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1. 把一个多项式化成了
几个整式的乘积
的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解。答案
1. 几个整式的乘积
解析
【分析】
这道题考查因式分解的基本定义，解题时只需回忆因式分解的核心概念即可：因式分解是和整式乘法互逆的变形，整式乘法是将几个整式相乘得到一个多项式，反过来把多项式转化为几个整式相乘的形式就是因式分解，空缺处对应定义里的核心描述。
【解析】
根据因式分解的标准定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫把多项式分解因式，因此此处应填入对应定义内容。
【答案】
几个整式的乘积
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对基础知识的识记，是因式分解模块的入门内容，熟练掌握相关定义是后续学习各类因式分解方法的前提。
【难度系数】
0.9
这道题考查因式分解的基本定义，解题时只需回忆因式分解的核心概念即可：因式分解是和整式乘法互逆的变形，整式乘法是将几个整式相乘得到一个多项式，反过来把多项式转化为几个整式相乘的形式就是因式分解，空缺处对应定义里的核心描述。
【解析】
根据因式分解的标准定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫把多项式分解因式，因此此处应填入对应定义内容。
【答案】
几个整式的乘积
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对基础知识的识记，是因式分解模块的入门内容，熟练掌握相关定义是后续学习各类因式分解方法的前提。
【难度系数】
0.9
2. 多项式$pa+pb+pc$，它的各项都有一个公共的因式$p$，我们把因式$p$叫作这个多项式各项的
公因式
。答案
2. 公因式
解析
【分析】
本题考查基础概念的识记，解题时先回忆因式分解中提公因式法相关的概念定义：我们把多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。结合题目给出的多项式$pa+pb+pc$各项共有的因式是$p$，对应概念即可得出答案。
【解析】
根据公因式的定义：一个多项式的各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
已知多项式$pa+pb+pc$的每一项都含有公共因式$p$，因此因式$p$是这个多项式各项的公因式。
【答案】
公因式
【知识点】
公因式的概念、提公因式法
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，主要检验对基础定义的掌握程度，熟练掌握公因式的定义是学习提公因式法分解因式的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查基础概念的识记，解题时先回忆因式分解中提公因式法相关的概念定义：我们把多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。结合题目给出的多项式$pa+pb+pc$各项共有的因式是$p$，对应概念即可得出答案。
【解析】
根据公因式的定义：一个多项式的各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
已知多项式$pa+pb+pc$的每一项都含有公共因式$p$，因此因式$p$是这个多项式各项的公因式。
【答案】
公因式
【知识点】
公因式的概念、提公因式法
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，主要检验对基础定义的掌握程度，熟练掌握公因式的定义是学习提公因式法分解因式的重要基础。
【难度系数】
0.9
3. 如果多项式的各项有公因式，可以把这个
公因式
提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积
的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。答案
3. 公因式 公因式与另一个因式的乘积
解析
【分析】
这道题考查提公因式法的基础定义，解题时只需回忆提公因式法的概念内容，对应空缺部分匹配填写即可：提公因式法分解因式的操作核心是先提取多项式各项共有的公因式，再将原多项式改写为两个因式相乘的形式，其中一个因式是提取的公因式，另一个是原多项式除以公因式得到的因式。
【解析】
根据提公因式法的定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。因此第一个空对应填写公因式，第二个空对应填写公因式与另一个因式的乘积。
【答案】
公因式；公因式与另一个因式的乘积
【知识点】
提公因式法的定义；因式分解的方法
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对提公因式法核心概念的掌握，牢记相关定义即可准确作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查提公因式法的基础定义，解题时只需回忆提公因式法的概念内容，对应空缺部分匹配填写即可：提公因式法分解因式的操作核心是先提取多项式各项共有的公因式，再将原多项式改写为两个因式相乘的形式，其中一个因式是提取的公因式，另一个是原多项式除以公因式得到的因式。
【解析】
根据提公因式法的定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。因此第一个空对应填写公因式，第二个空对应填写公因式与另一个因式的乘积。
