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8. 计算$(a-b)^3(b-a)^4$的结果有①$(a-b)^7$；②$(b-a)^7$；③$-(b-a)^7$；④$-(a-b)^7$，其中正确的是________.（填序号）
答案
8. ①③
解析
【分析】
解题时首先观察式子特点，两个幂的底数(a-b)和(b-a)互为相反数，我们可以先利用互为相反数的幂的符号规律统一底数，再根据同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”计算，最后将结果和给出的四个选项对比即可。可以选择统一底数为(a-b)：因为指数4是偶数，所以(b-a)⁴=(a-b)⁴，代入计算；也可以统一底数为(b-a)：(a-b)³=-(b-a)³，代入计算，两种方法都能验证正确结果。
【解析】
方法一：统一底数为(a-b)
因为互为相反数的偶次幂相等，4是偶数，所以$(b-a)^4=(a-b)^4$
则原式$=(a-b)^3 · (a-b)^4$
根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加：
$=(a-b)^{3+4}=(a-b)^7$，故①正确，④错误。
方法二：统一底数为(b-a)
因为互为相反数的奇次幂互为相反数，3是奇数，所以$(a-b)^3=[-(b-a)]^3=-(b-a)^3$
则原式$=-(b-a)^3 · (b-a)^4$
根据同底数幂的乘法法则：
$=-(b-a)^{3+4}=-(b-a)^7$，故③正确，②错误。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的符号规律
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，解题核心是掌握同底数幂的运算法则，同时要注意互为相反数的两个底数的幂的符号转换，尤其要区分指数为奇数和偶数时的不同规律，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察式子特点，两个幂的底数(a-b)和(b-a)互为相反数，我们可以先利用互为相反数的幂的符号规律统一底数，再根据同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”计算，最后将结果和给出的四个选项对比即可。可以选择统一底数为(a-b)：因为指数4是偶数，所以(b-a)⁴=(a-b)⁴，代入计算；也可以统一底数为(b-a)：(a-b)³=-(b-a)³，代入计算，两种方法都能验证正确结果。
【解析】
方法一：统一底数为(a-b)
因为互为相反数的偶次幂相等，4是偶数，所以$(b-a)^4=(a-b)^4$
则原式$=(a-b)^3 · (a-b)^4$
根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加：
$=(a-b)^{3+4}=(a-b)^7$，故①正确，④错误。
方法二：统一底数为(b-a)
因为互为相反数的奇次幂互为相反数，3是奇数，所以$(a-b)^3=[-(b-a)]^3=-(b-a)^3$
则原式$=-(b-a)^3 · (b-a)^4$
根据同底数幂的乘法法则：
$=-(b-a)^{3+4}=-(b-a)^7$，故③正确，②错误。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的符号规律
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，解题核心是掌握同底数幂的运算法则，同时要注意互为相反数的两个底数的幂的符号转换，尤其要区分指数为奇数和偶数时的不同规律，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7
9. 计算：$(-\dfrac{1}{5})^{2024} × 5^{2025}$
答案
9. 解：$(-\dfrac{1}{5})^{2024} × 5^{2025} =(-\dfrac{1}{5})^{2024}×5^{2024}×5=(-\dfrac{1}{5}×5)^{2024}×5=(-1)^{2024}×5=5.$
解析
【分析】
观察算式可知，两个幂的底数互为负倒数，指数仅相差1，解题思路如下：第一步，利用同底数幂乘法的逆运算，将指数更大的$5^{2025}$拆分为$5^{2024}×5$，得到两个同指数的幂相乘再乘5的形式；第二步，利用积的乘方的逆运算$a^n·b^n=(ab)^n$，将两个同指数幂合并计算；第三步，根据负数的偶次幂为正数算出最终结果。
【解析】
$\begin{aligned}(-\dfrac{1}{5})^{2024} × 5^{2025}&=(-\dfrac{1}{5})^{2024}×5^{2024}×5\\&=(-\dfrac{1}{5}×5)^{2024}×5\\&=(-1)^{2024}×5\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
积的乘方逆运算、同底数幂乘法逆用、有理数乘方运算
【点评】
本题考查幂的运算公式的灵活应用，解题核心是通过拆分高次幂构造同指数幂，再利用积的乘方的逆运算简化计算，熟练掌握幂运算公式的正、逆使用方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
