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1. 下列具有二次函数关系的是 （
A.正方形的周长 $ y $ 与边长 $ x $
B.速度一定时，路程 $ s $ 与时间 $ t $
C.正方形的面积 $ y $ 与边长 $ x $
D.三角形的高一定时，面积 $ y $ 与底边长 $ x $
C
）A.正方形的周长 $ y $ 与边长 $ x $
B.速度一定时，路程 $ s $ 与时间 $ t $
C.正方形的面积 $ y $ 与边长 $ x $
D.三角形的高一定时，面积 $ y $ 与底边长 $ x $
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先要明确核心判断依据：二次函数的定义是形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数，其自变量的最高次数为2。接下来我们只需结合每个选项的实际等量关系，列出对应的函数表达式，再对照定义判断即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正方形周长=4×边长，可得函数关系式为$y=4x$，自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合要求；
B. 速度$v$一定时，路程=速度×时间，可得函数关系式为$s=vt$，$v$为常数，自变量$t$的最高次数为1，属于一次函数，不符合要求；
C. 正方形面积=边长×边长，可得函数关系式为$y=x^2$，符合二次函数$y=ax^2$（$a=1≠0$）的形式，自变量$x$的最高次数为2，属于二次函数，符合要求；
D. 三角形的高$h$一定时，面积=$\frac{1}{2}$×底×高，可得函数关系式为$y=\frac{1}{2}hx$，$h$为常数，自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的概念
2.一次函数的概念
3.实际问题列函数关系式
【点评】
本题是基础概念类考题，重点考查二次函数的识别，解题关键是正确推导各选项对应的函数解析式，结合自变量的最高次数判断函数类型，是二次函数章节的常见入门题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确核心判断依据：二次函数的定义是形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数，其自变量的最高次数为2。接下来我们只需结合每个选项的实际等量关系，列出对应的函数表达式，再对照定义判断即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 正方形周长=4×边长，可得函数关系式为$y=4x$，自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合要求；
B. 速度$v$一定时，路程=速度×时间，可得函数关系式为$s=vt$，$v$为常数，自变量$t$的最高次数为1，属于一次函数，不符合要求；
C. 正方形面积=边长×边长，可得函数关系式为$y=x^2$，符合二次函数$y=ax^2$（$a=1≠0$）的形式，自变量$x$的最高次数为2，属于二次函数，符合要求；
D. 三角形的高$h$一定时，面积=$\frac{1}{2}$×底×高，可得函数关系式为$y=\frac{1}{2}hx$，$h$为常数，自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的概念
2.一次函数的概念
3.实际问题列函数关系式
【点评】
本题是基础概念类考题，重点考查二次函数的识别，解题关键是正确推导各选项对应的函数解析式，结合自变量的最高次数判断函数类型，是二次函数章节的常见入门题型。
【难度系数】
0.9
2. 下列函数:①$y=\sqrt{3}x^2 - 2\sqrt{3}x$;②$y=(m^2 + 1)x^2 + 1$($m$为常数);③$y=(\dfrac{1}{x})^2 + \dfrac{1}{x} + 1$;④$y=\sqrt{11 + x^2}$;⑤$y=(x - 2)^2 - \dfrac{1}{3}(3x - 1)(x + 1)$. 其中能表示$y$是$x$的二次函数的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.B
解析
【分析】
要判断函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：①函数表达式是关于自变量x的整式；②化简后自变量x的最高次数为2；③二次项的系数不为0。接下来我们按照这三个标准逐个判断给出的5个函数即可得出答案。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数。我们逐个分析：
1. 函数①$y=\sqrt{3}x^2 - 2\sqrt{3}x$：是关于$x$的整式，最高次数为2，二次项系数$\sqrt{3}≠0$，符合二次函数定义，是二次函数。
2. 函数②$y=(m^2 + 1)x^2 + 1$：$m$为常数，$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1≠0$，表达式是整式，最高次数为2，符合二次函数定义，是二次函数。
3. 函数③$y=(\dfrac{1}{x})^2 + \dfrac{1}{x} + 1$：表达式中含有$\dfrac{1}{x}$（即$x^{-1}$），不是整式，因此不是二次函数。
4. 函数④$y=\sqrt{11 + x^2}$：表达式含有根号，不是整式，因此不是二次函数。