【答案】
公因式；公因式与另一个因式的乘积
【知识点】
提公因式法的定义；因式分解的方法
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对提公因式法核心概念的掌握，牢记相关定义即可准确作答。
【难度系数】
0.9
1. 下列各式变形中，是因式分解的是（
A.$a^2 - 2ab + b^2 -1 = (a - b)^2 -1$
B.$2x^2 + 2x = 2x^2(1 + \frac{1}{x})$
C.$(x + 2)(x - 2) = x^2 -4$
D.$x^4 -1 = (x^2 +1)(x +1)(x -1)$
D
）.A.$a^2 - 2ab + b^2 -1 = (a - b)^2 -1$
B.$2x^2 + 2x = 2x^2(1 + \frac{1}{x})$
C.$(x + 2)(x - 2) = x^2 -4$
D.$x^4 -1 = (x^2 +1)(x +1)(x -1)$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，满足三个判断要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积形式；③变形是恒等变形，左右两边相等。我们按照这三个要点逐一排查选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。
对各选项逐一分析：
选项A：等式右侧是$(a-b)^2 - 1$，属于差的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义，错误。
选项B：等式右侧的因式$\frac{1}{x}$是分式，不是整式，不符合因式分解结果必须为整式乘积的要求，错误。
选项C：该变形是把两个整式的乘积化为多项式，属于整式乘法，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，错误。
选项D：等式左侧$x^4 - 1$是多项式，右侧是$(x^2+1)$、$(x+1)$、$(x-1)$三个整式的乘积，且等式左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式的概念
3. 因式分解与整式乘法的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确把握因式分解的三个判断标准，做题时要注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，同时注意因式的取值必须是整式，避免出现分式等不符合要求的因式。
【难度系数】
0.8
要判断是否为因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，满足三个判断要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积形式；③变形是恒等变形，左右两边相等。我们按照这三个要点逐一排查选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。
对各选项逐一分析：
选项A：等式右侧是$(a-b)^2 - 1$，属于差的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义，错误。
选项B：等式右侧的因式$\frac{1}{x}$是分式，不是整式，不符合因式分解结果必须为整式乘积的要求，错误。
选项C：该变形是把两个整式的乘积化为多项式，属于整式乘法，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，错误。
选项D：等式左侧$x^4 - 1$是多项式，右侧是$(x^2+1)$、$(x+1)$、$(x-1)$三个整式的乘积，且等式左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式的概念
3. 因式分解与整式乘法的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确把握因式分解的三个判断标准，做题时要注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，同时注意因式的取值必须是整式，避免出现分式等不符合要求的因式。
【难度系数】
0.8
2. 对于①$x - 3xy = x(1 - 3y)$，②$(x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3$，从左到右的变形，下列表述正确的是（
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
C
）。A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算
D.①是乘法运算，②是因式分解
答案
2. C
解析
【分析】
解答本题首先要明确因式分解和整式乘法的定义与区别：因式分解的变形方向是把多项式转化为几个整式乘积的形式，整式乘法的变形方向是把几个整式的乘积转化为多项式的形式，二者是互逆的变形过程。我们只需要分别判断两个式子左右两边的形式，对比定义就能得出结论。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
2. 整式乘法：将几个整式相乘，最终得到一个多项式的运算，是因式分解的逆过程。
对两个式子逐一分析：
式子①：左边是多项式$x - 3xy$，右边是$x$与$(1-3y)$两个整式的乘积，符合因式分解的定义，因此①是因式分解。
