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21.(10分)如图，已知△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，连接AD，以AD为边在直线AD的右侧作等边三角形ADE，延长EA交直线BC于点F。
(1)求证:△FAB∽△ADC；
(2)过点A作AG⊥BC于点G，若CG=√3，AD=2√21，求CD及AF的长。
(1)求证:△FAB∽△ADC；
(2)过点A作AG⊥BC于点G，若CG=√3，AD=2√21，求CD及AF的长。
答案
21.(1)证明:如图,连接 CE.
$ \because △ ABC $、$ △ ADE $ 是等边三角形,
$ \therefore AB=AC,AD=AE, ∠ ABC=∠ ACB=∠ BAC=∠ EAD=60° $,
$ \therefore ∠ ABF=∠ ACD=120°,∠ BAD=∠ EAC $,
$ \therefore △ ABD ≌ △ ACE $,
$ \therefore ∠ ACE=∠ ABC=60°=∠ BAC,∠ ADB=∠ AEC $,
$ \therefore AB // CE, \therefore ∠ FAB=∠ AEC=∠ ADB $,
$ \therefore △ FAB ∽ △ ADC $.
(2)解:$ \because △ ABC $ 是等边三角形,$ AG ⊥ BC,CG=\sqrt{3} $,
$ \therefore AG=3,AC=AB=BC=2\sqrt{3} $.
在 $ \mathrm{Rt} △ AGD $ 中,由勾股定理可得 $ DG=5\sqrt{3} $,
$ \therefore CD=4\sqrt{3} $.
$ \because △ FAB ∽ △ ADC, \therefore FA:AD=AB:CD $,
即 $ FA:2\sqrt{21}=2\sqrt{3}:4\sqrt{3}, \therefore AF=\sqrt{21} $.
解析
【分析】
(1)要证明△FAB∽△ADC，需找到两组对应角相等。首先利用等边三角形边、角相等的性质，证明△ABD≌△ACE，得到角相等关系，进而推出AB//CE，得到∠FAB=∠ADC，再结合∠ABF=∠ACD=120°，即可通过两角对应相等证明两三角形相似。
(2)首先根据等边三角形三线合一的性质，由AG⊥BC和CG的长度求出△ABC的边长和AG的长度；再在Rt△AGD中利用勾股定理求出DG的长度，进而计算出CD的长；最后借助(1)中相似三角形的对应边成比例，代入已知数据即可求出AF的长度。
【解析】
(1)证明：连接CE，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠ABF=180°-∠ABC=120°，∠ACD=180°-∠ACB=120°，即∠ABF=∠ACD，
且∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，即∠BAD=∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE=∠ABC=60°，∠ADB=∠AEC，
∴∠ACE=∠BAC=60°，可得AB//CE，
∴∠FAB=∠AEC=∠ADB，
又
∵∠ABF=∠ACD=120°，
∴△FAB∽△ADC。
(2)解：
∵△ABC是等边三角形，AG⊥BC，
∴G是BC的中点，即BC=2CG=2√3，
∴AB=AC=BC=2√3，
在Rt△AGC中，由勾股定理得AG=√(AC²-CG²)=√[(2√3)²-(√3)²]=3，
在Rt△AGD中，AD=2√21，AG=3，
∴DG=√(AD²-AG²)=√[(2√21)²-3²]=√75=5√3，
∴CD=DG-CG=5√3-√3=4√3，
由△FAB∽△ADC得$\frac{AF}{AD}=\frac{AB}{CD}$，
代入数据得$\frac{AF}{2\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，
解得AF=√21。
【答案】
(1)证明:如图,连接 CE.
∵△ABC、△ADE 是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE, ∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠EAD=60°,
∴∠ABF=∠ACD=120°,∠BAD=∠EAC,
∴△ABD ≌ △ ACE,
∴∠ACE=∠ABC=60°=∠BAC,∠ADB=∠AEC,
∴AB // CE,
∴∠FAB=∠AEC=∠ADB,
∴△FAB ∽ △ ADC.
(2)解:
∵△ABC 是等边三角形,AG ⊥ BC,CG=√3,
∴AG=3,AC=AB=BC=2√3.
在 Rt△AGD 中,由勾股定理可得 DG=5√3,
∴CD=4√3.
∵△FAB ∽ △ ADC,
∴ FA:AD=AB:CD,
即 FA:2√21=2√3:4√3,
∴AF=√21.