5. 函数⑤$y=(x - 2)^2 - \dfrac{1}{3}(3x - 1)(x + 1)$：先展开化简：
$\begin{aligned} y&=x^2-4x+4-\dfrac{1}{3}(3x^2+2x-1)\\ &=x^2-4x+4-x^2-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}\\ &=-\dfrac{14}{3}x+\dfrac{13}{3} \end{aligned}$
化简后最高次数为1，是一次函数，不是二次函数。
综上，是二次函数的有①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的定义 2.整式的概念
【点评】
本题重点考查对二次函数概念的理解，解题时需牢记二次函数的三个判定要点，尤其注意对于结构较复杂的函数要先化简再判断最高次数，同时要注意排除非整式的函数，避免出现误判。
【难度系数】
0.7
要判断函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：①函数表达式是关于自变量x的整式；②化简后自变量x的最高次数为2；③二次项的系数不为0。接下来我们按照这三个标准逐个判断给出的5个函数即可得出答案。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数。我们逐个分析：
1. 函数①$y=\sqrt{3}x^2 - 2\sqrt{3}x$：是关于$x$的整式，最高次数为2，二次项系数$\sqrt{3}≠0$，符合二次函数定义，是二次函数。
2. 函数②$y=(m^2 + 1)x^2 + 1$：$m$为常数，$m^2≥0$，因此$m^2+1≥1≠0$，表达式是整式，最高次数为2，符合二次函数定义，是二次函数。
3. 函数③$y=(\dfrac{1}{x})^2 + \dfrac{1}{x} + 1$：表达式中含有$\dfrac{1}{x}$（即$x^{-1}$），不是整式，因此不是二次函数。
4. 函数④$y=\sqrt{11 + x^2}$：表达式含有根号，不是整式，因此不是二次函数。
5. 函数⑤$y=(x - 2)^2 - \dfrac{1}{3}(3x - 1)(x + 1)$：先展开化简：
$\begin{aligned} y&=x^2-4x+4-\dfrac{1}{3}(3x^2+2x-1)\\ &=x^2-4x+4-x^2-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}\\ &=-\dfrac{14}{3}x+\dfrac{13}{3} \end{aligned}$
化简后最高次数为1，是一次函数，不是二次函数。
综上，是二次函数的有①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的定义 2.整式的概念
【点评】
本题重点考查对二次函数概念的理解，解题时需牢记二次函数的三个判定要点，尤其注意对于结构较复杂的函数要先化简再判断最高次数，同时要注意排除非整式的函数，避免出现误判。
【难度系数】
0.7
3.若$y=(m-2)x^{m^2 -2}+3x$是关于$x$的二次函数，则$m$的值为
-2
。答案
3.-2
解析
【分析】要确定m的值，需依据二次函数的定义分析：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不为0（若系数为0则二次项消失，函数就不是二次函数）。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合的取值，即可得到最终m的值。
【解析】解：
∵$y=(m-2)x^{m^2 -2}+3x$是关于x的二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 自变量的最高次数为2：$m^2 - 2 = 2$
解方程得：$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$
2. 二次项系数不为0：$m - 2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$
综上，舍去$m=2$，得$m=-2$
【答案】-2
【知识点】二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】本题是二次函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，直接得出$m=±2$的错误结论，解题时需注意定义的两个约束条件要同时满足。
【难度系数】0.7
【解析】解：
∵$y=(m-2)x^{m^2 -2}+3x$是关于x的二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 自变量的最高次数为2：$m^2 - 2 = 2$
解方程得：$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$
2. 二次项系数不为0：$m - 2 ≠ 0$，即$m ≠ 2$
综上，舍去$m=2$，得$m=-2$
【答案】-2
【知识点】二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】本题是二次函数概念的基础考查题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，直接得出$m=±2$的错误结论，解题时需注意定义的两个约束条件要同时满足。
【难度系数】0.7
4.已知二次函数 $y=3(x-1)^2+2$.
