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1.冬季流感频发，某公司有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了$x$人，则下列结论错误的是 （）
A.第1轮后有$(x+1)$人患了流感
B.第2轮又增加$x(x+1)$人患了流感
C.依题意可列方程$(x+1)^2=49$
D.按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患了流感
A.第1轮后有$(x+1)$人患了流感
B.第2轮又增加$x(x+1)$人患了流感
C.依题意可列方程$(x+1)^2=49$
D.按照这样的传播速度，三轮后一共会有245人患了流感
答案
D
解析
【分析】
解题时先明确传染问题的基本数量关系：初始1名患者，每轮每名患者传染x人。首先推导每轮的患者总数及新增患者数的表达式，再根据两轮后共49名患者的条件列方程求出传染数x，最后计算三轮后的总患者数，逐一验证各选项的正误即可。
【解析】
已知初始患流感人数为1人，每轮平均1人传染x人：
1. 验证选项A：第1轮传染中，1名患者传染x人，因此第1轮后总患病人数为$1+x=(x+1)$人，A表述正确，不符合题意。
2. 验证选项B：第2轮传染时，共有$(x+1)$名患者参与传染，每名患者传染x人，因此第2轮新增患病人数为$x(x+1)$人，B表述正确，不符合题意。
3. 验证选项C：两轮后总患病人数 = 第1轮后人数 + 第2轮新增人数，即$(x+1) + x(x+1) = (x+1)^2$，结合两轮后共49人患病，可列方程$(x+1)^2=49$，C表述正确，不符合题意。
4. 求解方程$(x+1)^2=49$，因人数为正，得$x+1=7$，即$x=6$。计算三轮后总患病人数：两轮后有49人患病，第三轮新增$49×6=294$人，因此三轮后总人数为$49+294=343$人，不是245人，D表述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程传染问题应用
2. 列代数式
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题核心是建立传染问题的数量模型，解题关键是理清每轮传染的传染源基数，避免漏算原有患者数量，计算多轮传播总人数时要准确代入求出的传染率数值。
【难度系数】
0.7
解题时先明确传染问题的基本数量关系：初始1名患者，每轮每名患者传染x人。首先推导每轮的患者总数及新增患者数的表达式，再根据两轮后共49名患者的条件列方程求出传染数x，最后计算三轮后的总患者数，逐一验证各选项的正误即可。
【解析】
已知初始患流感人数为1人，每轮平均1人传染x人：
1. 验证选项A：第1轮传染中，1名患者传染x人，因此第1轮后总患病人数为$1+x=(x+1)$人，A表述正确，不符合题意。
2. 验证选项B：第2轮传染时，共有$(x+1)$名患者参与传染，每名患者传染x人，因此第2轮新增患病人数为$x(x+1)$人，B表述正确，不符合题意。
3. 验证选项C：两轮后总患病人数 = 第1轮后人数 + 第2轮新增人数，即$(x+1) + x(x+1) = (x+1)^2$，结合两轮后共49人患病，可列方程$(x+1)^2=49$，C表述正确，不符合题意。
4. 求解方程$(x+1)^2=49$，因人数为正，得$x+1=7$，即$x=6$。计算三轮后总患病人数：两轮后有49人患病，第三轮新增$49×6=294$人，因此三轮后总人数为$49+294=343$人，不是245人，D表述错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程传染问题应用
2. 列代数式
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题核心是建立传染问题的数量模型，解题关键是理清每轮传染的传染源基数，避免漏算原有患者数量，计算多轮传播总人数时要准确代入求出的传染率数值。
【难度系数】
0.7
2.一种电脑病毒每一台可传播给若干台，若一台电脑感染病毒，经两轮传播后共有49台电脑感染，则这种病毒每轮每台平均可传播台。
答案
解：设这种病毒每轮每台平均可传播x台。
根据题意，得：
$1 + x + x(1 + x) = 49$
整理得：$(1+x)^2 = 49$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -8$
因为传播的台数不能为负数，$x_2=-8$不符合题意，舍去。
