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1.如图，小明不慎把家里的一块圆形玻璃打碎了.为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(
A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
B
).A.第①块
B.第②块
C.第③块
D.第④块
答案
1.B
解析
【分析】
要配到和原来大小相同的圆形玻璃，本质是要确定原圆的圆心和半径。根据圆的相关性质，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，因此带去的碎片需要包含原圆上一段完整的弧，才能通过弧上的点确定圆心和半径。我们只需要判断四块碎片中哪一块包含足够长的原圆周弧即可：观察图形，只有第②块保留了一段连续的原圆周的弧，其余碎片的原圆周部分都不足，无法确定出原圆的圆心和半径。
【解析】
我们知道：不在同一条直线上的三个点可以确定唯一的一个圆。
要得到和原来大小一样的圆，就需要确定原圆的圆心和半径：若碎片上有一段连续的原圆周弧，我们可以在弧上任取三个点，连接其中两组点得到两条弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上点的距离就是原圆的半径，以此就能确定原圆。
观察四块碎片，只有第②块保留了足够长的连续原圆周弧，其余三块均无法提供足够的点确定原圆，因此应带第②块。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理的应用
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关性质，将确定圆的知识点和生活场景结合，解题的关键是理解要复原圆必须保留足够长度的原圆弧，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.8
要配到和原来大小相同的圆形玻璃，本质是要确定原圆的圆心和半径。根据圆的相关性质，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，因此带去的碎片需要包含原圆上一段完整的弧，才能通过弧上的点确定圆心和半径。我们只需要判断四块碎片中哪一块包含足够长的原圆周弧即可：观察图形，只有第②块保留了一段连续的原圆周的弧，其余碎片的原圆周部分都不足，无法确定出原圆的圆心和半径。
【解析】
我们知道：不在同一条直线上的三个点可以确定唯一的一个圆。
要得到和原来大小一样的圆，就需要确定原圆的圆心和半径：若碎片上有一段连续的原圆周弧，我们可以在弧上任取三个点，连接其中两组点得到两条弦，分别作两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上点的距离就是原圆的半径，以此就能确定原圆。
观察四块碎片，只有第②块保留了足够长的连续原圆周弧，其余三块均无法提供足够的点确定原圆，因此应带第②块。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理的应用
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关性质，将确定圆的知识点和生活场景结合，解题的关键是理解要复原圆必须保留足够长度的原圆弧，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.8
2.对于三角形的外心,下列说法错误的是(
A.它到三角形三个顶点的距离相等
B.它是三角形外接圆的圆心
C.它是三角形三条边中垂线的交点
D.它一定在三角形的外部
D
).A.它到三角形三个顶点的距离相等
B.它是三角形外接圆的圆心
C.它是三角形三条边中垂线的交点
D.它一定在三角形的外部
答案
2.D
解析
【分析】
这是一道考查三角形外心相关概念与性质的判断题，解题时需先明确三角形外心的定义、性质以及不同类型三角形外心的位置，再逐一验证每个选项的正误，最终选出说法错误的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 选项A：三角形外心是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离都等于外接圆的半径，因此到三角形三个顶点的距离相等，该说法正确。
2. 选项B：根据定义，三角形的外心就是该三角形外接圆的圆心，该说法正确。
3. 选项C：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，三角形三条边垂直平分线的交点到三个顶点的距离都相等，这个交点就是三角形的外心，该说法正确。
4. 选项D：三角形外心的位置和三角形类型有关：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点处，只有钝角三角形的外心在三角形外部，因此“一定在三角形的外部”的说法错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的定义；三角形外心的性质；三角形外接圆的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对三角形外心相关知识点的记忆与理解，掌握不同类型三角形外心的位置差异是避免出错的关键。