(1)将二次函数化为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$的形式；
(2)当 $x=6$ 时，求 $y$ 的值.
(1)将二次函数化为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$的形式；
(2)当 $x=6$ 时，求 $y$ 的值.
答案
4.解:(1)由 $y=3(x-1)^2+2$,得 $y=3x^2-6x+5$.
(2)由题意,将 $x=6$ 代入 $y=3x^2-6x+5$,
得 $y=3×6^2-6×6+5=77$,即 $y=77$.
(2)由题意,将 $x=6$ 代入 $y=3x^2-6x+5$,
得 $y=3×6^2-6×6+5=77$,即 $y=77$.
解析
【分析】
（1）要将顶点式的二次函数化为一般式，需先利用完全平方公式展开$(x-1)^2$，再去括号、合并同类项，整理为$y=ax^2+bx+c$的形式即可。
（2）求$x=6$时的$y$值，只需将$x=6$代入已得到的二次函数一般式（或原式），按照有理数混合运算顺序计算即可得出结果。
【解析】
(1) 对$y=3(x-1)^2+2$展开变形：
根据完全平方公式得$(x-1)^2=x^2-2x+1$，
代入原式得$y=3(x^2-2x+1)+2$，
去括号得$y=3x^2-6x+3+2$，
合并同类项得$y=3x^2-6x+5$。
(2) 将$x=6$代入$y=3x^2-6x+5$：
$y=3×6^2 - 6×6 +5 = 3×36 -36 +5 = 108-36+5=77$。
【答案】
(1)$y=3x^2-6x+5$；(2)$y=77$
【知识点】
二次函数顶点式化一般式；二次函数代入求值
【点评】
本题是二次函数的基础题，主要考查整式运算能力和代入求值的方法，掌握完全平方公式、有理数混合运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
（1）要将顶点式的二次函数化为一般式，需先利用完全平方公式展开$(x-1)^2$，再去括号、合并同类项，整理为$y=ax^2+bx+c$的形式即可。
（2）求$x=6$时的$y$值，只需将$x=6$代入已得到的二次函数一般式（或原式），按照有理数混合运算顺序计算即可得出结果。
【解析】
(1) 对$y=3(x-1)^2+2$展开变形：
根据完全平方公式得$(x-1)^2=x^2-2x+1$，
代入原式得$y=3(x^2-2x+1)+2$，
去括号得$y=3x^2-6x+3+2$，
合并同类项得$y=3x^2-6x+5$。
(2) 将$x=6$代入$y=3x^2-6x+5$：
$y=3×6^2 - 6×6 +5 = 3×36 -36 +5 = 108-36+5=77$。
【答案】
(1)$y=3x^2-6x+5$；(2)$y=77$
【知识点】
二次函数顶点式化一般式；二次函数代入求值
【点评】
本题是二次函数的基础题，主要考查整式运算能力和代入求值的方法，掌握完全平方公式、有理数混合运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
5. 如图,在直角三角形AOB中,$AB⊥OB$且$AB=OB=3$.设直线$x=t(0＜t＜3)$截此三角形所得阴影部分的面积为$S$,则$S$与$t$之间的函数表达式为 ( 
)
A.$S=t$
B.$S=\frac{1}{2}t^2$
C.$S=t^2$
D.$S=\frac{1}{2}t^2 -1$
)A.$S=t$
B.$S=\frac{1}{2}t^2$
C.$S=t^2$
D.$S=\frac{1}{2}t^2 -1$
答案
5.B
解析
【分析】
首先判断△AOB的形状：由AB⊥OB且AB=OB=3，可知△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=45°，先求出OA所在直线的解析式，再分析直线x=t截得的阴影部分的图形特征：阴影部分同样是等腰直角三角形，直角边长为t，最后代入三角形面积公式即可推导S与t的函数表达式。
【解析】
1. 确定各点坐标：
∵AB⊥OB，OB=AB=3，
∴O(0,0)，B(3,0)，A(3,3)。
2. 求OA的直线解析式：设OA的解析式为$y=kx(k≠0)$，将A(3,3)代入解析式得$3=3k$，解得$k=1$，即OA的解析式为$y=x$。
3. 分析阴影部分特征：直线$x=t$与OA的交点纵坐标为$t$，因此阴影部分是直角边长为$t$的等腰直角三角形。
