9. 已知点 $ P(2a - 12, 1 - a) $ 位于第三象限。
(1)若点 P 的纵坐标为－3，试求出 a 的值。
(2)求 a 的取值范围。
(3)若点 P 的横、纵坐标都是整数，试求出 a 的值以及点 P 的坐标。

(1)由题意得 $1-a=-3$,解得 $a=4$。
(2)因为点 $ P(2a - 12, 1 - a) $ 位于第三象限，所以 $\begin{cases}2a-12＜0,\\1-a＜0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a＜6,\\a＞1。\end{cases}$ 所以 $1＜a＜6$。
(3)因为点 P 的横、纵坐标都是整数，所以 a 的值为 2,3,4 或 5。所以点 P 的坐标为 $(-8,-1),(-6,-2),(-4,-3)$ 或 $(-2,-4)$。

【分析】
(1) 点的纵坐标是坐标的第二个数值，题目给出纵坐标为-3，直接令纵坐标的表达式$1-a=-3$，解一元一次方程即可求出a的值。
(2) 第三象限内的点的坐标特征是横坐标小于0、纵坐标小于0，据此分别列出关于a的不等式，组成不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围。
(3) 点的横、纵坐标都是整数，说明$2a-12$和$1-a$均为整数，因此a为整数，结合第(2)问求出的a的取值范围，筛选出符合条件的整数a，再分别代入坐标表达式求出对应点P的坐标即可。
【解析】
(1) 由题意可知点P的纵坐标为-3，因此列方程：
$1-a=-3$
解得：$a=4$。
(2)
∵点$P(2a - 12, 1 - a)$位于第三象限，第三象限内点的横、纵坐标均小于0，
∴可得不等式组：
$\begin{cases}2a-12＜0 \\1-a＜0 \end{cases}$
解不等式$2a-12＜0$，得$a＜6$；
解不等式$1-a＜0$，得$a＞1$；
∴a的取值范围为$1＜a＜6$。
(3)
∵点P的横、纵坐标都是整数，即$2a-12$和$1-a$均为整数，
∴a为整数，结合$1＜a＜6$，可得a的取值为2、3、4、5。
分别代入计算点P的坐标：
当$a=2$时，$2a-12=2×2-12=-8$，$1-a=1-2=-1$，此时$P(-8,-1)$；
当$a=3$时，$2a-12=2×3-12=-6$，$1-a=1-3=-2$，此时$P(-6,-2)$；
当$a=4$时，$2a-12=2×4-12=-4$，$1-a=1-4=-3$，此时$P(-4,-3)$；
当$a=5$时，$2a-12=2×5-12=-2$，$1-a=1-5=-4$，此时$P(-2,-4)$。
【答案】
(1) $a=4$；
(2) $1＜a＜6$；
(3) a的值为2、3、4、5，对应点P的坐标为$(-8,-1)$、$(-6,-2)$、$(-4,-3)$、$(-2,-4)$。
【知识点】
象限内点的坐标特征；解一元一次不等式组；一元一次方程的解法
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，综合了点的坐标特征、方程与不等式组的应用，解题核心是准确记忆各象限点的坐标符号规律，再结合题干条件列式求解，第三问要注意结合整数的限制条件筛选取值，避免漏解。
【难度系数】
0.8

10. 在平面直角坐标系中，点$P(m-3,4-2m)$不可能在 （）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

10.A

【分析】
要判断点P不可能位于哪个象限，需结合各象限内点的坐标符号特征，通过分类讨论列不等式组求解：各象限坐标符号规律为第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)。我们分别假设点P在四个象限，列出对应的一元一次不等式组，若某组不等式无解，则说明点P不可能在该象限。
【解析】
设点P的横坐标为$x=m-3$，纵坐标为$y=4-2m$，分四种情况讨论：
1. 若点P在第一象限，则需满足$\begin{cases}x＞0 \\ y＞0\end{cases}$，即：
$\begin{cases}m-3＞0 \quad ① \\ 4-2m＞0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①得：$m＞3$
解不等式②得：$m＜2$
该不等式组无公共解集，因此不存在m使点P在第一象限。
2. 若点P在第二象限，则需满足$\begin{cases}x＜0 \\ y＞0\end{cases}$，即：
$\begin{cases}m-3＜0 \\ 4-2m＞0\end{cases}$
解得$m＜2$，即当$m＜2$时点P在第二象限，存在可能。
3. 若点P在第三象限，则需满足$\begin{cases}x＜0 \\ y＜0\end{cases}$，即：
$\begin{cases}m-3＜0 \\ 4-2m＜0\end{cases}$
解得$2＜m＜3$，即当$2＜m＜3$时点P在第三象限，存在可能。
4. 若点P在第四象限，则需满足$\begin{cases}x＞0 \\ y＜0\end{cases}$，即：
$\begin{cases}m-3＞0 \\ 4-2m＜0\end{cases}$
解得$m＞3$，即当$m＞3$时点P在第四象限，存在可能。
综上，点P不可能在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
各象限点的坐标特征，解一元一次不等式组
【点评】
本题将平面直角坐标系的坐标性质与不等式组的求解结合，采用分类讨论的思想逐一验证即可，解题核心是准确记忆各象限内点的横、纵坐标的符号规律。
【难度系数】
0.7

11. 如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2)。把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按A→B→C→D→A……的规律绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是()