式子②：左边是$(x+3)$与$(x-1)$两个整式的乘积，右边是展开后的多项式$x^2 + 2x -3$，符合整式乘法的特征，因此②是乘法运算。
综上，①是因式分解，②是乘法运算，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式的乘法运算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是区分因式分解和整式乘法的变形方向，只要牢记两个概念的核心特征，就能快速判断，不易出错。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确因式分解和整式乘法的定义与区别：因式分解的变形方向是把多项式转化为几个整式乘积的形式，整式乘法的变形方向是把几个整式的乘积转化为多项式的形式，二者是互逆的变形过程。我们只需要分别判断两个式子左右两边的形式，对比定义就能得出结论。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
2. 整式乘法：将几个整式相乘，最终得到一个多项式的运算，是因式分解的逆过程。
对两个式子逐一分析：
式子①：左边是多项式$x - 3xy$，右边是$x$与$(1-3y)$两个整式的乘积，符合因式分解的定义，因此①是因式分解。
式子②：左边是$(x+3)$与$(x-1)$两个整式的乘积，右边是展开后的多项式$x^2 + 2x -3$，符合整式乘法的特征，因此②是乘法运算。
综上，①是因式分解，②是乘法运算，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的定义；整式的乘法运算
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是区分因式分解和整式乘法的变形方向，只要牢记两个概念的核心特征，就能快速判断，不易出错。
【难度系数】
0.8
3. $ax$，$bx^2$ 的公因式是
x
。答案
3. x
解析
【分析】
要确定两个单项式的公因式，需按照公因式的确定规则分步思考：第一步找两个单项式系数的最大公约数，第二步找两个单项式都含有的相同字母的最低次幂，最后将两部分相乘即可得到公因式。本题中两个单项式为$ax$和$bx^2$，首先看系数，$a$和$b$是不同的字母系数，无公共因式，因此系数部分的公因式为1；再看字母部分，两个式子都含有字母$x$，$x$的次数分别是1次和2次，取最低的1次，因此公因式为$1× x=x$。
【解析】
解：确定单项式公因式的步骤如下：
1. 确定系数部分的公因式：$ax$的系数为$a$，$bx^2$的系数为$b$，二者无公共的数字因式或公共字母因式，因此系数部分的公因式为1；
2. 确定字母部分的公因式：两个单项式中共同含有的字母是$x$，$x$在$ax$中的次数为1，在$bx^2$中的次数为2，取最低次幂，即$x^1=x$；
3. 合并系数与字母部分的公因式：$1× x=x$。
因此$ax$和$bx^2$的公因式是$x$。
【答案】
$x$
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 单项式的次数
【点评】
本题属于基础题，重点考查公因式的确定方法，熟练掌握“先找系数最大公约数，再找相同字母最低次幂”的找公因式步骤，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要确定两个单项式的公因式，需按照公因式的确定规则分步思考：第一步找两个单项式系数的最大公约数，第二步找两个单项式都含有的相同字母的最低次幂，最后将两部分相乘即可得到公因式。本题中两个单项式为$ax$和$bx^2$，首先看系数，$a$和$b$是不同的字母系数，无公共因式，因此系数部分的公因式为1；再看字母部分，两个式子都含有字母$x$，$x$的次数分别是1次和2次，取最低的1次，因此公因式为$1× x=x$。
【解析】
解：确定单项式公因式的步骤如下：
1. 确定系数部分的公因式：$ax$的系数为$a$，$bx^2$的系数为$b$，二者无公共的数字因式或公共字母因式，因此系数部分的公因式为1；
2. 确定字母部分的公因式：两个单项式中共同含有的字母是$x$，$x$在$ax$中的次数为1，在$bx^2$中的次数为2，取最低次幂，即$x^1=x$；
3. 合并系数与字母部分的公因式：$1× x=x$。
因此$ax$和$bx^2$的公因式是$x$。
【答案】
$x$
【知识点】
1. 公因式的确定
2. 单项式的次数
【点评】
本题属于基础题，重点考查公因式的确定方法，熟练掌握“先找系数最大公约数，再找相同字母最低次幂”的找公因式步骤，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
4. 分解因式：$xy - x =$
$x(y-1)$
.答案
4. $x(y-1)$
解析
【分析】
要对多项式$xy - x$分解因式，首先观察多项式的结构特征：该多项式共有两项，两项中都含有公共的因式$x$，因此选择提公因式法解题。第一步先确定各项的公因式为$x$；第二步将公因式提取出来，用原多项式的每一项分别除以公因式，得到剩余的因式，最后将公因式与剩余因式写成乘积形式即可，还要确认剩余因式不能再继续分解。
【解析】
解：观察多项式$xy - x$，可确定各项的公因式为$x$。
提取公因式$x$：
$xy - x = x· y - x· 1 = x(y - 1)$
剩余因式$y-1$无公因式，无法继续分解，即为最终分解结果。
【答案】
$x(y-1)$
【知识点】
提公因式法、公因式的确定
【点评】
本题是分解因式的基础题型，主要考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式时注意不要漏写原式中系数为$\pm1$的项。
