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1. 对于抛物线$y=2(x-1)^2+3$，下列说法正确的是 （）
A.开口向下
B.顶点坐标为$(1,3)$
C.对称轴为直线$x=-1$
D.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而增大
A.开口向下
B.顶点坐标为$(1,3)$
C.对称轴为直线$x=-1$
D.当$x＞-3$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义：$a$决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，再结合开口方向判断增减性，最后逐一验证每个选项即可得出正确答案。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$：
1. 判断选项A：式中$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，A错误；
2. 判断选项B：式中$h=1$，$k=3$，因此顶点坐标为$(1,3)$，B正确；
3. 判断选项C：抛物线对称轴为直线$x=h=1$，不是$x=-1$，C错误；
4. 判断选项D：由于抛物线开口向上，在对称轴右侧即$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$-3＜x＜1$时$y$随$x$的增大而减小，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象与性质
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点要求学生熟练掌握二次函数顶点式中各参数对应的图象特征，只要熟记相关性质就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义：$a$决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，再结合开口方向判断增减性，最后逐一验证每个选项即可得出正确答案。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$：
1. 判断选项A：式中$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，A错误；
2. 判断选项B：式中$h=1$，$k=3$，因此顶点坐标为$(1,3)$，B正确；
3. 判断选项C：抛物线对称轴为直线$x=h=1$，不是$x=-1$，C错误；
4. 判断选项D：由于抛物线开口向上，在对称轴右侧即$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$-3＜x＜1$时$y$随$x$的增大而减小，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象与性质
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，重点要求学生熟练掌握二次函数顶点式中各参数对应的图象特征，只要熟记相关性质就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
2.二次函数$y=-(x+1)^2 -2$图象的顶点所在的象限是 （）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$）的顶点坐标为$(h,k)$，注意解析式中括号内是加法时，要转化为减法形式确定$h$的值，避免符号错误；第二步，得到顶点坐标后，根据平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征，判断顶点所在的象限。
【解析】
解：对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
将给定的二次函数$y=-(x+1)^2-2$变形为顶点式的标准形式：$y=-[x-(-1)]^2+(-2)$，
可得$h=-1$，$k=-2$，即该二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-2)$。
根据象限的坐标符号特征：第三象限内的点横坐标为负、纵坐标为负，可知点$(-1,-2)$在第三象限。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.平面直角坐标系象限的坐标特征
【点评】
本题属于基础型考题，核心考查对二次函数顶点式的掌握程度，解题的易错点是容易混淆顶点坐标中$h$的符号，只要准确掌握顶点式的基本性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$）的顶点坐标为$(h,k)$，注意解析式中括号内是加法时，要转化为减法形式确定$h$的值，避免符号错误；第二步，得到顶点坐标后，根据平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征，判断顶点所在的象限。
【解析】
解：对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
将给定的二次函数$y=-(x+1)^2-2$变形为顶点式的标准形式：$y=-[x-(-1)]^2+(-2)$，
可得$h=-1$，$k=-2$，即该二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-2)$。
根据象限的坐标符号特征：第三象限内的点横坐标为负、纵坐标为负，可知点$(-1,-2)$在第三象限。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.平面直角坐标系象限的坐标特征
【点评】
本题属于基础型考题，核心考查对二次函数顶点式的掌握程度，解题的易错点是容易混淆顶点坐标中$h$的符号，只要准确掌握顶点式的基本性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3.二次函数$y=(x-2)^2 -1$的图象大致是（）
答案
$\boldsymbol{B}$