观察算式可知，两个幂的底数互为负倒数，指数仅相差1，解题思路如下：第一步，利用同底数幂乘法的逆运算，将指数更大的$5^{2025}$拆分为$5^{2024}×5$，得到两个同指数的幂相乘再乘5的形式；第二步，利用积的乘方的逆运算$a^n·b^n=(ab)^n$，将两个同指数幂合并计算；第三步，根据负数的偶次幂为正数算出最终结果。
【解析】
$\begin{aligned}(-\dfrac{1}{5})^{2024} × 5^{2025}&=(-\dfrac{1}{5})^{2024}×5^{2024}×5\\&=(-\dfrac{1}{5}×5)^{2024}×5\\&=(-1)^{2024}×5\\&=5\end{aligned}$
【答案】
$5$
【知识点】
积的乘方逆运算、同底数幂乘法逆用、有理数乘方运算
【点评】
本题考查幂的运算公式的灵活应用，解题核心是通过拆分高次幂构造同指数幂，再利用积的乘方的逆运算简化计算，熟练掌握幂运算公式的正、逆使用方法是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
10. 观察下面三行单项式：
$x$，$2x^2$，$4x^3$，$8x^4$，$16x^5$，$32x^6$，…； ①
$-2x$，$4x^2$，$-8x^3$，$16x^4$，$-32x^5$，$64x^6$，…； ②
$2x^2$，$-3x^3$，$5x^4$，$-9x^5$，$17x^6$，$-33x^7$，…； ③
根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）第①行的第8个单项式为
（2）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为$A$.当$x=\frac{1}{2}$时，求$512(A+\frac{1}{4})$的值.
$x$，$2x^2$，$4x^3$，$8x^4$，$16x^5$，$32x^6$，…； ①
$-2x$，$4x^2$，$-8x^3$，$16x^4$，$-32x^5$，$64x^6$，…； ②
$2x^2$，$-3x^3$，$5x^4$，$-9x^5$，$17x^6$，$-33x^7$，…； ③
根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）第①行的第8个单项式为
$128x^8$
；第②行的第9个单项式为$-512x^9$
；第③行的第10个单项式为$-513x^{11}$
；（2）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为$A$.当$x=\frac{1}{2}$时，求$512(A+\frac{1}{4})$的值.
答案
10. 解：(1) $128x^8$ $-512x^9$ $-513x^{11}$
(2) 由题意，得 $A=2^8x^9-2^9x^9+(2^8+1)x^{10}$，
当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$A=2^8×(\frac{1}{2})^9 -2^9×(\frac{1}{2})^9 +(2^8+1)×(\frac{1}{2})^{10}$
$=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2^{10}}$
$=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2^{10}},$
则 $512(A+\frac{1}{4})=2^9×(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4})$
$=2^9×\frac{1}{2^{10}}=\frac{1}{2}.$
(2) 由题意，得 $A=2^8x^9-2^9x^9+(2^8+1)x^{10}$，
当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$A=2^8×(\frac{1}{2})^9 -2^9×(\frac{1}{2})^9 +(2^8+1)×(\frac{1}{2})^{10}$
$=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2^{10}}$
$=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2^{10}},$
则 $512(A+\frac{1}{4})=2^9×(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4})$
$=2^9×\frac{1}{2^{10}}=\frac{1}{2}.$
解析
【分析】
解决本题先分别分析三行单项式的符号、系数、字母次数的变化规律：
1. 第①行：系数依次为$2^0,2^1,2^2,\dots$，$x$的次数与项数一致，符号均为正，因此第$n$个单项式为$2^{n-1}x^n$；
2. 第②行：符号奇负偶正，系数绝对值为$2^1,2^2,2^3,\dots$，$x$的次数与项数一致，因此第$n$个单项式为$(-2)^nx^n$；
3. 第③行：符号奇正偶负，系数绝对值依次为$2^{0}+1,2^1+1,2^2+1,\dots$，$x$的次数比项数大1，因此第$n$个单项式为$(-1)^{n+1}(2^{n-1}+1)x^{n+1}$。
