：
①x天后每斤海鲜的市场价为
$30+x$
元；②x天后死去的海鲜共有
$10x$
斤，死去的海鲜的销售总额为$200x$
元；③x天后活着的海鲜还有
$1\ 000-10x$
斤；（2）如果放养x天后将活着的海鲜一次性出售，加上已经售出的死去的海鲜，销售总额为$y_1$，写出$y_1$关于x的函数表达式；
（3）若每放养一天需支出各种费用共400元，写出经销商此次经销活动获得的总利润$y_2$关于放养天数x的函数表达式。
答案
10.解:(1)①$30+x$ ②$10x$ $200x$ ③$(1\ 000-10x)$
(2)根据题意可得 $y_1=(1\ 000-10x)(30+x)+200x=-10x^2+900x+30\ 000$.
(3)根据题意可得 $y_2=y_1-30\ 000-400x=-10x^2+500x$.
(2)根据题意可得 $y_1=(1\ 000-10x)(30+x)+200x=-10x^2+900x+30\ 000$.
(3)根据题意可得 $y_2=y_1-30\ 000-400x=-10x^2+500x$.
解析
【分析】
解题时先梳理题干中各个量随天数x的变化规律：1. 市场价初始为30元/斤，每天上涨1元，x天后的价格就是初始价加上涨的总金额；2. 每天死亡10斤海鲜，x天的死亡总重量就是每天死亡量乘天数，死亡海鲜的销售额是单价乘死亡总重量；3. 活着的海鲜重量是总重量减去死亡重量。第二问求总销售额$y_1$，就是活着的海鲜销售额加上死亡海鲜的销售额，分别计算两部分销售额再相加，展开整理即可得到函数式。第三问求总利润，总利润=总销售额-收购总成本-放养总支出，代入对应量化简就能得到$y_2$的表达式。
【解析】
(1) ① 当天市场价为30元/斤，每天每斤上涨1元，因此x天后每斤市场价为$30+x$元；
② 平均每天有10斤海鲜死去，x天后死去的海鲜共有$10x$斤；死去的海鲜每斤售价20元，因此销售总额为$20×10x=200x$元；
③ 海鲜总重量为1000斤，减去x天死亡的重量，x天后活着的海鲜还有$1000-10x$斤。
(2) 活着的海鲜销售额为$(1000-10x)(30+x)$元，加上死亡海鲜的销售额200x元，可得：
$\begin{aligned}y_1&=(1000-10x)(30+x)+200x\\&=30000+1000x-300x-10x^2+200x\\&=-10x^2+900x+30000\end{aligned}$
(3) 收购1000斤海鲜的总成本为$1000×30=30000$元，x天放养总支出为400x元，总利润=总销售额-收购总成本-放养总支出，因此：
$\begin{aligned}y_2&=y_1-30000-400x\\&=-10x^2+900x+30000-30000-400x\\&=-10x^2+500x\end{aligned}$
【答案】
(1)①$30+x$；②$10x$，$200x$；③$1000-10x$
(2)$y_1=-10x^2+900x+30000$
(3)$y_2=-10x^2+500x$
【知识点】
列代数式；二次函数表达式；销售利润计算
【点评】
本题是二次函数在实际销售问题中的基础应用，核心是理清不同量随天数的变化关系，计算时注意运算准确性即可，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题干中各个量随天数x的变化规律：1. 市场价初始为30元/斤，每天上涨1元，x天后的价格就是初始价加上涨的总金额；2. 每天死亡10斤海鲜，x天的死亡总重量就是每天死亡量乘天数，死亡海鲜的销售额是单价乘死亡总重量；3. 活着的海鲜重量是总重量减去死亡重量。第二问求总销售额$y_1$，就是活着的海鲜销售额加上死亡海鲜的销售额，分别计算两部分销售额再相加，展开整理即可得到函数式。第三问求总利润，总利润=总销售额-收购总成本-放养总支出，代入对应量化简就能得到$y_2$的表达式。
【解析】
(1) ① 当天市场价为30元/斤，每天每斤上涨1元，因此x天后每斤市场价为$30+x$元；
② 平均每天有10斤海鲜死去，x天后死去的海鲜共有$10x$斤；死去的海鲜每斤售价20元，因此销售总额为$20×10x=200x$元；
③ 海鲜总重量为1000斤，减去x天死亡的重量，x天后活着的海鲜还有$1000-10x$斤。
(2) 活着的海鲜销售额为$(1000-10x)(30+x)$元，加上死亡海鲜的销售额200x元，可得：
$\begin{aligned}y_1&=(1000-10x)(30+x)+200x\\&=30000+1000x-300x-10x^2+200x\\&=-10x^2+900x+30000\end{aligned}$
(3) 收购1000斤海鲜的总成本为$1000×30=30000$元，x天放养总支出为400x元，总利润=总销售额-收购总成本-放养总支出，因此：
$\begin{aligned}y_2&=y_1-30000-400x\\&=-10x^2+900x+30000-30000-400x\\&=-10x^2+500x\end{aligned}$
【答案】
(1)①$30+x$；②$10x$，$200x$；③$1000-10x$
(2)$y_1=-10x^2+900x+30000$
(3)$y_2=-10x^2+500x$
【知识点】
列代数式；二次函数表达式；销售利润计算
【点评】
本题是二次函数在实际销售问题中的基础应用，核心是理清不同量随天数的变化关系，计算时注意运算准确性即可，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