解析
【分析】
判断二次函数图象可从顶点式的核心性质逐步推导：第一步先看二次项系数$a$的符号确定开口方向，本题$a=1＞0$，开口向上，可直接排除开口向下的A选项；第二步根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$、对称轴为直线$x=h$，得出该函数顶点为$(2,-1)$，对称轴为直线$x=2$，即对称轴在y轴右侧、顶点在第四象限，可排除对称轴在y轴左侧的C、D选项；也可代入$x=0$求与y轴的交点进一步验证，最终锁定正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=(x-2)^2 -1$：
1. 判开口：二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，选项A开口向下，排除A；
2. 找顶点与对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，因此该函数顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为直线$x=2$，即对称轴在y轴右侧，顶点在第四象限。选项C、D的对称轴均在y轴左侧，不符合特征，排除C、D；
3. 验证交点：代入$x=0$，得$y=(0-2)^2-1=3$，即抛物线与y轴交于$(0,3)$，在y轴正半轴，选项B符合所有特征。
【答案】
$\boldsymbol{B}$
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数图象特征
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，通过“开口方向-顶点/对称轴-特殊点交点”的顺序逐步排除错误选项即可快速解题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8
判断二次函数图象可从顶点式的核心性质逐步推导：第一步先看二次项系数$a$的符号确定开口方向，本题$a=1＞0$，开口向上，可直接排除开口向下的A选项；第二步根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$、对称轴为直线$x=h$，得出该函数顶点为$(2,-1)$，对称轴为直线$x=2$，即对称轴在y轴右侧、顶点在第四象限，可排除对称轴在y轴左侧的C、D选项；也可代入$x=0$求与y轴的交点进一步验证，最终锁定正确选项。
【解析】
对于二次函数$y=(x-2)^2 -1$：
1. 判开口：二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，选项A开口向下，排除A；
2. 找顶点与对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，因此该函数顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为直线$x=2$，即对称轴在y轴右侧，顶点在第四象限。选项C、D的对称轴均在y轴左侧，不符合特征，排除C、D；
3. 验证交点：代入$x=0$，得$y=(0-2)^2-1=3$，即抛物线与y轴交于$(0,3)$，在y轴正半轴，选项B符合所有特征。
【答案】
$\boldsymbol{B}$
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数图象特征
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，通过“开口方向-顶点/对称轴-特殊点交点”的顺序逐步排除错误选项即可快速解题，熟练掌握顶点式中各参数对应的图象性质是解题的核心。
【难度系数】
0.8
4.将抛物线$y=3x^2$向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（）
A.$y=3(x+2)^2 -1$
B.$y=3(x-2)^2 +1$
C.$y=3(x+2)^2 +1$
D.$y=3(x-2)^2 -1$
A.$y=3(x+2)^2 -1$
B.$y=3(x-2)^2 +1$
C.$y=3(x+2)^2 +1$
D.$y=3(x-2)^2 -1$
答案
D
解析
【分析】
解决这道题的核心是掌握二次函数图象的平移规律。首先明确平移的法则：左右平移是对自变量$x$进行调整，遵循“左加右减”（向左平移给$x$加平移单位，向右平移给$x$减平移单位）；上下平移是对整个函数值进行调整，遵循“上加下减”（向上平移给整体加平移单位，向下平移给整体减平移单位）。我们按照题目给出的平移顺序，依次对原解析式进行变换即可得到结果。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=3x^2$：
1. 第一步向右平移2个单位长度，根据“左加右减”规律，将$x$替换为$x-2$，可得平移后的解析式为$y=3(x-2)^2$；
2. 第二步向下平移1个单位长度，根据“上加下减”规律，给整体减去1，可得最终解析式为$y=3(x-2)^2 -1$。
对照选项，只有D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，只要准确理解平移法则中“左加右减针对自变量、上加下减针对函数整体”的要求，避免搞反加减方向，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心是掌握二次函数图象的平移规律。首先明确平移的法则：左右平移是对自变量$x$进行调整，遵循“左加右减”（向左平移给$x$加平移单位，向右平移给$x$减平移单位）；上下平移是对整个函数值进行调整，遵循“上加下减”（向上平移给整体加平移单位，向下平移给整体减平移单位）。我们按照题目给出的平移顺序，依次对原解析式进行变换即可得到结果。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=3x^2$：
1. 第一步向右平移2个单位长度，根据“左加右减”规律，将$x$替换为$x-2$，可得平移后的解析式为$y=3(x-2)^2$；
2. 第二步向下平移1个单位长度，根据“上加下减”规律，给整体减去1，可得最终解析式为$y=3(x-2)^2 -1$。