【知识点】
等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是常见的几何综合题，将等边三角形、全等三角形、相似三角形、勾股定理等知识点结合考查，解题的关键是合理利用等边三角形的性质推导边角关系，第一问的全等证明是衔接两问的核心，第二问结合三线合一和勾股定理求出相关线段长度后，借助相似的性质即可求解，能有效考查学生的逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1)要证明△FAB∽△ADC，需找到两组对应角相等。首先利用等边三角形边、角相等的性质，证明△ABD≌△ACE，得到角相等关系，进而推出AB//CE，得到∠FAB=∠ADC，再结合∠ABF=∠ACD=120°，即可通过两角对应相等证明两三角形相似。
(2)首先根据等边三角形三线合一的性质，由AG⊥BC和CG的长度求出△ABC的边长和AG的长度；再在Rt△AGD中利用勾股定理求出DG的长度，进而计算出CD的长；最后借助(1)中相似三角形的对应边成比例，代入已知数据即可求出AF的长度。
【解析】
(1)证明：连接CE，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠ABF=180°-∠ABC=120°，∠ACD=180°-∠ACB=120°，即∠ABF=∠ACD，
且∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，即∠BAD=∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE=∠ABC=60°，∠ADB=∠AEC，
∴∠ACE=∠BAC=60°，可得AB//CE，
∴∠FAB=∠AEC=∠ADB，
又
∵∠ABF=∠ACD=120°，
∴△FAB∽△ADC。
(2)解：
∵△ABC是等边三角形，AG⊥BC，
∴G是BC的中点，即BC=2CG=2√3，
∴AB=AC=BC=2√3，
在Rt△AGC中，由勾股定理得AG=√(AC²-CG²)=√[(2√3)²-(√3)²]=3，
在Rt△AGD中，AD=2√21，AG=3，
∴DG=√(AD²-AG²)=√[(2√21)²-3²]=√75=5√3，
∴CD=DG-CG=5√3-√3=4√3，
由△FAB∽△ADC得$\frac{AF}{AD}=\frac{AB}{CD}$，
代入数据得$\frac{AF}{2\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，
解得AF=√21。
【答案】
(1)证明:如图,连接 CE.
∵△ABC、△ADE 是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE, ∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠EAD=60°,
∴∠ABF=∠ACD=120°,∠BAD=∠EAC,
∴△ABD ≌ △ ACE,
∴∠ACE=∠ABC=60°=∠BAC,∠ADB=∠AEC,
∴AB // CE,
∴∠FAB=∠AEC=∠ADB,
∴△FAB ∽ △ ADC.
(2)解:
∵△ABC 是等边三角形,AG ⊥ BC,CG=√3,
∴AG=3,AC=AB=BC=2√3.
在 Rt△AGD 中,由勾股定理可得 DG=5√3,
∴CD=4√3.
∵△FAB ∽ △ ADC,
∴ FA:AD=AB:CD,
即 FA:2√21=2√3:4√3,
∴AF=√21.
【知识点】
等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是常见的几何综合题，将等边三角形、全等三角形、相似三角形、勾股定理等知识点结合考查，解题的关键是合理利用等边三角形的性质推导边角关系，第一问的全等证明是衔接两问的核心，第二问结合三线合一和勾股定理求出相关线段长度后，借助相似的性质即可求解，能有效考查学生的逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
22.(10分)如图1是张家口云顶滑雪公园的U型池跳台，建立如图2所示的平面直角坐标系，其中DC段可以近似地看作抛物线$y=\frac{1}{4}x^2 -3x +9(2≤x≤7)$的一部分，$BD// x$轴，点B在y轴上，点C在x轴上，且BD=2米.某滑雪运动员沿斜坡AB加速至B处腾空而起，近似地沿抛物线BEF运动，在空中完成翻滚动作，着陆在DC段上，已知当他运行的水平距离为3米时，达到离地面的最大高度为10米.
(1)求该运动员腾空后的抛物线(BEF)的表达式；
(2)此次滑雪评分细则规定:当运动员的腾空高度与DC段之间的竖直最大距离不少于7米时，该运动员的“腾空高度分”就可以给满分.请通过计算说明该滑雪爱好者的“腾空高度分”是否能得到满分.
