7.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，设阴影部分的面积为$S_1$，矩形ABCD的面积为$S_2$，求$\frac{S_2}{S_1}$的大小。第7题图

解：
∵ 矩形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心，
∴ △BOE与△DOF关于点O成中心对称，
∴ $S_{△ BOE}=S_{△ DOF}$。
∴ $S_1 = S_{△ BOE} + S_{△ COF} = S_{△ DOF} + S_{△ COF} = S_{△ BOC}$。
∵ 矩形的对角线将矩形分成4个面积相等的三角形，
∴ $S_{△ BOC}=\frac{1}{4}S_2$，即$S_1=\frac{1}{4}S_2$，
∴ $\frac{S_2}{S_1}=4$。

【分析】
解题时首先观察图形特征，阴影部分由两个分散的小三角形组成，直接求面积缺少边长等条件，因此考虑利用矩形的性质进行面积转化：首先矩形是中心对称图形，对角线交点O为对称中心，过对称中心的直线EF分割出的△BOE与△DOF关于O中心对称，二者面积相等，可将阴影部分的面积转化为单个三角形的面积，再结合矩形对角线将矩形分成4个面积相等的三角形的性质，即可得到$S_1$与$S_2$的比值关系。
【解析】
∵ 矩形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心，
∴ △BOE与△DOF关于点O成中心对称，
∴ $S_{△ BOE}=S_{△ DOF}$。
∴ $S_1 = S_{△ BOE} + S_{△ COF} = S_{△ DOF} + S_{△ COF} = S_{△ COD}$，
∵ 矩形的对角线将矩形分成4个面积相等的三角形，
∴ $S_{△ COD}=\frac{1}{4}S_2$，即$S_1=\frac{1}{4}S_2$，
∴ $\frac{S_2}{S_1}=\frac{S_2}{\frac{1}{4}S_2}=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1.中心对称图形性质
2.矩形的性质
3.等积转化求面积
【点评】
本题是典型的利用图形对称性求解面积比的题目，无需计算具体边长，通过中心对称性质将分散的阴影面积转化为规则的三角形面积即可快速求解，解题关键是准确识别矩形的对称中心，找到面积相等的可替换图形，是几何面积计算中常用的基础技巧。
【难度系数】
0.7

8.如图,在网格中黑色的四个小正方形是否关于某点成中心对称?如果是,指出对称中心.如果不是,请说明理由.

解：图中黑色的四个小正方形关于某点成中心对称，
对称中心是该4×4网格的正中心格点，即从上数第2行与第3行、从左数第2列与第3列的四条网格线的公共交点，也就是第二行第二列、第二行第三列、第三行第二列、第三行第三列这四个相邻小正方形的公共顶点。

【分析】
要判断四个黑色小正方形是否关于某点成中心对称，需依据中心对称的定义思考：若将图形绕某一点旋转180°后，旋转后的图形能与原图形完全重合，就说明它们关于该点成中心对称。我们可以先定位四个黑块的位置，先锁定网格正中心作为候选对称中心，再验证旋转180°后是否重合，也可以通过连接对应黑块的对应顶点，看所有连线的中点是否为同一个点，若存在这样的点，该点就是对称中心。
【解析】
1. 明确判定依据：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形关于这个点成中心对称，该点为对称中心。
2. 确定候选对称中心：候选点为4×4网格的正中心格点，即从上数第2行与第3行的水平网格线、从左数第2列与第3列的竖直网格线的公共交点。
3. 验证重合性：将四个黑色小正方形组成的整体绕上述点旋转180°，可发现原第2行第2列的黑块与第3行第3列的黑块重合，原第2行第4列的黑块与第3行第1列的黑块重合，旋转后的图形与原黑色图形完全重合，符合中心对称的定义。
【答案】
图中黑色的四个小正方形关于某点成中心对称，对称中心是该4×4网格的正中心格点，即从上数第2行与第3行、从左数第2列与第3列的四条网格线的公共交点，也就是第二行第二列、第二行第三列、第三行第二列、第三行第三列这四个相邻小正方形的公共顶点。
【知识点】
1. 中心对称的判定
2. 对称中心的确定
【点评】
本题是中心对称相关的基础应用题，核心是利用中心对称的定义判断图形的对称性，通过直观旋转或找对应点中点的方法就能解题，能有效巩固对中心对称概念的理解。
【难度系数】
0.7

9.过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两部分.