答：这种病毒每轮每台平均可传播6台。
根据题意，得：
$1 + x + x(1 + x) = 49$
整理得：$(1+x)^2 = 49$
解得：$x_1 = 6$，$x_2 = -8$
因为传播的台数不能为负数，$x_2=-8$不符合题意，舍去。
答：这种病毒每轮每台平均可传播6台。
解析
【分析】
这是一元二次方程在传播问题中的典型应用题，解题思路如下：首先明确传播规律：初始有1台感染电脑，设每轮每台平均传播x台，第一轮传播结束后，总感染台数为初始1台加第一轮新感染的x台，即(1+x)台；第二轮传播时，这(1+x)台每台都能传播x台，因此第二轮新感染台数为x(1+x)台，两轮后总感染台数为第一轮总感染数加第二轮新增感染数，等于题目给出的49台，据此列方程求解即可，最后要结合传播台数为非负数的实际要求，舍去不符合题意的根。
【解析】
解：设这种病毒每轮每台平均可传播x台。
根据两轮传播后总感染台数为49台，列方程得：
$1 + x + x(1 + x) = 49$
整理得：$(1+x)^2 = 49$
开方求解得：$1+x=\pm7$
即$x_1 = 6$，$x_2 = -8$
由于传播台数不能为负数，$x_2=-8$不符合实际意义，故舍去。
因此每轮每台平均可传播6台。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 传播问题建模
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是理清每轮传播前后感染数量的变化逻辑，建立正确的方程模型，同时要注意结合实际问题的取值范围对方程的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
这是一元二次方程在传播问题中的典型应用题，解题思路如下：首先明确传播规律：初始有1台感染电脑，设每轮每台平均传播x台，第一轮传播结束后，总感染台数为初始1台加第一轮新感染的x台，即(1+x)台；第二轮传播时，这(1+x)台每台都能传播x台，因此第二轮新感染台数为x(1+x)台，两轮后总感染台数为第一轮总感染数加第二轮新增感染数，等于题目给出的49台，据此列方程求解即可，最后要结合传播台数为非负数的实际要求，舍去不符合题意的根。
【解析】
解：设这种病毒每轮每台平均可传播x台。
根据两轮传播后总感染台数为49台，列方程得：
$1 + x + x(1 + x) = 49$
整理得：$(1+x)^2 = 49$
开方求解得：$1+x=\pm7$
即$x_1 = 6$，$x_2 = -8$
由于传播台数不能为负数，$x_2=-8$不符合实际意义，故舍去。
因此每轮每台平均可传播6台。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 传播问题建模
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是理清每轮传播前后感染数量的变化逻辑，建立正确的方程模型，同时要注意结合实际问题的取值范围对方程的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
答案
解：设每个支干长出$ x $个小分支。
根据题意，得
$ 1 + x + x^2 = 91 $
整理得：
$ x^2 + x - 90 = 0 $
因式分解得：
$ (x + 10)(x - 9) = 0 $
解得：
$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -10 $
因为小分支的数量为正整数，$ x=-10 $不符合实际意义，舍去。
答：每个支干长出9个小分支。
根据题意，得
$ 1 + x + x^2 = 91 $
整理得：
$ x^2 + x - 90 = 0 $
因式分解得：
$ (x + 10)(x - 9) = 0 $
解得：
$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -10 $
因为小分支的数量为正整数，$ x=-10 $不符合实际意义，舍去。
答：每个支干长出9个小分支。
解析
【分析】
这是分支类一元二次方程实际问题，解题思路如下：首先明确各层级的数量：①主干仅有1个；②设每个支干长出x个小分支，则支干总数量就是x个；③每个支干长x个小分支，因此小分支总数量为$x × x = x^2$个。找到等量关系：主干数量+支干数量+小分支数量=总数量91，据此列一元二次方程求解，最后结合小分支数量为正整数的实际要求，舍去不符合题意的负根即可。
【解析】
解：设每个支干长出$ x $个小分支。