对照选项，只有D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，只要准确理解平移法则中“左加右减针对自变量、上加下减针对函数整体”的要求，避免搞反加减方向，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
5.若抛物线$y=(x-m)^2+(m+3)$的顶点在第二象限，则$m$的取值范围是（）
A.$m＜0$
B.$m＞-3$
C.$m＜-3$或$m＞0$
D.$-3＜m＜0$
A.$m＜0$
B.$m＞-3$
C.$m＜-3$或$m＞0$
D.$-3＜m＜0$
答案
D
解析
【分析】
解题思路：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，先确定本题抛物线的顶点坐标；再结合第二象限内点的坐标特征（横坐标小于0，纵坐标大于0）列出关于$m$的不等式组，最后求解不等式组得到$m$的取值范围即可。
【解析】
对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
则抛物线$y=(x-m)^2+(m+3)$的顶点坐标为$(m, m+3)$。
∵ 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴ 可列不等式组：
$\begin{cases}m ＜ 0 \\m+3 ＞ 0\end{cases}$
解不等式$m+3＞0$，得$m ＞ -3$，
结合$m＜0$，取公共解集得$-3 ＜ m ＜ 0$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质、象限点的坐标特征、解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础题型，核心是对二次函数顶点式顶点坐标的准确识别，结合象限坐标的符号规则列不等式求解，掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，先确定本题抛物线的顶点坐标；再结合第二象限内点的坐标特征（横坐标小于0，纵坐标大于0）列出关于$m$的不等式组，最后求解不等式组得到$m$的取值范围即可。
【解析】
对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
则抛物线$y=(x-m)^2+(m+3)$的顶点坐标为$(m, m+3)$。
∵ 顶点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∴ 可列不等式组：
$\begin{cases}m ＜ 0 \\m+3 ＞ 0\end{cases}$
解不等式$m+3＞0$，得$m ＞ -3$，
结合$m＜0$，取公共解集得$-3 ＜ m ＜ 0$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质、象限点的坐标特征、解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础题型，核心是对二次函数顶点式顶点坐标的准确识别，结合象限坐标的符号规则列不等式求解，掌握相关基础概念就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
6. 抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+2$的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是，当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而。
答案
解：
在二次函数$y=a(x-h)^2+k$的形式中，$a=-\dfrac{1}{2}$，$h=1$，$k=2$。
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，
$\therefore$抛物线开口向下，
对称轴是直线$x=1$，
顶点坐标是$(1,2)$，
当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，
当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
答案依次为：下；$x=1$；$(1,2)$；增大；减小。
在二次函数$y=a(x-h)^2+k$的形式中，$a=-\dfrac{1}{2}$，$h=1$，$k=2$。
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，
$\therefore$抛物线开口向下，
对称轴是直线$x=1$，
顶点坐标是$(1,2)$，
当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，
当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。
答案依次为：下；$x=1$；$(1,2)$；增大；减小。
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的基本性质，解题思路如下：首先明确所给抛物线解析式是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，第一步先提取参数$a、h、k$的取值；再根据$a$的符号判断开口方向，直接由$h、k$得到对称轴和顶点坐标；最后结合开口方向，判断对称轴左右两侧的函数增减性即可。
【解析】
已知抛物线解析式为顶点式$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+2$，对应$y=a(x-h)^2+k$的形式，可得参数：$a=-\dfrac{1}{2}$，$h=1$，$k=2$。
1. 开口方向：$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$抛物线开口向下；
2. 对称轴：顶点式中对称轴为直线$x=h$，即直线$x=1$；
3. 顶点坐标：顶点式中顶点坐标为$(h,k)$，即$(1,2)$；