4. 计算面积：根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入底和高均为$t$，得$S=\frac{1}{2} × t × t=\frac{1}{2}t^2(0＜t＜3)$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数解析式求解，等腰直角三角形性质，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的基础题型，解题核心是准确判断阴影部分的图形形状，结合坐标特征得到对应边长后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先判断△AOB的形状：由AB⊥OB且AB=OB=3，可知△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=45°，先求出OA所在直线的解析式，再分析直线x=t截得的阴影部分的图形特征：阴影部分同样是等腰直角三角形，直角边长为t，最后代入三角形面积公式即可推导S与t的函数表达式。
【解析】
1. 确定各点坐标：
∵AB⊥OB，OB=AB=3，
∴O(0,0)，B(3,0)，A(3,3)。
2. 求OA的直线解析式：设OA的解析式为$y=kx(k≠0)$，将A(3,3)代入解析式得$3=3k$，解得$k=1$，即OA的解析式为$y=x$。
3. 分析阴影部分特征：直线$x=t$与OA的交点纵坐标为$t$，因此阴影部分是直角边长为$t$的等腰直角三角形。
4. 计算面积：根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入底和高均为$t$，得$S=\frac{1}{2} × t × t=\frac{1}{2}t^2(0＜t＜3)$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数解析式求解，等腰直角三角形性质，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的基础题型，解题核心是准确判断阴影部分的图形形状，结合坐标特征得到对应边长后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6.已知函数$y=(a^2 + 3a -10)x^2 - (a -2)x -5$.
(1)若该函数是$y$关于$x$的一次函数,则$a$的值为________;
(2)若该函数是$y$关于$x$的二次函数,则$a$的取值范围是________.
(1)若该函数是$y$关于$x$的一次函数,则$a$的值为________;
(2)若该函数是$y$关于$x$的二次函数,则$a$的取值范围是________.
答案
6.(1)-5 (2)$a≠-5$ 且 $a≠2$
解析
【分析】
本题需结合一次函数、二次函数的定义列条件求解：(1)若函数为一次函数，首先要保证二次项系数为0，去掉二次项，同时还要保证一次项系数不为0，避免函数退化为常数函数；(2)若函数为二次函数，只需保证二次项系数不为0，确保最高次项为二次即可。
【解析】
(1) 若该函数是$y$关于$x$的一次函数，需同时满足：
① 二次项系数为0：$a^2 + 3a -10 = 0$，因式分解得$(a+5)(a-2)=0$，解得$a=-5$或$a=2$；
② 一次项系数不为0：$-(a-2) ≠ 0$，即$a ≠ 2$。
综合两个条件，得$a=-5$。
(2) 若该函数是$y$关于$x$的二次函数，需满足二次项系数不为0：
$a^2 + 3a -10 ≠ 0$，即$(a+5)(a-2) ≠ 0$，解得$a ≠ -5$且$a ≠ 2$。
【答案】
(1)$-5$；(2)$a≠-5$ 且 $a≠2$
【知识点】
一次函数的定义、二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是求解一次函数的参数时，容易遗漏一次项系数不能为0的限制条件，导致多解。
【难度系数】
0.8
本题需结合一次函数、二次函数的定义列条件求解：(1)若函数为一次函数，首先要保证二次项系数为0，去掉二次项，同时还要保证一次项系数不为0，避免函数退化为常数函数；(2)若函数为二次函数，只需保证二次项系数不为0，确保最高次项为二次即可。
【解析】
(1) 若该函数是$y$关于$x$的一次函数，需同时满足：
① 二次项系数为0：$a^2 + 3a -10 = 0$，因式分解得$(a+5)(a-2)=0$，解得$a=-5$或$a=2$；
② 一次项系数不为0：$-(a-2) ≠ 0$，即$a ≠ 2$。
综合两个条件，得$a=-5$。
(2) 若该函数是$y$关于$x$的二次函数，需满足二次项系数不为0：