【难度系数】
0.8
这是一道考查三角形外心相关概念与性质的判断题，解题时需先明确三角形外心的定义、性质以及不同类型三角形外心的位置，再逐一验证每个选项的正误，最终选出说法错误的选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 选项A：三角形外心是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离都等于外接圆的半径，因此到三角形三个顶点的距离相等，该说法正确。
2. 选项B：根据定义，三角形的外心就是该三角形外接圆的圆心，该说法正确。
3. 选项C：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，三角形三条边垂直平分线的交点到三个顶点的距离都相等，这个交点就是三角形的外心，该说法正确。
4. 选项D：三角形外心的位置和三角形类型有关：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点处，只有钝角三角形的外心在三角形外部，因此“一定在三角形的外部”的说法错误。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的定义；三角形外心的性质；三角形外接圆的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对三角形外心相关知识点的记忆与理解，掌握不同类型三角形外心的位置差异是避免出错的关键。
【难度系数】
0.8
3.下列三角形的外心一定在该三角形外部的是(
D
).答案
3.D
解析
【分析】
要判断三角形外心的位置，首先明确不同类型三角形外心的位置规律：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点（属于三角形边上），钝角三角形的外心在三角形外部。因此本题只需先根据三角形内角和为180°计算各选项三角形的内角度数，判断三角形类型，找到钝角三角形即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：三角形第三个内角为$180° -50° -70° =60°$，三个角均为锐角，属于锐角三角形，外心在三角形内部，不符合要求；
2. 选项B：三角形第三个内角为$180° -65° -65° =50°$，三个角均为锐角，属于锐角三角形，外心在三角形内部，不符合要求；
3. 选项C：该三角形有一个直角，属于直角三角形，外心在斜边中点，在三角形的边上，不符合要求；
4. 选项D：该三角形有一个内角为$110°＞90°$，属于钝角三角形，外心在三角形外部，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质；三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要牢记不同类型三角形外心的位置规律，结合三角形内角和判断三角形类型即可快速解题，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断三角形外心的位置，首先明确不同类型三角形外心的位置规律：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点（属于三角形边上），钝角三角形的外心在三角形外部。因此本题只需先根据三角形内角和为180°计算各选项三角形的内角度数，判断三角形类型，找到钝角三角形即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：三角形第三个内角为$180° -50° -70° =60°$，三个角均为锐角，属于锐角三角形，外心在三角形内部，不符合要求；
2. 选项B：三角形第三个内角为$180° -65° -65° =50°$，三个角均为锐角，属于锐角三角形，外心在三角形内部，不符合要求；
3. 选项C：该三角形有一个直角，属于直角三角形，外心在斜边中点，在三角形的边上，不符合要求；
4. 选项D：该三角形有一个内角为$110°＞90°$，属于钝角三角形，外心在三角形外部，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的性质；三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题属于基础概念应用题，只要牢记不同类型三角形外心的位置规律，结合三角形内角和判断三角形类型即可快速解题，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.用反证法证明命题“在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$的对边是$a$，$b$，若$∠ A＞∠ B$，则$a＞b.$”的第一步应假设(
A.$a＜b$
B.$a≤ b$
C.$∠ A＜∠ B$
D.$∠ A≤ ∠ B$
B
).A.$a＜b$
B.$a≤ b$
C.$∠ A＜∠ B$
D.$∠ A≤ ∠ B$
答案
4.B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确反证法的第一步要求：反证法证明命题时，第一步需先假设命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。首先我们先提取原命题的结论，原命题的结论为“$a＞b$”，接下来思考“$a＞b$”的反面表述：大于的否定是不大于，即小于或者等于，也就是$a≤b$，据此就可以选出正确选项。