(1)求该运动员腾空后的抛物线(BEF)的表达式；
(2)此次滑雪评分细则规定:当运动员的腾空高度与DC段之间的竖直最大距离不少于7米时，该运动员的“腾空高度分”就可以给满分.请通过计算说明该滑雪爱好者的“腾空高度分”是否能得到满分.
答案
22.解:(1)将 $ x=2 $ 代入 $ y=\frac{1}{4}x^2-3x+9(2 ≤ x ≤7) $,
得 $ y=\frac{1}{4} × 2^2-3 × 2+9=4, \therefore D(2,4) $.
$ \because BD // x $ 轴,点 B 在 y 轴上,$ \therefore B(0,4) $.
由题意知抛物线(BEF)的顶点坐标为 $ (3,10) $,
设抛物线(BEF)的表达式为 $ y=a(x-3)^2+10 $,
把点 $ B(0,4) $ 代入,得 $ 4=a(0-3)^2+10 $,
解得 $ a=-\frac{2}{3} $,
$ \therefore $ 抛物线(BEF)的表达式为 $ y=-\frac{2}{3}(x-3)^2+10 $,
化为一般式为 $ y=-\frac{2}{3}x^2+4x+4 $.
(2)如图,设点 P 是抛物线(BEF)上的一点,过点 P 作 $ PQ // y $ 轴交抛物线 DC 于点 Q,
设 $ P(m,-\frac{2}{3}m^2+4m+4) $,
则 $ Q(m,\frac{1}{4}m^2-3m+9) $,
$ \therefore PQ=(-\frac{2}{3}m^2+4m+4)-(\frac{1}{4}m^2-3m+9)=-\frac{11}{12}m^2+7m-5 $.
当 $ m=-\frac{7}{2 × (-\frac{11}{12})}=\frac{42}{11} $ 时,PQ 有最大值,最大值为 $ -\frac{11}{12} × (\frac{42}{11})^2+7 × \frac{42}{11}-5=\frac{92}{11} $(米),
$ \because \frac{92}{11}＞7 $,
$ \therefore $ 该滑雪爱好者的“腾空高度分”能得到满分.
解析
【分析】
(1) 求解运动员腾空后的抛物线表达式，首先需要确定抛物线上的已知点：先将x=2代入DC段抛物线解析式求出D点坐标，结合BD//x轴、B在y轴上的条件得到B点坐标；已知该抛物线顶点为(3,10)，因此设顶点式解析式，代入B点坐标求出未知参数即可得到表达式。
(2) 判断是否能得满分，需计算两条抛物线的竖直最大距离：同一横坐标下，竖直距离等于上方BEF抛物线的y值减去下方DC抛物线的y值，得到关于横坐标的二次函数，求出该二次函数的最大值，若最大值≥7即可得满分。
【解析】
(1) 将 $ x=2 $ 代入 $ y=\frac{1}{4}x^2-3x+9(2 ≤ x ≤7) $，
得 $ y=\frac{1}{4} × 2^2-3 × 2+9=4, \therefore D(2,4) $。
$\because BD // x $ 轴，点 B 在 y 轴上，$ \therefore B(0,4) $。
由题意知抛物线(BEF)的顶点坐标为 $ (3,10) $，
设抛物线(BEF)的表达式为 $ y=a(x-3)^2+10 $，
把点 $ B(0,4) $ 代入，得 $ 4=a(0-3)^2+10 $，
解得 $ a=-\frac{2}{3} $，
$\therefore $ 抛物线(BEF)的表达式为 $ y=-\frac{2}{3}(x-3)^2+10 $，
化为一般式为 $ y=-\frac{2}{3}x^2+4x+4 $。
(2) 如图，设点 P 是抛物线(BEF)上的一点，过点 P 作 $ PQ // y $ 轴交抛物线 DC 于点 Q，
设 $ P(m,-\frac{2}{3}m^2+4m+4) $，
则 $ Q(m,\frac{1}{4}m^2-3m+9) $，
$\therefore PQ=(-\frac{2}{3}m^2+4m+4)-(\frac{1}{4}m^2-3m+9)=-\frac{11}{12}m^2+7m-5 $。
当 $ m=-\frac{7}{2 × (-\frac{11}{12})}=\frac{42}{11} $ 时，PQ 有最大值，最大值为 $ -\frac{11}{12} × (\frac{42}{11})^2+7 × \frac{42}{11}-5=\frac{92}{11} $(米)，
$\because \frac{92}{11}＞7 $，
$\therefore $ 该滑雪爱好者的“腾空高度分”能得到满分。
【答案】
