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16.(2026大理期末)【阅读理解】
若代数式$x^2+x+5$的值为9,求代数式$2x^2+2x-1$的值.小明采用的方法如下:
由题意,得$x^2+x+5=9$.
所以$x^2+x=4$.
所以$2x^2+2x-1$
$=2(x^2+x)-1$
$=2×4-1$
$=7$.
所以代数式$2x^2+2x-1$的值为7.
【方法运用】
(1)若代数式$x^2+x+1$的值为6,则代数式$-5x^2-5x+15$的值为;
(2)当$x=1$时,代数式$ax^3+bx+4$的值为11,当$x=-1$时,求代数式$ax^3+bx+3$的值;
【拓展应用】
(3)若$a^2-ab=12,-ab+b^2=-3$,求$a^2-2ab+b^2$的值.
若代数式$x^2+x+5$的值为9,求代数式$2x^2+2x-1$的值.小明采用的方法如下:
由题意,得$x^2+x+5=9$.
所以$x^2+x=4$.
所以$2x^2+2x-1$
$=2(x^2+x)-1$
$=2×4-1$
$=7$.
所以代数式$2x^2+2x-1$的值为7.
【方法运用】
(1)若代数式$x^2+x+1$的值为6,则代数式$-5x^2-5x+15$的值为;
(2)当$x=1$时,代数式$ax^3+bx+4$的值为11,当$x=-1$时,求代数式$ax^3+bx+3$的值;
【拓展应用】
(3)若$a^2-ab=12,-ab+b^2=-3$,求$a^2-2ab+b^2$的值.
答案
解：
(1) 由题意得，$x^2 + x + 1 = 6$，
所以 $x^2 + x = 5$，
所以 $-5x^2 -5x +15$
$=-5(x^2 + x) +15$
$=-5×5 +15$
$=-10$。
(2) 当$x=1$时，代入$ax^3 + bx +4 =11$，得：
$a×1^3 + b×1 +4 =11$，
即 $a + b +4 =11$，
所以 $a + b =7$。
当$x=-1$时，代入$ax^3 + bx +3$，得：
$a×(-1)^3 + b×(-1) +3$
$= -a -b +3$
$= -(a + b) +3$
$= -7 +3$
$= -4$。
(3) 已知$a^2 -ab =12$，$-ab +b^2 =-3$，
将两式相加，得：
$(a^2 -ab) + (-ab +b^2) = 12 + (-3)$，
所以 $a^2 -2ab +b^2 =9$。
综上，(1)的答案为$\boldsymbol{-10}$；(2)代数式$ax^3+bx+3$的值为$-4$；(3)$a^2-2ab+b^2$的值为$9$。
(1) 由题意得，$x^2 + x + 1 = 6$，
所以 $x^2 + x = 5$，
所以 $-5x^2 -5x +15$
$=-5(x^2 + x) +15$
$=-5×5 +15$
$=-10$。
(2) 当$x=1$时，代入$ax^3 + bx +4 =11$，得：
$a×1^3 + b×1 +4 =11$，
即 $a + b +4 =11$，
所以 $a + b =7$。
当$x=-1$时，代入$ax^3 + bx +3$，得：
$a×(-1)^3 + b×(-1) +3$
$= -a -b +3$
$= -(a + b) +3$
$= -7 +3$
$= -4$。
(3) 已知$a^2 -ab =12$，$-ab +b^2 =-3$，
将两式相加，得：
$(a^2 -ab) + (-ab +b^2) = 12 + (-3)$，
所以 $a^2 -2ab +b^2 =9$。
综上，(1)的答案为$\boldsymbol{-10}$；(2)代数式$ax^3+bx+3$的值为$-4$；(3)$a^2-2ab+b^2$的值为$9$。
解析
【分析】
本题属于代数式求值类问题，核心采用整体代入的思想求解，无需计算单个未知数的具体值：
1. 解决第(1)问时，先根据已知条件求出$x^2+x$的整体值，再将待求代数式提取公因式-5，变形为含有$x^2+x$的形式，代入数值计算即可；
2. 解决第(2)问时，先将$x=1$代入已知代数式，求出$a+b$的整体值，再将$x=-1$代入待求代数式，变形为含有$a+b$的形式，整体代入计算；
3. 解决第(3)问时，观察待求代数式$a^2-2ab+b^2$的结构，刚好是已知两个式子的和，直接将两个已知等式相加即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得，$x^2 + x + 1 = 6$，
所以 $x^2 + x = 5$，
所以 $-5x^2 -5x +15$
$=-5(x^2 + x) +15$
$=-5×5 +15$
$=-10$。
(2) 当$x=1$时，代入$ax^3 + bx +4 =11$，得：
$a×1^3 + b×1 +4 =11$，
即 $a + b +4 =11$，
所以 $a + b =7$。
当$x=-1$时，代入$ax^3 + bx +3$，得：
$a×(-1)^3 + b×(-1) +3$
$= -a -b +3$
$= -(a + b) +3$
$= -7 +3$
$= -4$。
(3) 已知$a^2 -ab =12$，$-ab +b^2 =-3$，
将两式相加，得：
$(a^2 -ab) + (-ab +b^2) = 12 + (-3)$，
所以 $a^2 -2ab +b^2 =9$。
【答案】
(1) $-10$；(2) $-4$；(3) $9$
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式加减运算
【点评】