A.$(-1,0)$
B.$(1,-2)$
C.$(1,1)$
D.$(-1,-2)$

11.D

【分析】
解题时首先明确这是周期循环类问题，第一步先计算四边形ABCD的周长：四边形的边均平行于坐标轴，平行于x轴的线段长度为两端点横坐标差的绝对值，平行于y轴的线段长度为两端点纵坐标差的绝对值，求和得到绕一圈的总长度。第二步用细线总长度除以周长，得到绕完整圈后剩余的细线长度。第三步从A点出发，按A→B→C→D→A的顺序累加边长，直到和等于剩余长度，对应的点就是细线另一端的位置。
【解析】
1. 计算四边形各边长度：
AB边：A(1,1)、B(-1,1)纵坐标相同，长度为$|1-(-1)|=2$；
BC边：B(-1,1)、C(-1,-2)横坐标相同，长度为$|1-(-2)|=3$；
CD边：C(-1,-2)、D(1,-2)纵坐标相同，长度为$|1-(-1)|=2$；
DA边：D(1,-2)、A(1,1)横坐标相同，长度为$|1-(-2)|=3$。
2. 计算周长：四边形ABCD周长为$2+3+2+3=10$，即每绕1圈消耗10个单位长度的细线。
3. 计算剩余长度：$2025÷10=202······5$，即绕202整圈后，还剩5个单位长度的细线。
4. 定位终点：从A出发，走2个单位到B点（已走2），再走3个单位到C点（累计走$2+3=5$），刚好走完剩余长度，终点为C点，坐标是$(-1,-2)$。
【答案】
D
【知识点】
1. 坐标系线段长度计算
2. 周期规律应用
3. 点的坐标确定
【点评】
本题将平面直角坐标系的知识和周期规律相结合，解题的核心是先求出四边形周长确定循环周期，再根据剩余长度逐步定位终点，侧重考查学生的计算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

12. 在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为$(a-2,7-2a)$，若点A到两坐标轴的距离相等，则a的值为。

12.3或5

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确平面直角坐标系中点到两坐标轴距离的表示方法：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值。已知点A到两坐标轴距离相等，说明横坐标的绝对值与纵坐标的绝对值相等，据此列出绝对值方程，再分两种情况求解方程即可得到a的值，注意不要漏解。
【解析】
∵ 点A到两坐标轴的距离相等
∴ 点A的横坐标的绝对值等于纵坐标的绝对值，即：
$|a-2|=|7-2a|$
根据绝对值的性质，绝对值相等的两个数相等或互为相反数，分两种情况讨论：
情况1：$a-2=7-2a$
移项得：$a+2a=7+2$
合并同类项得：$3a=9$
解得：$a=3$
情况2：$a-2=-(7-2a)$
去括号得：$a-2=-7+2a$
移项得：$2a-a=-2+7$
解得：$a=5$
经检验，$a=3$和$a=5$均符合题意。
【答案】
3或5
【知识点】
1. 点到坐标轴的距离
2. 绝对值的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，核心是掌握点到坐标轴距离的计算规则，易错点是求解绝对值方程时仅考虑两数相等的情况，漏掉互为相反数的情况导致少解，解题后可将结果代入原坐标验证是否符合要求。
【难度系数】
0.7

13. 已知在平面直角坐标系中有三点$A(-2,1),B(3,1),C(2,3)$，请回答下列问题：
(1)在平面直角坐标系中描出点A，B，C的位置。
(2)求以A，B，C为顶点的三角形的面积。
(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

(1)如图。
(2)由题意得 $AB// x$ 轴, 且 $AB=3-(-2)=5$,所以 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×2=5$。
(3)存在。因为 $AB=5$,$S_{△ ABP}=10$,所以点 P 到 AB 的距离为 4。又因为点 P 在 y 轴上,所以点 P 的坐标为 $(0,5)$ 或 $(0,-3)$。

【分析】
(1) 描点时，根据点的坐标的定义，横坐标对应x轴上的数值，纵坐标对应y轴上的数值，即可在坐标系中准确找到三点的位置；
(2) 求△ABC的面积时，首先观察到A、B两点纵坐标相同，可判断AB平行于x轴，先计算AB的长度作为三角形的底，再计算点C到AB所在直线的垂直距离作为高，代入三角形面积公式即可求解；
(3) 判断y轴上是否存在满足条件的点P时，先设P的坐标为(0,y)，AB长度保持不变，根据三角形面积公式列方程，求出y的取值即可得到P的坐标，注意距离为非负数，要考虑绝对值的两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) 按照坐标的对应关系，A(-2,1)对应x轴-2、y轴1的位置，B(3,1)对应x轴3、y轴1的位置，C(2,3)对应x轴2、y轴3的位置，在坐标系中描出三点即可，结果如图所示。
(2) 因为A(-2,1)、B(3,1)的纵坐标相等，所以AB平行于x轴，AB的长度为$3-(-2)=5$；AB所在直线为$y=1$，点C到AB的垂直距离为$3-1=2$，即△ABC中AB边上的高为2。根据三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×5×2=5$。
(3) 设y轴上点P的坐标为$(0,y)$，AB长度为5，△ABP中AB边上的高为点P到直线$y=1$的距离，即$|y-1|$。由$S_{△ABP}=10$，代入面积公式得$\frac{1}{2}×5×|y-1|=10$，解得$|y-1|=4$，即$y=5$或$y=-3$，所以点P的坐标为$(0,5)$或$(0,-3)$，满足条件的点P存在。
【答案】
(1)如图。
(2)由题意得 $AB// x$ 轴, 且 $AB=3-(-2)=5$,所以 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×2=5$。
(3)存在。因为 $AB=5$,$S_{△ ABP}=10$,所以点 P 到 AB 的距离为 4。又因为点 P 在 y 轴上,所以点 P 的坐标为 $(0,5)$ 或 $(0,-3)$。
【知识点】
平面直角坐标系描点，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用，结合了三角形面积的计算，第三问需要注意分类讨论，不要遗漏纵坐标的两种可能，整体难度不大，掌握平行于坐标轴的线段长度计算、点到水平直线的距离的坐标表示即可顺利解答。
【难度系数】
0.7