(1) 抛物线(BEF)的表达式为 $y=-\frac{2}{3}(x-3)^2+10$（或$y=-\frac{2}{3}x^2+4x+4$）；
(2) 该滑雪爱好者的“腾空高度分”能得到满分。
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数最值计算，二次函数实际应用
【点评】
本题以滑雪运动为真实背景，将实际问题与二次函数知识结合，既考查了顶点式求二次函数解析式、二次函数最值的计算方法，也考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题核心是理清两条抛物线的位置关系，正确表示出竖直距离的函数表达式。
【难度系数】
0.7
(1) 求解运动员腾空后的抛物线表达式，首先需要确定抛物线上的已知点：先将x=2代入DC段抛物线解析式求出D点坐标，结合BD//x轴、B在y轴上的条件得到B点坐标；已知该抛物线顶点为(3,10)，因此设顶点式解析式，代入B点坐标求出未知参数即可得到表达式。
(2) 判断是否能得满分，需计算两条抛物线的竖直最大距离：同一横坐标下，竖直距离等于上方BEF抛物线的y值减去下方DC抛物线的y值，得到关于横坐标的二次函数，求出该二次函数的最大值，若最大值≥7即可得满分。
【解析】
(1) 将 $ x=2 $ 代入 $ y=\frac{1}{4}x^2-3x+9(2 ≤ x ≤7) $，
得 $ y=\frac{1}{4} × 2^2-3 × 2+9=4, \therefore D(2,4) $。
$\because BD // x $ 轴，点 B 在 y 轴上，$ \therefore B(0,4) $。
由题意知抛物线(BEF)的顶点坐标为 $ (3,10) $，
设抛物线(BEF)的表达式为 $ y=a(x-3)^2+10 $，
把点 $ B(0,4) $ 代入，得 $ 4=a(0-3)^2+10 $，
解得 $ a=-\frac{2}{3} $，
$\therefore $ 抛物线(BEF)的表达式为 $ y=-\frac{2}{3}(x-3)^2+10 $，
化为一般式为 $ y=-\frac{2}{3}x^2+4x+4 $。
(2) 如图，设点 P 是抛物线(BEF)上的一点，过点 P 作 $ PQ // y $ 轴交抛物线 DC 于点 Q，
设 $ P(m,-\frac{2}{3}m^2+4m+4) $，
则 $ Q(m,\frac{1}{4}m^2-3m+9) $，
$\therefore PQ=(-\frac{2}{3}m^2+4m+4)-(\frac{1}{4}m^2-3m+9)=-\frac{11}{12}m^2+7m-5 $。
当 $ m=-\frac{7}{2 × (-\frac{11}{12})}=\frac{42}{11} $ 时，PQ 有最大值，最大值为 $ -\frac{11}{12} × (\frac{42}{11})^2+7 × \frac{42}{11}-5=\frac{92}{11} $(米)，
$\because \frac{92}{11}＞7 $，
$\therefore $ 该滑雪爱好者的“腾空高度分”能得到满分。
【答案】
(1) 抛物线(BEF)的表达式为 $y=-\frac{2}{3}(x-3)^2+10$（或$y=-\frac{2}{3}x^2+4x+4$）；
(2) 该滑雪爱好者的“腾空高度分”能得到满分。
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数最值计算，二次函数实际应用
【点评】
本题以滑雪运动为真实背景，将实际问题与二次函数知识结合，既考查了顶点式求二次函数解析式、二次函数最值的计算方法，也考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题核心是理清两条抛物线的位置关系，正确表示出竖直距离的函数表达式。
【难度系数】
0.7
23. (12分)已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a＜0)$的图像经过$(m+1,a)$、$(m,b)$两点.
(1)若$m=1,a=-1$,求该二次函数的表达式;
(2)求证:$am+b=0$;
(3)若该二次函数的最大值为$-\dfrac{1}{4}$,且当$x=1$时,$y≥ 3a$,求$a$的取值范围.
(1)若$m=1,a=-1$,求该二次函数的表达式;
(2)求证:$am+b=0$;
(3)若该二次函数的最大值为$-\dfrac{1}{4}$,且当$x=1$时,$y≥ 3a$,求$a$的取值范围.