本题考查代数式求值的常用方法，核心是灵活运用整体代入思想，通过对待求代数式或已知等式做适当变形，找到两者的关联部分，避免求解单个未知数，大幅简化计算过程，是整式章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
本题属于代数式求值类问题，核心采用整体代入的思想求解，无需计算单个未知数的具体值：
1. 解决第(1)问时，先根据已知条件求出$x^2+x$的整体值，再将待求代数式提取公因式-5，变形为含有$x^2+x$的形式，代入数值计算即可；
2. 解决第(2)问时，先将$x=1$代入已知代数式，求出$a+b$的整体值，再将$x=-1$代入待求代数式，变形为含有$a+b$的形式，整体代入计算；
3. 解决第(3)问时，观察待求代数式$a^2-2ab+b^2$的结构，刚好是已知两个式子的和，直接将两个已知等式相加即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得，$x^2 + x + 1 = 6$，
所以 $x^2 + x = 5$，
所以 $-5x^2 -5x +15$
$=-5(x^2 + x) +15$
$=-5×5 +15$
$=-10$。
(2) 当$x=1$时，代入$ax^3 + bx +4 =11$，得：
$a×1^3 + b×1 +4 =11$，
即 $a + b +4 =11$，
所以 $a + b =7$。
当$x=-1$时，代入$ax^3 + bx +3$，得：
$a×(-1)^3 + b×(-1) +3$
$= -a -b +3$
$= -(a + b) +3$
$= -7 +3$
$= -4$。
(3) 已知$a^2 -ab =12$，$-ab +b^2 =-3$，
将两式相加，得：
$(a^2 -ab) + (-ab +b^2) = 12 + (-3)$，
所以 $a^2 -2ab +b^2 =9$。
【答案】
(1) $-10$；(2) $-4$；(3) $9$
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；整式加减运算
【点评】
本题考查代数式求值的常用方法，核心是灵活运用整体代入思想，通过对待求代数式或已知等式做适当变形，找到两者的关联部分，避免求解单个未知数，大幅简化计算过程，是整式章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
17.高速公路旁有三个物品代收点A,B,C,它们之间的距离如图所示.现要在高速公路旁修建一个货仓,把代收点A,B,C的货全部运到该货仓,代收点A每天有50 t货物,代收点B每天有10 t货物,代收点C每天有60 t货物,从A到C方向每吨每千米运费1.5元,从C到A方向每吨每千米运费1元.货仓应修建在何处才能使运费最低?最低运费为多少?
自我诊断
知识分类 题号 评价
代数式 1,2,3,4,5,8,11,13,14,15
求代数式的值 6,7,9,10,12,16,17
自我诊断
知识分类 题号 评价
代数式 1,2,3,4,5,8,11,13,14,15
求代数式的值 6,7,9,10,12,16,17
答案
解：设货仓距离点A的路程为x km，分情况讨论：
1. 当货仓在点A左侧时，$x＜0$，
总运费$W = 50×1×(-x) + 10×1×(50 - x) + 60×1×(130 - x) = -120x + 8300$，
由$x＜0$得$-120x＞0$，因此$W＞8300$。
2. 当货仓在A、B之间（包括A、B两点）时，$0≤ x≤50$，
总运费$W = 50×1.5x + 10×1×(50 - x) + 60×1×(130 - x)$
$= 75x + 500 - 10x + 7800 - 60x$
$= 5x + 8300$，
$\because 5＞0$，$W$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=0$时，$W$取得最小值，为8300元。
3. 当货仓在B、C之间（包括C点）时，$50＜x≤130$，
总运费$W = 50×1.5x + 10×1.5×(x - 50) + 60×1×(130 - x)$
$= 75x + 15x - 750 + 7800 - 60x$
$= 30x + 7050$，
$\because 30＞0$，$W$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=50$时，$W$取得最小值，为$30×50 + 7050 = 8550$元。
对比三种情况的最小运费，可得货仓修建在代收点A处时总运费最低。
答：货仓应修建在代收点A处，最低运费为8300元。
1. 当货仓在点A左侧时，$x＜0$，
总运费$W = 50×1×(-x) + 10×1×(50 - x) + 60×1×(130 - x) = -120x + 8300$，
由$x＜0$得$-120x＞0$，因此$W＞8300$。
2. 当货仓在A、B之间（包括A、B两点）时，$0≤ x≤50$，
总运费$W = 50×1.5x + 10×1×(50 - x) + 60×1×(130 - x)$
$= 75x + 500 - 10x + 7800 - 60x$
$= 5x + 8300$，
$\because 5＞0$，$W$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=0$时，$W$取得最小值，为8300元。
3. 当货仓在B、C之间（包括C点）时，$50＜x≤130$，
总运费$W = 50×1.5x + 10×1.5×(x - 50) + 60×1×(130 - x)$
$= 75x + 15x - 750 + 7800 - 60x$
$= 30x + 7050$，