第二问先根据规律写出每行第9个单项式，求和得到$A$，再将$x=\frac{1}{2}$代入，利用幂的运算性质简化计算即可。
【解析】
(1) 第①行第8个单项式：当$n=8$时，代入规律式得$2^{8-1}x^8=128x^8$；
第②行第9个单项式：当$n=9$时，代入规律式得$(-2)^9x^9=-512x^9$；
第③行第10个单项式：当$n=10$时，代入规律式得$(-1)^{10+1}(2^{10-1}+1)x^{10+1}=-513x^{11}$。
(2) 先求每行第9个单项式：
第①行第9个单项式为$2^{8}x^9$，第②行第9个单项式为$(-2)^9x^9=-2^9x^9$，第③行第9个单项式为$(-1)^{9+1}(2^{8}+1)x^{10}=(2^8+1)x^{10}$，
因此$A=2^8x^9-2^9x^9+(2^8+1)x^{10}$。
当$x=\frac{1}{2}$时：
$A=2^8×(\frac{1}{2})^9 -2^9×(\frac{1}{2})^9 +(2^8+1)×(\frac{1}{2})^{10}$
$=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2^{10}}$
$=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2^{10}}$
则$512(A+\frac{1}{4})=2^9×(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4})$
$=2^9×\frac{1}{2^{10}}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $128x^8$；$-512x^9$；$-513x^{11}$
(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
单项式规律探究，幂的运算，代数式求值
【点评】
本题是规律探究与代数运算的综合题，需要先准确归纳出每行单项式的符号、系数、次数的变化规律，代入计算时灵活运用幂的运算性质可以大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.6
解决本题先分别分析三行单项式的符号、系数、字母次数的变化规律：
1. 第①行：系数依次为$2^0,2^1,2^2,\dots$，$x$的次数与项数一致，符号均为正，因此第$n$个单项式为$2^{n-1}x^n$；
2. 第②行：符号奇负偶正，系数绝对值为$2^1,2^2,2^3,\dots$，$x$的次数与项数一致，因此第$n$个单项式为$(-2)^nx^n$；
3. 第③行：符号奇正偶负，系数绝对值依次为$2^{0}+1,2^1+1,2^2+1,\dots$，$x$的次数比项数大1，因此第$n$个单项式为$(-1)^{n+1}(2^{n-1}+1)x^{n+1}$。
第二问先根据规律写出每行第9个单项式，求和得到$A$，再将$x=\frac{1}{2}$代入，利用幂的运算性质简化计算即可。
【解析】
(1) 第①行第8个单项式：当$n=8$时，代入规律式得$2^{8-1}x^8=128x^8$；
第②行第9个单项式：当$n=9$时，代入规律式得$(-2)^9x^9=-512x^9$；
第③行第10个单项式：当$n=10$时，代入规律式得$(-1)^{10+1}(2^{10-1}+1)x^{10+1}=-513x^{11}$。
(2) 先求每行第9个单项式：
第①行第9个单项式为$2^{8}x^9$，第②行第9个单项式为$(-2)^9x^9=-2^9x^9$，第③行第9个单项式为$(-1)^{9+1}(2^{8}+1)x^{10}=(2^8+1)x^{10}$，
因此$A=2^8x^9-2^9x^9+(2^8+1)x^{10}$。
当$x=\frac{1}{2}$时：
$A=2^8×(\frac{1}{2})^9 -2^9×(\frac{1}{2})^9 +(2^8+1)×(\frac{1}{2})^{10}$
$=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{4}+\frac{1}{2^{10}}$
$=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2^{10}}$
则$512(A+\frac{1}{4})=2^9×(-\frac{1}{4}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4})$
$=2^9×\frac{1}{2^{10}}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $128x^8$；$-512x^9$；$-513x^{11}$
(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
单项式规律探究，幂的运算，代数式求值
【点评】
本题是规律探究与代数运算的综合题，需要先准确归纳出每行单项式的符号、系数、次数的变化规律，代入计算时灵活运用幂的运算性质可以大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.6