【解析】
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题“若$∠A＞∠B$，则$a＞b$”的结论是“$a＞b$”，“$a＞b$”的反面为“$a≤b$”，因此第一步应假设$a≤b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始步骤，解题核心是准确找到命题的结论，再正确写出结论的反面，要注意不等号的否定要完整，“＞”的否定是“≤”，不能遗漏等于的情况，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确反证法的第一步要求：反证法证明命题时，第一步需先假设命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。首先我们先提取原命题的结论，原命题的结论为“$a＞b$”，接下来思考“$a＞b$”的反面表述：大于的否定是不大于，即小于或者等于，也就是$a≤b$，据此就可以选出正确选项。
【解析】
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题“若$∠A＞∠B$，则$a＞b$”的结论是“$a＞b$”，“$a＞b$”的反面为“$a≤b$”，因此第一步应假设$a≤b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始步骤，解题核心是准确找到命题的结论，再正确写出结论的反面，要注意不等号的否定要完整，“＞”的否定是“≤”，不能遗漏等于的情况，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
5.如图,点 A 在平面直角坐标系中的坐标为(-3,0),则△ABC 的外心的坐标为(
A.(0,0)
B.(-1,1)
C.(-2,-1)
D.(-2,1)
D
).A.(0,0)
B.(-1,1)
C.(-2,-1)
D.(-2,1)
答案
5.D
解析
【分析】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。解题时可利用网格特征简化计算：首先观察到BC是竖直方向的线段，其垂直平分线是水平直线，可先确定外心的纵坐标，快速排除不符合的选项；再验证剩余选项中哪个点到A、B两点的距离相等，符合条件的就是△ABC的外心。
【解析】
首先根据网格确定三个顶点坐标：已知A(0,-4)，由图可得B(3,-1)，C(3,3)。
1. 求BC的垂直平分线：BC两点横坐标相同，为竖直线段，其垂直平分线是水平线，纵坐标为B、C纵坐标的平均值，即$y=\frac{-1+3}{2}=1$，因此外心纵坐标为1，可排除纵坐标为0的A选项、纵坐标为-1的C选项，仅剩B(-1,1)和D(-2,1)。
2. 验证剩余选项：外心到三个顶点距离相等。
对B(-1,1)：到A的距离平方为$(-1-0)^2 + (1+4)^2=26$，到B的距离平方为$(-1-3)^2 + (1+1)^2=20$，二者不相等，排除B选项。
对D(-2,1)：到A的距离平方为$(-2-0)^2 + (1+4)^2=29$，到B的距离平方为$(-2-3)^2 + (1+1)^2=29$，到C的距离平方为$(-2-3)^2 + (1-3)^2=29$，三者相等，符合外心性质。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的定义、垂直平分线的性质、两点间距离计算
【点评】
本题考查三角形外心的性质，解题时结合网格特征先筛选错误选项再验证，能有效提高解题效率，不需要作出全部垂直平分线即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。解题时可利用网格特征简化计算：首先观察到BC是竖直方向的线段，其垂直平分线是水平直线，可先确定外心的纵坐标，快速排除不符合的选项；再验证剩余选项中哪个点到A、B两点的距离相等，符合条件的就是△ABC的外心。
【解析】
首先根据网格确定三个顶点坐标：已知A(0,-4)，由图可得B(3,-1)，C(3,3)。
1. 求BC的垂直平分线：BC两点横坐标相同，为竖直线段，其垂直平分线是水平线，纵坐标为B、C纵坐标的平均值，即$y=\frac{-1+3}{2}=1$，因此外心纵坐标为1，可排除纵坐标为0的A选项、纵坐标为-1的C选项，仅剩B(-1,1)和D(-2,1)。
2. 验证剩余选项：外心到三个顶点距离相等。
对B(-1,1)：到A的距离平方为$(-1-0)^2 + (1+4)^2=26$，到B的距离平方为$(-1-3)^2 + (1+1)^2=20$，二者不相等，排除B选项。
对D(-2,1)：到A的距离平方为$(-2-0)^2 + (1+4)^2=29$，到B的距离平方为$(-2-3)^2 + (1+1)^2=29$，到C的距离平方为$(-2-3)^2 + (1-3)^2=29$，三者相等，符合外心性质。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的定义、垂直平分线的性质、两点间距离计算
【点评】