$\because 30＞0$，$W$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=50$时，$W$取得最小值，为$30×50 + 7050 = 8550$元。
对比三种情况的最小运费，可得货仓修建在代收点A处时总运费最低。
答：货仓应修建在代收点A处，最低运费为8300元。
解析
【分析】
这是一道实际生活中的运费最优解问题，解题思路如下：首先设货仓距离A点的路程为x km，由于货仓位置不确定，需要分三种情况讨论：货仓在A左侧、货仓在A和B之间、货仓在B和C之间；其次要注意两个方向的运费单价不同，往C方向（A到C方向）运费是1.5元/（t·km），往A方向（C到A方向）运费是1元/（t·km），分别计算每种情况下三个代收点到货仓的总运费，得到对应x的代数式；再根据代数式中x的系数正负判断总运费随x变化的规律，求出每种情况下的最低运费；最后对比三种情况的最低运费，就能得到全局最低运费及对应的货仓位置。
【解析】
设货仓距离点A的路程为x km，分情况讨论：
1. 当货仓在点A左侧时，$x＜0$，
总运费$W = 50×1×(-x) + 10×1×(50 - x) + 60×1×(130 - x) = -120x + 8300$，
由$x＜0$得$-120x＞0$，因此$W＞8300$元。
2. 当货仓在A、B之间（包括A、B两点）时，$0≤ x≤50$，
总运费$W = 50×1.5x + 10×1×(50 - x) + 60×1×(130 - x)$
$= 75x + 500 - 10x + 7800 - 60x$
$= 5x + 8300$，
$\because 5＞0$，$W$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=0$时，$W$取得最小值，为8300元。
3. 当货仓在B、C之间（包括C点）时，$50＜x≤130$，
总运费$W = 50×1.5x + 10×1.5×(x - 50) + 60×1×(130 - x)$
$= 75x + 15x - 750 + 7800 - 60x$
$= 30x + 7050$，
$\because 30＞0$，$W$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=50$时，$W$取得最小值，为$30×50 + 7050 = 8550$元。
对比三种情况的最小运费：8300＜8550，且第一种情况$W$始终大于8300，因此货仓修建在代收点A处时总运费最低。
【答案】
货仓应修建在代收点A处，最低运费为8300元。
【知识点】
分类讨论，列代数式，最值计算
【点评】
本题紧密结合生活实际，考查代数知识的应用能力，解题关键是明确不同运输方向的运费差异，合理划分讨论区间，正确列出各区间的总运费代数式，再通过分析代数式的增减性找到各区间的最低运费，最后比较得到全局最优解，能有效提升学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
这是一道实际生活中的运费最优解问题，解题思路如下：首先设货仓距离A点的路程为x km，由于货仓位置不确定，需要分三种情况讨论：货仓在A左侧、货仓在A和B之间、货仓在B和C之间；其次要注意两个方向的运费单价不同，往C方向（A到C方向）运费是1.5元/（t·km），往A方向（C到A方向）运费是1元/（t·km），分别计算每种情况下三个代收点到货仓的总运费，得到对应x的代数式；再根据代数式中x的系数正负判断总运费随x变化的规律，求出每种情况下的最低运费；最后对比三种情况的最低运费，就能得到全局最低运费及对应的货仓位置。
【解析】
设货仓距离点A的路程为x km，分情况讨论：
1. 当货仓在点A左侧时，$x＜0$，
总运费$W = 50×1×(-x) + 10×1×(50 - x) + 60×1×(130 - x) = -120x + 8300$，
由$x＜0$得$-120x＞0$，因此$W＞8300$元。
2. 当货仓在A、B之间（包括A、B两点）时，$0≤ x≤50$，
总运费$W = 50×1.5x + 10×1×(50 - x) + 60×1×(130 - x)$
$= 75x + 500 - 10x + 7800 - 60x$
$= 5x + 8300$，
$\because 5＞0$，$W$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=0$时，$W$取得最小值，为8300元。
3. 当货仓在B、C之间（包括C点）时，$50＜x≤130$，
总运费$W = 50×1.5x + 10×1.5×(x - 50) + 60×1×(130 - x)$
$= 75x + 15x - 750 + 7800 - 60x$
$= 30x + 7050$，
$\because 30＞0$，$W$随$x$的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=50$时，$W$取得最小值，为$30×50 + 7050 = 8550$元。
对比三种情况的最小运费：8300＜8550，且第一种情况$W$始终大于8300，因此货仓修建在代收点A处时总运费最低。
【答案】
货仓应修建在代收点A处，最低运费为8300元。
【知识点】
分类讨论，列代数式，最值计算
【点评】
本题紧密结合生活实际，考查代数知识的应用能力，解题关键是明确不同运输方向的运费差异，合理划分讨论区间，正确列出各区间的总运费代数式，再通过分析代数式的增减性找到各区间的最低运费，最后比较得到全局最优解，能有效提升学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