根据题意，得
$ 1 + x + x^2 = 91 $
整理得：
$ x^2 + x - 90 = 0 $
因式分解得：
$ (x + 10)(x - 9) = 0 $
解得：
$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -10 $
因为小分支的数量为正整数，$ x=-10 $不符合实际意义，舍去。
答：每个支干长出9个小分支。
【答案】
每个支干长出9个小分支
【知识点】
1.一元二次方程实际应用
2.因式分解法解方程
3.实际根的合理性检验
【点评】
本题是典型的分支型实际应用题，解题核心是准确梳理各层级的数量关系，列方程时注意不要遗漏主干的数量，同时要结合实际场景对方程的根进行检验，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
这是分支类一元二次方程实际问题，解题思路如下：首先明确各层级的数量：①主干仅有1个；②设每个支干长出x个小分支，则支干总数量就是x个；③每个支干长x个小分支，因此小分支总数量为$x × x = x^2$个。找到等量关系：主干数量+支干数量+小分支数量=总数量91，据此列一元二次方程求解，最后结合小分支数量为正整数的实际要求，舍去不符合题意的负根即可。
【解析】
解：设每个支干长出$ x $个小分支。
根据题意，得
$ 1 + x + x^2 = 91 $
整理得：
$ x^2 + x - 90 = 0 $
因式分解得：
$ (x + 10)(x - 9) = 0 $
解得：
$ x_1 = 9 $，$ x_2 = -10 $
因为小分支的数量为正整数，$ x=-10 $不符合实际意义，舍去。
答：每个支干长出9个小分支。
【答案】
每个支干长出9个小分支
【知识点】
1.一元二次方程实际应用
2.因式分解法解方程
3.实际根的合理性检验
【点评】
本题是典型的分支型实际应用题，解题核心是准确梳理各层级的数量关系，列方程时注意不要遗漏主干的数量，同时要结合实际场景对方程的根进行检验，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
4. 2024年8月，某省新能源汽车的产能达到30万辆.到了2026年8月，该省新能源汽车的产能达到41万辆，设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x.则根据题意可列方程为.
答案
解：
2024年8月该省新能源汽车产能为30万辆，平均增长率为x，
则2025年8月的产能为$30(1+x)$万辆，
2026年8月的产能为$30(1+x)^2$万辆，
结合2026年8月产能为41万辆的条件，可列方程：
$30(1+x)^2 = 41$
2024年8月该省新能源汽车产能为30万辆，平均增长率为x，
则2025年8月的产能为$30(1+x)$万辆，
2026年8月的产能为$30(1+x)^2$万辆，
结合2026年8月产能为41万辆的条件，可列方程：
$30(1+x)^2 = 41$
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的实际应用题，解题核心是掌握平均增长率的计算模型：若初始数值为a，平均增长率为x，那么经过n次增长后的数值为$a(1+x)^n$。本题中初始产能是2024年8月的30万辆，到2026年8月共经过2次增长，最终产能为41万辆，我们只需依次推导各年份的产能表达式，结合已知的2026年产能数值即可列出方程。
【解析】
已知2024年8月该省新能源汽车产能为30万辆，设这两年产能的平均增长率为x：
1. 2025年8月的产能是在2024年的基础上增长x，因此2025年8月产能为$30(1+x)$万辆；
2. 2026年8月的产能是在2025年的产能基础上再增长x，因此2026年8月产能为$30(1+x)×(1+x)=30(1+x)^2$万辆；
3. 结合题目给出的2026年8月产能为41万辆的条件，可列方程。
【答案】
$30(1+x)^2=41$
【知识点】
平均增长率问题、列一元二次方程
【点评】
本题是增长率实际应用的基础题型，重点考查对平均增长率公式的理解运用，只要理清各时间节点对应的产能关系，明确增长次数，就能快速列出对应方程。
【难度系数】
0.85
这是一道平均增长率类的实际应用题，解题核心是掌握平均增长率的计算模型：若初始数值为a，平均增长率为x，那么经过n次增长后的数值为$a(1+x)^n$。本题中初始产能是2024年8月的30万辆，到2026年8月共经过2次增长，最终产能为41万辆，我们只需依次推导各年份的产能表达式，结合已知的2026年产能数值即可列出方程。
