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7.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点P是边AD的中点.连接BP并延长,与CD的延长线交于点F,问:线段CF上是否存在点Q,使得△PFQ为等腰三角形?若存在,请求出DQ;若不存在,请说明理由.
答案
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CF，∠A=∠PDF=∠PDQ=90°，
∵ P是边AD的中点，AD=6，
∴ AP=PD=3，
又∵ ∠APB=∠DPF，
∴ △APB ≌ △DPF（ASA），
∴ FD=AB=4，
在Rt△ABP中，BP=√(AP²+AB²)=√(3²+4²)=5，即PF=5。
设DQ=x，点Q在线段CF上，分三种情况讨论等腰△PFQ：
1. 当PF=FQ=5时：
此时点Q在D、C之间，FQ=FD+DQ=4+x，
列方程得：4+x=5，
解得x=1，符合题意，即DQ=1。
2. 当PQ=PF=5时：
在Rt△PDQ中，由勾股定理得PQ²=PD²+DQ²，
列方程得：5²=3²+x²，
解得x₁=4，x₂=-4（长度非负，舍去），
此时点Q与点C重合，在线段CF上，符合题意，即DQ=4。
3. 当FQ=PQ时：
此时点Q在F、D之间，FQ=FD-DQ=4-x，
列方程得：(4-x)²=3²+x²，
展开整理得16-8x+x²=9+x²，
解得x=7/8，符合题意，即DQ=7/8。
答：线段CF上存在满足条件的点Q，DQ的长为1、4或7/8。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CF，∠A=∠PDF=∠PDQ=90°，
∵ P是边AD的中点，AD=6，
∴ AP=PD=3，
又∵ ∠APB=∠DPF，
∴ △APB ≌ △DPF（ASA），
∴ FD=AB=4，
在Rt△ABP中，BP=√(AP²+AB²)=√(3²+4²)=5，即PF=5。
设DQ=x，点Q在线段CF上，分三种情况讨论等腰△PFQ：
1. 当PF=FQ=5时：
此时点Q在D、C之间，FQ=FD+DQ=4+x，
列方程得：4+x=5，
解得x=1，符合题意，即DQ=1。
2. 当PQ=PF=5时：
在Rt△PDQ中，由勾股定理得PQ²=PD²+DQ²，
列方程得：5²=3²+x²，
解得x₁=4，x₂=-4（长度非负，舍去），
此时点Q与点C重合，在线段CF上，符合题意，即DQ=4。
3. 当FQ=PQ时：
此时点Q在F、D之间，FQ=FD-DQ=4-x，
列方程得：(4-x)²=3²+x²，
展开整理得16-8x+x²=9+x²，
解得x=7/8，符合题意，即DQ=7/8。
答：线段CF上存在满足条件的点Q，DQ的长为1、4或7/8。
解析
【分析】
解决这道题首先从矩形的性质入手，矩形对边平行、内角为直角，首先可证明△APB与△DPF全等，得到FD的长度以及PF的长度，这是后续计算的基础。接下来要判断线段CF上是否存在Q使△PFQ为等腰三角形，由于等腰三角形的腰和底未明确，因此需要分三种情况讨论：①PF和FQ为腰（即PF=FQ）；②PF和PQ为腰（即PQ=PF）；③PQ和FQ为腰（即FQ=PQ）。每种情况结合线段和差关系或勾股定理列方程求解，最后验证得到的Q点是否在线段CF上，舍去不符合题意的解即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CF，∠A=∠PDF=∠PDQ=90°，
∵ P是边AD的中点，AD=6，
∴ AP=PD=3，
又
∵ ∠APB=∠DPF，
∴ △APB ≌ △DPF（ASA），
∴ FD=AB=4，
在Rt△ABP中，由勾股定理得$BP=\sqrt{AP^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，即$PF=5$。
设$DQ=x$，点Q在线段CF上，分三种情况讨论等腰△PFQ：
1. 当$PF=FQ=5$时：
此时点Q在D、C之间，$FQ=FD+DQ=4+x$，
列方程得：$4+x=5$，
解得$x=1$，符合题意，即$DQ=1$。
2. 当$PQ=PF=5$时：
在Rt△PDQ中，由勾股定理得$PQ^2=PD^2+DQ^2$，
列方程得：$5^2=3^2+x^2$，
解得$x_1=4$，$x_2=-4$（长度为非负数，舍去），
此时点Q与点C重合，在线段CF上，符合题意，即$DQ=4$。
3. 当$FQ=PQ$时：
此时点Q在F、D之间，$FQ=FD-DQ=4-x$，
列方程得：$(4-x)^2=3^2+x^2$，
展开整理得$16-8x+x^2=9+x^2$，
解得$x=\frac{7}{8}$，符合题意，即$DQ=\frac{7}{8}$。
【答案】
线段CF上存在满足条件的点Q，DQ的长为1、4或$\frac{7}{8}$。
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形分类讨论；勾股定理
【点评】
本题属于几何存在性问题，解题时需先求出基础线段的长度，再针对等腰三角形腰底不确定的情况进行分类讨论，同时要注意结合点的取值范围验证解的合理性，避免漏解或增解。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先从矩形的性质入手，矩形对边平行、内角为直角，首先可证明△APB与△DPF全等，得到FD的长度以及PF的长度，这是后续计算的基础。接下来要判断线段CF上是否存在Q使△PFQ为等腰三角形，由于等腰三角形的腰和底未明确，因此需要分三种情况讨论：①PF和FQ为腰（即PF=FQ）；②PF和PQ为腰（即PQ=PF）；③PQ和FQ为腰（即FQ=PQ）。每种情况结合线段和差关系或勾股定理列方程求解，最后验证得到的Q点是否在线段CF上，舍去不符合题意的解即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//CF，∠A=∠PDF=∠PDQ=90°，
∵ P是边AD的中点，AD=6，
∴ AP=PD=3，
又
∵ ∠APB=∠DPF，
∴ △APB ≌ △DPF（ASA），
∴ FD=AB=4，
在Rt△ABP中，由勾股定理得$BP=\sqrt{AP^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，即$PF=5$。
设$DQ=x$，点Q在线段CF上，分三种情况讨论等腰△PFQ：
1. 当$PF=FQ=5$时：
此时点Q在D、C之间，$FQ=FD+DQ=4+x$，
列方程得：$4+x=5$，
解得$x=1$，符合题意，即$DQ=1$。
2. 当$PQ=PF=5$时：
在Rt△PDQ中，由勾股定理得$PQ^2=PD^2+DQ^2$，
列方程得：$5^2=3^2+x^2$，
解得$x_1=4$，$x_2=-4$（长度为非负数，舍去），
此时点Q与点C重合，在线段CF上，符合题意，即$DQ=4$。
3. 当$FQ=PQ$时：
此时点Q在F、D之间，$FQ=FD-DQ=4-x$，
列方程得：$(4-x)^2=3^2+x^2$，
展开整理得$16-8x+x^2=9+x^2$，
解得$x=\frac{7}{8}$，符合题意，即$DQ=\frac{7}{8}$。
【答案】
线段CF上存在满足条件的点Q，DQ的长为1、4或$\frac{7}{8}$。
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形分类讨论；勾股定理
【点评】
本题属于几何存在性问题，解题时需先求出基础线段的长度，再针对等腰三角形腰底不确定的情况进行分类讨论，同时要注意结合点的取值范围验证解的合理性，避免漏解或增解。
【难度系数】
0.6