本题考查三角形外心的性质，解题时结合网格特征先筛选错误选项再验证，能有效提高解题效率，不需要作出全部垂直平分线即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
6.△ABC的外心在三角形的一边上，则△ABC的形状是
直角
三角形。答案
6.直角
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形外心的定义与性质：外心是三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。其次梳理不同类型三角形外心的位置规律：锐角三角形外心在内部，钝角三角形外心在外部，直角三角形外心在斜边中点（即三角形的边上）。也可结合圆周角定理推导：若外心在三角形的某条边上，则这条边是外接圆的直径，直径所对的圆周角为直角，即可判断三角形形状。
【解析】
已知三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点：
1. 若三角形是锐角三角形，外心位于三角形内部，不符合题意；
2. 若三角形是钝角三角形，外心位于三角形外部，不符合题意；
3. 若三角形是直角三角形，外心位于斜边的中点处，也就是在三角形的斜边上，符合题目“外心在三角形的一边上”的条件。
也可通过圆周角定理推论证明：外心在某条边上时，该边为外接圆的直径，直径所对的圆周角为直角，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形外心的性质；圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握不同类型三角形外心的位置特征，也可结合圆的基本性质推导三角形的形状，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形外心的定义与性质：外心是三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等。其次梳理不同类型三角形外心的位置规律：锐角三角形外心在内部，钝角三角形外心在外部，直角三角形外心在斜边中点（即三角形的边上）。也可结合圆周角定理推导：若外心在三角形的某条边上，则这条边是外接圆的直径，直径所对的圆周角为直角，即可判断三角形形状。
【解析】
已知三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点：
1. 若三角形是锐角三角形，外心位于三角形内部，不符合题意；
2. 若三角形是钝角三角形，外心位于三角形外部，不符合题意；
3. 若三角形是直角三角形，外心位于斜边的中点处，也就是在三角形的斜边上，符合题目“外心在三角形的一边上”的条件。
也可通过圆周角定理推论证明：外心在某条边上时，该边为外接圆的直径，直径所对的圆周角为直角，因此该三角形为直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形外心的性质；圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握不同类型三角形外心的位置特征，也可结合圆的基本性质推导三角形的形状，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
7.已知A,B,C三点.根据下列条件,说明A,B,C三点能否确定一个圆.如果能,求出圆的半径;如果不能,请说明理由.
(1)$AB=2\sqrt{3}+1$,$BC=4\sqrt{3}$,$AC=2\sqrt{3}-1$.
(2)$AB=AC=10$,$BC=12$.
(1)$AB=2\sqrt{3}+1$,$BC=4\sqrt{3}$,$AC=2\sqrt{3}-1$.
(2)$AB=AC=10$,$BC=12$.
答案
7.(1)$\because 2\sqrt{3}+1+2\sqrt{3}-1=4\sqrt{3},\therefore AB+AC=BC$,$\therefore A,B,C$三点共线，
$\therefore A,B,C$三点不能确定一个圆.
(2)$\because 10+10=20＞12,\therefore A,B,C$三点不共线,$\therefore A,B,C$三点能确定一个圆.
过点$A$作$AD⊥ BC$,连接$BO$.
$\because BC=12,\therefore DB=6$,
$\because AB=10,\therefore AD=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
设$OB=x$,则$DO=8-x$,$x^2-6^2=(8-x)^2$,解得$x=\frac{25}{4}$.
$\therefore A,B,C$三点能确定一个半径为$\frac{25}{4}$的圆.
$\therefore A,B,C$三点不能确定一个圆.
(2)$\because 10+10=20＞12,\therefore A,B,C$三点不共线,$\therefore A,B,C$三点能确定一个圆.
过点$A$作$AD⊥ BC$,连接$BO$.
$\because BC=12,\therefore DB=6$,
$\because AB=10,\therefore AD=\sqrt{10^2-6^2}=8$.
设$OB=x$,则$DO=8-x$,$x^2-6^2=(8-x)^2$,解得$x=\frac{25}{4}$.