答案
23.(1)解:若 $ m=1,a=-1 $,则函数图像过点 $ (2,-1) $、$ (1,b) $,
则 $ \begin{cases} -4+2b+c=-1, \\ -1+b+c=b, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} b=1, \\ c=1, \end{cases} $
$ \therefore $ 二次函数的表达式为 $ y=-x^2+x+1 $.
(2)证明:将 $ (m+1,a) $、$ (m,b) $ 代入抛物线表达式
得 $ \begin{cases} a(m+1)^2+b(m+1)+c=a, \\ am^2+bm+c=b, \end{cases} $
整理得 $ \begin{cases} am^2+2am+bm+b+c=0, ① \\ am^2+bm=b-c, ② \end{cases} $
①-②并整理,得 $ am+b=0 $.
(3)解:由(2)知 $ b=-am $,把 $ b=-am $ 代入②,解得 $ b=c $,故 $ b=c=-am $.
当 $ x=1 $ 时,$ y=a+b+c=a-2am ≥ 3a $,
$ \because a＜0, \therefore m ≥ -1 $.
$ \because $ 二次函数的最大值为 $ -\frac{1}{4}, \therefore \frac{4ac-b^2}{4a}=-\frac{1}{4} $,
而 $ b=c=-am $,故 $ \frac{1}{a}=m^2+4m=(m+2)^2-4 $.
$ \because m ≥ -1,a＜0, \therefore a ≤ -\frac{1}{3} $.
则 $ \begin{cases} -4+2b+c=-1, \\ -1+b+c=b, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} b=1, \\ c=1, \end{cases} $
$ \therefore $ 二次函数的表达式为 $ y=-x^2+x+1 $.
(2)证明:将 $ (m+1,a) $、$ (m,b) $ 代入抛物线表达式
得 $ \begin{cases} a(m+1)^2+b(m+1)+c=a, \\ am^2+bm+c=b, \end{cases} $
整理得 $ \begin{cases} am^2+2am+bm+b+c=0, ① \\ am^2+bm=b-c, ② \end{cases} $
①-②并整理,得 $ am+b=0 $.
(3)解:由(2)知 $ b=-am $,把 $ b=-am $ 代入②,解得 $ b=c $,故 $ b=c=-am $.
当 $ x=1 $ 时,$ y=a+b+c=a-2am ≥ 3a $,
$ \because a＜0, \therefore m ≥ -1 $.
$ \because $ 二次函数的最大值为 $ -\frac{1}{4}, \therefore \frac{4ac-b^2}{4a}=-\frac{1}{4} $,
而 $ b=c=-am $,故 $ \frac{1}{a}=m^2+4m=(m+2)^2-4 $.
$ \because m ≥ -1,a＜0, \therefore a ≤ -\frac{1}{3} $.
解析
【分析】
（1）第一小问用待定系数法求解，先将已知的$m$、$a$代入得到两个点的坐标，再把两点代入二次函数表达式，列关于$b$、$c$的方程组求解，即可得到函数解析式。
（2）第二小问要证明$am+b=0$，只需将两个已知点代入二次函数表达式得到两个方程，通过两式作差消去公共项，整理即可得到待证结论。
（3）第三小问先利用第二问的结论得到$b=-am$，再推导得出$c=b=-am$；先将$x=1$代入函数，结合$y≥3a$和$a＜0$的条件求出$m$的取值范围；再利用二次函数最大值的顶点公式，将$b$、$c$用含$a$、$m$的式子代入，整理得到$a$和$m$的关系，最后结合$m$的范围即可求出$a$的取值范围。
【解析】
(1) 当$m=1,a=-1$时，二次函数图像过点$(2,-1)$、$(1,b)$，将两点代入$y=-x^2+bx+c$得：
$\begin{cases} -4+2b+c=-1 \\ -1+b+c=b \end{cases}$
解第二个方程得$c=1$，代入第一个方程解得$b=1$
$\therefore$二次函数的表达式为$y=-x^2+x+1$
(2) 证明：将$(m+1,a)$、$(m,b)$代入$y=ax^2+bx+c$得：
$\begin{cases} a(m+1)^2+b(m+1)+c=a \quad ① \\ am^2+bm+c=b \quad ② \end{cases}$
整理①式得：$am^2+2am+bm+b+c=0$
由②式移项得：$am^2+bm = b - c$
将其代入整理后的①式，得：$b - c + 2am + b + c = 0$
合并同类项化简得：$am + b = 0$，得证。