【解析】
已知2024年8月该省新能源汽车产能为30万辆，设这两年产能的平均增长率为x：
1. 2025年8月的产能是在2024年的基础上增长x，因此2025年8月产能为$30(1+x)$万辆；
2. 2026年8月的产能是在2025年的产能基础上再增长x，因此2026年8月产能为$30(1+x)×(1+x)=30(1+x)^2$万辆；
3. 结合题目给出的2026年8月产能为41万辆的条件，可列方程。
【答案】
$30(1+x)^2=41$
【知识点】
平均增长率问题、列一元二次方程
【点评】
本题是增长率实际应用的基础题型，重点考查对平均增长率公式的理解运用，只要理清各时间节点对应的产能关系，明确增长次数，就能快速列出对应方程。
【难度系数】
0.85
5.某科幻主题咖啡店推出“星际集印章”活动.活动首月有200位顾客集齐整套印章,之后每月集齐整套印章的顾客人数逐月增加,前三个月累计共有728位顾客集齐整套印章.若每月增长率相同,设月增长率为$x$,则依题意可列方程为.
答案
解：
首月集齐整套印章的顾客人数为200，
第二个月集齐整套印章的顾客人数为$200(1+x)$，
第三个月集齐整套印章的顾客人数为$200(1+x)^2$，
根据前三个月累计共有728位顾客集齐整套印章，可列方程：
$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 728$
首月集齐整套印章的顾客人数为200，
第二个月集齐整套印章的顾客人数为$200(1+x)$，
第三个月集齐整套印章的顾客人数为$200(1+x)^2$，
根据前三个月累计共有728位顾客集齐整套印章，可列方程：
$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 728$
解析
【分析】
本题属于平均增长率类的实际应用问题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的基本数量关系：增长后的量=初始量×(1+增长率)。我们需要先分别表示出每个月集齐印章的顾客人数，再结合“前三个月累计共有728位顾客”的条件，将三个月的人数相加等于总累计人数，即可列出符合题意的方程。
【解析】
已知首月集齐整套印章的顾客人数为200，月增长率为x：
1. 第二个月集齐的人数在首月基础上增长，人数为$200(1+x)$；
2. 第三个月集齐的人数在第二个月基础上增长，人数为$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$；
3. 前三个月累计人数为三个月人数之和，已知总累计人数为728，因此可列方程：$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 728$。
【答案】
$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 728$
【知识点】
增长率问题、列一元二次方程
【点评】
本题是增长率问题的典型基础题型，解题核心是正确用含x的代数式表示出每月的人数，要特别注意题干中“前三个月累计”的表述，避免出现仅用第三个月人数等于总人数的低级错误。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类的实际应用问题，解题思路如下：首先回忆平均增长率的基本数量关系：增长后的量=初始量×(1+增长率)。我们需要先分别表示出每个月集齐印章的顾客人数，再结合“前三个月累计共有728位顾客”的条件，将三个月的人数相加等于总累计人数，即可列出符合题意的方程。
【解析】
已知首月集齐整套印章的顾客人数为200，月增长率为x：
1. 第二个月集齐的人数在首月基础上增长，人数为$200(1+x)$；
2. 第三个月集齐的人数在第二个月基础上增长，人数为$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$；
3. 前三个月累计人数为三个月人数之和，已知总累计人数为728，因此可列方程：$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 728$。
【答案】
$200 + 200(1+x) + 200(1+x)^2 = 728$
【知识点】
增长率问题、列一元二次方程
【点评】
本题是增长率问题的典型基础题型，解题核心是正确用含x的代数式表示出每月的人数，要特别注意题干中“前三个月累计”的表述，避免出现仅用第三个月人数等于总人数的低级错误。
【难度系数】
0.8