(1)如图①,直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O,则$S_{四边形AEFB}$ $S_{四边形DEFC}$(填“＞”“＜”或“=”);
(2)两个正方形按如图②所示摆放,O为小正方形对角线的交点,求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分;

(3)八个大小相同的正方形按如图③所示摆放,求作一条直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割).

解：
(1) $\boldsymbol{=}$
(2) 作出大正方形两条对角线的交点，即大正方形的对称中心，过点O与该对称中心作直线，该直线即可将整个图形分成面积相等的两部分。
(3) 三种分割方法如下：
方法1：将图形拆分为下方两行共6个小正方形组成的2×3矩形，与最上方一行2个小正方形组成的1×2矩形，分别确定两个矩形的对称中心，过两个对称中心作直线，即为所求。
方法2：将图形拆分为最左侧一列共2个小正方形组成的2×1矩形，与右侧6个小正方形组成的2×3矩形，分别确定两个矩形的对称中心，过两个对称中心作直线，即为所求。
方法3：将图形补全为3行3列共9个小正方形组成的大正方形，确定补全后大正方形的对称中心，以及补出的缺失小正方形的对称中心，过这两个对称中心作直线，即为所求。

【分析】
本题核心解题依据是中心对称图形的性质：过中心对称图形对称中心的任意直线都能平分该图形的面积。
(1) 首先明确平行四边形是中心对称图形，对角线交点O就是它的对称中心，过O的直线必然将平行四边形分为面积相等的两部分，直接判断大小即可。
(2) 组合图形由两个正方形组成，两个正方形都是中心对称图形，要平分整体面积，只需找到两个正方形各自的对称中心，过两个对称中心作直线，该直线会分别平分两个正方形的面积，因此整体面积也被平分。
(3) 对于不规则的8个正方形组合图形，可通过两种思路求解：一是分割法，将图形拆分为两个规则的中心对称图形，分别找对称中心连线；二是补全法，将图形补为规则的中心对称图形，找到补后图形的对称中心和补充部分的对称中心，两点连线即可平分原图形面积，三种方法对应不同的拆分或补全方式。
【解析】
(1)
∵平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O为其对称中心，直线m过对称中心O，
∴直线m将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，即$S_{四边形AEFB}=S_{四边形DEFC}$。
(2) 连接大正方形的两条对角线，两条对角线的交点就是大正方形的对称中心，过该点和小正方形的对称中心O作直线，这条直线即可分别平分大、小正方形的面积，因此将整个图形分成面积相等的两部分。
(3) 方法1：将原图形拆分为下方两行共6个小正方形组成的2×3矩形、最上方一行2个小正方形组成的1×2矩形，分别确定两个矩形的对称中心，过两个对称中心作直线，该直线平分两个矩形的面积，因此平分整个图形的面积。
方法2：将原图形拆分为最左侧一列共2个小正方形组成的2×1矩形、右侧6个小正方形组成的2×3矩形，分别确定两个矩形的对称中心，过两个对称中心作直线，即可平分整个图形的面积。
方法3：将原图形补全为3行3列共9个小正方形组成的大正方形，确定补全后大正方形的对称中心，以及补出的缺失小正方形的对称中心，过这两个对称中心作直线，该直线平分补后的大正方形面积，同时平分补充的小正方形面积，因此平分原图形的面积。
【答案】
(1) $\boldsymbol{=}$
(2) 作出大正方形两条对角线的交点，即大正方形的对称中心，过点O与该对称中心作直线，该直线即可将整个图形分成面积相等的两部分。
(3) 三种分割方法如下：
方法1：将图形拆分为下方两行共6个小正方形组成的2×3矩形，与最上方一行2个小正方形组成的1×2矩形，分别确定两个矩形的对称中心，过两个对称中心作直线，即为所求。
方法2：将图形拆分为最左侧一列共2个小正方形组成的2×1矩形，与右侧6个小正方形组成的2×3矩形，分别确定两个矩形的对称中心，过两个对称中心作直线，即为所求。
方法3：将图形补全为3行3列共9个小正方形组成的大正方形，确定补全后大正方形的对称中心，以及补出的缺失小正方形的对称中心，过这两个对称中心作直线，即为所求。
【知识点】
1.中心对称图形性质
2.对称中心确定
3.组合图形等积分割
【点评】
本题重点考察中心对称图形性质的灵活应用，解决组合图形等面积分割问题的核心是将不规则图形转化为规则的中心对称图形，利用“过两个对称中心的直线平分整体面积”的规律求解，能有效锻炼学生的图形转化能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.65