$\therefore A,B,C$三点能确定一个半径为$\frac{25}{4}$的圆.
解析
【分析】
解题核心依据是：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，因此首先要通过三条线段的长度关系判断三点是否共线：若两条较短线段的长度和等于最长线段长度，则三点共线，不能确定圆；若不相等则三点不共线，可确定圆，再进一步求解外接圆半径。
针对（1）：先找到最长线段，计算两条短线段之和，验证是否等于最长线段，即可判断共线情况。
针对（2）：确认三点不共线后，利用等腰三角形三线合一的性质，可知外接圆圆心在底边的高上，设半径为未知数，结合勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
(1) 计算两条较短线段的和：
$\because AB+AC=(2\sqrt{3}+1)+(2\sqrt{3}-1)=4\sqrt{3}=BC$
$\therefore A,B,C$三点共线，不符合确定圆的条件，因此不能确定一个圆。
(2) 首先判断共线情况：
$\because AB+AC=10+10=20＞12=BC$
$\therefore A,B,C$三点不共线，可以确定一个圆。
过点$A$作$AD⊥ BC$，设外接圆圆心为$O$，半径为$x$，根据等腰三角形性质，圆心$O$在$AD$上，连接$BO$：
$\because BC=12$，$\therefore DB=\frac{1}{2}BC=6$
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-DB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
$\because OB=OA=x$，$\therefore DO=AD-OA=8-x$
在$Rt△ BOD$中，由勾股定理得：$x^2=(8-x)^2+6^2$
解方程得：$x^2=64-16x+x^2+36$，化简得$16x=100$，解得$x=\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) A、B、C三点不能确定一个圆，理由为三点共线；
(2) A、B、C三点能确定一个圆，圆的半径为$\frac{25}{4}$。
【知识点】
三点定圆条件、勾股定理、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的基础概念部分的典型习题，既考查了三点确定圆的概念辨析，又结合等腰三角形、勾股定理考查外接圆半径的计算，解题时需先完成共线判定，再结合几何性质计算，侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题核心依据是：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，因此首先要通过三条线段的长度关系判断三点是否共线：若两条较短线段的长度和等于最长线段长度，则三点共线，不能确定圆；若不相等则三点不共线，可确定圆，再进一步求解外接圆半径。
针对（1）：先找到最长线段，计算两条短线段之和，验证是否等于最长线段，即可判断共线情况。
针对（2）：确认三点不共线后，利用等腰三角形三线合一的性质，可知外接圆圆心在底边的高上，设半径为未知数，结合勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
(1) 计算两条较短线段的和：
$\because AB+AC=(2\sqrt{3}+1)+(2\sqrt{3}-1)=4\sqrt{3}=BC$
$\therefore A,B,C$三点共线，不符合确定圆的条件，因此不能确定一个圆。
(2) 首先判断共线情况：
$\because AB+AC=10+10=20＞12=BC$
$\therefore A,B,C$三点不共线，可以确定一个圆。
过点$A$作$AD⊥ BC$，设外接圆圆心为$O$，半径为$x$，根据等腰三角形性质，圆心$O$在$AD$上，连接$BO$：
$\because BC=12$，$\therefore DB=\frac{1}{2}BC=6$
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-DB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$
$\because OB=OA=x$，$\therefore DO=AD-OA=8-x$
在$Rt△ BOD$中，由勾股定理得：$x^2=(8-x)^2+6^2$
解方程得：$x^2=64-16x+x^2+36$，化简得$16x=100$，解得$x=\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) A、B、C三点不能确定一个圆，理由为三点共线；
(2) A、B、C三点能确定一个圆，圆的半径为$\frac{25}{4}$。
【知识点】
三点定圆条件、勾股定理、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的基础概念部分的典型习题，既考查了三点确定圆的概念辨析，又结合等腰三角形、勾股定理考查外接圆半径的计算，解题时需先完成共线判定，再结合几何性质计算，侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