【难度系数】
0.9
要对多项式$xy - x$分解因式，首先观察多项式的结构特征：该多项式共有两项，两项中都含有公共的因式$x$，因此选择提公因式法解题。第一步先确定各项的公因式为$x$；第二步将公因式提取出来，用原多项式的每一项分别除以公因式，得到剩余的因式，最后将公因式与剩余因式写成乘积形式即可，还要确认剩余因式不能再继续分解。
【解析】
解：观察多项式$xy - x$，可确定各项的公因式为$x$。
提取公因式$x$：
$xy - x = x· y - x· 1 = x(y - 1)$
剩余因式$y-1$无公因式，无法继续分解，即为最终分解结果。
【答案】
$x(y-1)$
【知识点】
提公因式法、公因式的确定
【点评】
本题是分解因式的基础题型，主要考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式时注意不要漏写原式中系数为$\pm1$的项。
【难度系数】
0.9
5. 利用因式分解计算：$539^2 - 439 × 539 =$
53900
.答案
5. 53900
解析
【分析】
观察算式的结构，发现两项中都含有公因式539，因此可以利用提公因式法先对式子进行因式分解，再计算结果，这种方法比直接计算乘方、乘法再做减法更简便，也能减少计算错误。解题时先提取公因式539，再计算括号内的减法，最后计算乘法即可得到最终结果。
【解析】
解：$539^2 - 439 × 539$
$= 539×(539 - 439)$
$= 539×100$
$= 53900$
【答案】
53900
【知识点】
提公因式法分解因式，因式分解的简便应用
【点评】
本题是利用因式分解简化计算的基础题，核心是准确识别式子中的公因式，通过提取公因式将复杂的混合运算转化为简单的乘法运算，有效降低计算难度。
【难度系数】
0.85
观察算式的结构，发现两项中都含有公因式539，因此可以利用提公因式法先对式子进行因式分解，再计算结果，这种方法比直接计算乘方、乘法再做减法更简便，也能减少计算错误。解题时先提取公因式539，再计算括号内的减法，最后计算乘法即可得到最终结果。
【解析】
解：$539^2 - 439 × 539$
$= 539×(539 - 439)$
$= 539×100$
$= 53900$
【答案】
53900
【知识点】
提公因式法分解因式，因式分解的简便应用
【点评】
本题是利用因式分解简化计算的基础题，核心是准确识别式子中的公因式，通过提取公因式将复杂的混合运算转化为简单的乘法运算，有效降低计算难度。
【难度系数】
0.85
6. $ax$，$ay$，$-ax$的公因式是________。
答案
6. a
解析
【分析】
要确定几个单项式的公因式，需按照公因式的确定步骤思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，并取该字母的最低次幂，两者的乘积就是这几个式子的公因式。观察本题的三个式子，先看系数：1、1、-1的最大公约数是1；再看字母：三个式子都含有的字母只有a，且a的次数都是1次，x仅在第一个和第三个式子出现，y仅在第二个式子出现，都不属于共有字母，因此公因式为a。
【解析】
公因式的确定规则：①取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；②取各项都含有的相同字母的最低次幂，作为公因式的字母部分，两部分相乘即为最终公因式。
对三个式子分别分析：
$ax$的系数为1，含字母$a$（1次）、$x$（1次）
$ay$的系数为1，含字母$a$（1次）、$y$（1次）
$-ax$的系数为-1，含字母$a$（1次）、$x$（1次）
系数部分：1、1、-1的最大公约数是1；
字母部分：三个式子共有的字母只有$a$，且$a$的最低次幂为1次；
因此公因式为$1× a=a$。
【答案】
$a$
【知识点】
公因式的确定、提公因式法
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查公因式的确定方法，只要熟练掌握找公因式的两个步骤，注意排查所有项共有的字母，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要确定几个单项式的公因式，需按照公因式的确定步骤思考：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，并取该字母的最低次幂，两者的乘积就是这几个式子的公因式。观察本题的三个式子，先看系数：1、1、-1的最大公约数是1；再看字母：三个式子都含有的字母只有a，且a的次数都是1次，x仅在第一个和第三个式子出现，y仅在第二个式子出现，都不属于共有字母，因此公因式为a。
【解析】
公因式的确定规则：①取各项系数的最大公约数作为公因式的系数；②取各项都含有的相同字母的最低次幂，作为公因式的字母部分，两部分相乘即为最终公因式。
对三个式子分别分析：
$ax$的系数为1，含字母$a$（1次）、$x$（1次）
$ay$的系数为1，含字母$a$（1次）、$y$（1次）
$-ax$的系数为-1，含字母$a$（1次）、$x$（1次）
系数部分：1、1、-1的最大公约数是1；
字母部分：三个式子共有的字母只有$a$，且$a$的最低次幂为1次；
因此公因式为$1× a=a$。
【答案】
$a$
【知识点】
公因式的确定、提公因式法
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查公因式的确定方法，只要熟练掌握找公因式的两个步骤，注意排查所有项共有的字母，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