(3) 由(2)得$b=-am$，代入②式$am^2+bm+c=b$，化简得$c=-am$，即$b=c=-am$
当$x=1$时，$y=a+b+c=a-2am$，由题意$y≥3a$，即$a-2am≥3a$
移项得$-2am≥2a$，$\because a＜0$，不等式两边除以负数不等号变向，解得$m≥-1$
$\because$二次函数最大值为$-\dfrac{1}{4}$，$\therefore \dfrac{4ac-b^2}{4a}=-\dfrac{1}{4}$
将$b=c=-am$代入上式，化简得$\dfrac{1}{a}=m^2+4m=(m+2)^2-4$
$\because m≥-1$，$(m+2)^2-4$在$m≥-1$时随$m$增大而增大，当$m=-1$时，$(m+2)^2-4=-3$，即$m^2+4m≥-3$
$\therefore \dfrac{1}{a}≥-3$，结合$a＜0$，解得$a≤-\dfrac{1}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x^2+x+1}$；
(2) 证明见解析；
(3) $\boldsymbol{a≤ -\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数的最值
【点评】
本题梯度设置合理，从基础的解析式求解，到代数等式证明，再到综合最值、不等式求参数范围，全面考查二次函数核心知识，要求学生熟练掌握二次函数相关性质，具备良好的代数运算和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
（1）第一小问用待定系数法求解，先将已知的$m$、$a$代入得到两个点的坐标，再把两点代入二次函数表达式，列关于$b$、$c$的方程组求解，即可得到函数解析式。
（2）第二小问要证明$am+b=0$，只需将两个已知点代入二次函数表达式得到两个方程，通过两式作差消去公共项，整理即可得到待证结论。
（3）第三小问先利用第二问的结论得到$b=-am$，再推导得出$c=b=-am$；先将$x=1$代入函数，结合$y≥3a$和$a＜0$的条件求出$m$的取值范围；再利用二次函数最大值的顶点公式，将$b$、$c$用含$a$、$m$的式子代入，整理得到$a$和$m$的关系，最后结合$m$的范围即可求出$a$的取值范围。
【解析】
(1) 当$m=1,a=-1$时，二次函数图像过点$(2,-1)$、$(1,b)$，将两点代入$y=-x^2+bx+c$得：
$\begin{cases} -4+2b+c=-1 \\ -1+b+c=b \end{cases}$
解第二个方程得$c=1$，代入第一个方程解得$b=1$
$\therefore$二次函数的表达式为$y=-x^2+x+1$
(2) 证明：将$(m+1,a)$、$(m,b)$代入$y=ax^2+bx+c$得：
$\begin{cases} a(m+1)^2+b(m+1)+c=a \quad ① \\ am^2+bm+c=b \quad ② \end{cases}$
整理①式得：$am^2+2am+bm+b+c=0$
由②式移项得：$am^2+bm = b - c$
将其代入整理后的①式，得：$b - c + 2am + b + c = 0$
合并同类项化简得：$am + b = 0$，得证。
(3) 由(2)得$b=-am$，代入②式$am^2+bm+c=b$，化简得$c=-am$，即$b=c=-am$
当$x=1$时，$y=a+b+c=a-2am$，由题意$y≥3a$，即$a-2am≥3a$
移项得$-2am≥2a$，$\because a＜0$，不等式两边除以负数不等号变向，解得$m≥-1$
$\because$二次函数最大值为$-\dfrac{1}{4}$，$\therefore \dfrac{4ac-b^2}{4a}=-\dfrac{1}{4}$
将$b=c=-am$代入上式，化简得$\dfrac{1}{a}=m^2+4m=(m+2)^2-4$
$\because m≥-1$，$(m+2)^2-4$在$m≥-1$时随$m$增大而增大，当$m=-1$时，$(m+2)^2-4=-3$，即$m^2+4m≥-3$
$\therefore \dfrac{1}{a}≥-3$，结合$a＜0$，解得$a≤-\dfrac{1}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x^2+x+1}$；
(2) 证明见解析；
(3) $\boldsymbol{a≤ -\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的图像与性质
3. 二次函数的最值
【点评】
本题梯度设置合理，从基础的解析式求解，到代数等式证明，再到综合最值、不等式求参数范围，全面考查二次函数核心知识，要求学生熟练掌握二次函数相关性质，具备良好的代数运算和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