4. 增减性：因为抛物线开口向下，所以在对称轴左侧（$x＜1$）时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞1$）时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
下；$x=1$；$(1,2)$；增大；减小
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的对称轴与顶点；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考察题，核心是掌握顶点式中各参数对应的几何意义，以及开口方向对函数增减性的影响，熟练记忆相关结论即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的基本性质，解题思路如下：首先明确所给抛物线解析式是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，第一步先提取参数$a、h、k$的取值；再根据$a$的符号判断开口方向，直接由$h、k$得到对称轴和顶点坐标；最后结合开口方向，判断对称轴左右两侧的函数增减性即可。
【解析】
已知抛物线解析式为顶点式$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2+2$，对应$y=a(x-h)^2+k$的形式，可得参数：$a=-\dfrac{1}{2}$，$h=1$，$k=2$。
1. 开口方向：$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$抛物线开口向下；
2. 对称轴：顶点式中对称轴为直线$x=h$，即直线$x=1$；
3. 顶点坐标：顶点式中顶点坐标为$(h,k)$，即$(1,2)$；
4. 增减性：因为抛物线开口向下，所以在对称轴左侧（$x＜1$）时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞1$）时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
下；$x=1$；$(1,2)$；增大；减小
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的对称轴与顶点；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考察题，核心是掌握顶点式中各参数对应的几何意义，以及开口方向对函数增减性的影响，熟练记忆相关结论即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7.若$A(1,y_1),B(2,y_2)$两点都在抛物线$y=-(x-3)^2 +k$上，则$y_1,y_2$的大小关系是。
答案
解：
抛物线$y=-(x-3)^2 +k$的二次项系数$a=-1＜0$，
因此该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$。
当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大。
因为$1＜2＜3$，
所以$y_1 ＜ y_2$。
抛物线$y=-(x-3)^2 +k$的二次项系数$a=-1＜0$，
因此该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$。
当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大。
因为$1＜2＜3$，
所以$y_1 ＜ y_2$。
解析
【分析】
要比较抛物线上两点的函数值大小，首先需明确该抛物线的开口方向、对称轴，判断两点所处的函数增减区间，再结合横坐标的大小关系推导函数值的大小。第一步先根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，确定$a$的正负判断开口方向，得到对称轴$x=h$；第二步判断两个点的横坐标与对称轴的大小关系，确定两点位于对称轴同侧还是异侧；第三步结合对应区间的增减性，比较横坐标大小即可得出$y$值的大小关系。
【解析】
∵ 抛物线$y=-(x-3)^2 +k$的二次项系数$a=-1＜0$，
∴ 该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$，且当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大。
∵ 点$A$、$B$的横坐标满足$1＜2＜3$，两点均在对称轴左侧的递增区间内，
∴ $y_1 ＜ y_2$。
【答案】
$y_1 ＜ y_2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是先根据抛物线的顶点式确定开口方向与对称轴，再利用增减性比较函数值大小，熟练掌握二次函数的图象性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要比较抛物线上两点的函数值大小，首先需明确该抛物线的开口方向、对称轴，判断两点所处的函数增减区间，再结合横坐标的大小关系推导函数值的大小。第一步先根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，确定$a$的正负判断开口方向，得到对称轴$x=h$；第二步判断两个点的横坐标与对称轴的大小关系，确定两点位于对称轴同侧还是异侧；第三步结合对应区间的增减性，比较横坐标大小即可得出$y$值的大小关系。
【解析】
∵ 抛物线$y=-(x-3)^2 +k$的二次项系数$a=-1＜0$，
∴ 该抛物线开口向下，对称轴为直线$x=3$，且当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而增大。
∵ 点$A$、$B$的横坐标满足$1＜2＜3$，两点均在对称轴左侧的递增区间内，
∴ $y_1 ＜ y_2$。
【答案】
$y_1 ＜ y_2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是先根据抛物线的顶点式确定开口方向与对称轴，再利用增减性比较函数值大小，熟练掌握二次函数的图象性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