$a^2 + 3a -10 ≠ 0$，即$(a+5)(a-2) ≠ 0$，解得$a ≠ -5$且$a ≠ 2$。
【答案】
(1)$-5$；(2)$a≠-5$ 且 $a≠2$
【知识点】
一次函数的定义、二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是求解一次函数的参数时，容易遗漏一次项系数不能为0的限制条件，导致多解。
【难度系数】
0.8
7 在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮.如图,已有的铁皮是等腰直角三角形ABC,它的底边AB长20厘米.要截得的矩形DEMN的边MN在AB上,顶点D、E分别在边AC、BC上.设DE的长为x厘米,矩形DEMN的面积为y平方厘米,那么y关于x的函数表达式是
$y=-\dfrac{1}{2}x^2+10x$
.答案
7.$y=-\dfrac{1}{2}x^2+10x$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用等腰直角三角形的性质，求出大三角形底边AB上的高；2. 由矩形对边平行可得DE//AB，进而推出△CDE是和△CAB相似的等腰直角三角形，用DE的长x表示出△CDE的高；3. 用大三角形的高减去小三角形CDE的高，得到矩形的宽，最后根据矩形面积公式推导y关于x的函数表达式。
【解析】
过点C作CF⊥AB于点F，交DE于点G。
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=20cm，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，
∴CF=$\frac{1}{2}$AB=10cm。
∵四边形DEMN是矩形，
∴DE//AB，
∴△CDE∽△CAB，且△CDE也是等腰直角三角形，CG为△CDE底边DE的高，
∴CG=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{x}{2}$cm。
则矩形的宽为GF=CF-CG=$10-\frac{x}{2}$cm。
根据矩形面积公式可得：
$y=DE× GF=x(10-\frac{x}{2})=-\frac{1}{2}x^2+10x$（$0＜x＜20$）。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x^2+10x$
【知识点】
等腰直角三角形性质，相似三角形性质，矩形面积计算
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，解题核心是利用等腰直角三角形和相似三角形的性质正确表示出矩形的宽，能够锻炼学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用等腰直角三角形的性质，求出大三角形底边AB上的高；2. 由矩形对边平行可得DE//AB，进而推出△CDE是和△CAB相似的等腰直角三角形，用DE的长x表示出△CDE的高；3. 用大三角形的高减去小三角形CDE的高，得到矩形的宽，最后根据矩形面积公式推导y关于x的函数表达式。
【解析】
过点C作CF⊥AB于点F，交DE于点G。
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=20cm，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，
∴CF=$\frac{1}{2}$AB=10cm。
∵四边形DEMN是矩形，
∴DE//AB，
∴△CDE∽△CAB，且△CDE也是等腰直角三角形，CG为△CDE底边DE的高，
∴CG=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{x}{2}$cm。
则矩形的宽为GF=CF-CG=$10-\frac{x}{2}$cm。
根据矩形面积公式可得：
$y=DE× GF=x(10-\frac{x}{2})=-\frac{1}{2}x^2+10x$（$0＜x＜20$）。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}x^2+10x$
【知识点】
等腰直角三角形性质，相似三角形性质，矩形面积计算
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，解题核心是利用等腰直角三角形和相似三角形的性质正确表示出矩形的宽，能够锻炼学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
