例1 圆是轴对称图形，每条经过的直线是圆的对称轴。
【思路导析】画圆分析。
【请你解答】。

解：圆心

【分析】
解题时先回忆轴对称图形及对称轴的相关概念：沿一条直线对折后，直线两侧部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线为对称轴。再结合圆的特征分析：圆上任意一点到圆心的距离都相等，若直线经过圆心，沿这条直线对折时，直线两侧的所有点都能找到关于直线对称的对应点，两侧部分完全重合，因此可得出圆的对称轴是经过圆心的直线。
【解析】
根据轴对称图形的定义，将圆沿任意一条经过圆心的直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，因此每条经过圆心的直线都是圆的对称轴。
【答案】
圆心
【知识点】
1. 圆的轴对称性 2. 轴对称图形的概念
【点评】
本题为基础概念题，重点考查对圆的轴对称性质的掌握，答题时需注意：圆的对称轴是直线，不要误填“直径”（直径是线段，不是直线），牢记核心性质即可轻松作答。
【难度系数】
0.9

例2 如图，CD是$\odot O$的直径，弦$AB ⊥ CD$，垂足为$E$，连接$BC$，$BD$.下列结论中不一定正确的是()

A.$AE=BE$
B.$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
C.$OE=DE$
D.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$

【思路导析】运用垂径定理来判定.
【请你解答】.

C

【分析】
本题考查垂径定理的应用，解题时先明确已知条件：CD是⊙O的直径，且CD垂直于弦AB，符合垂径定理的适用前提。接下来结合垂径定理的内容，逐一验证四个选项：垂径定理指出垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，据此可直接判断A、B、D三个选项的正确性；对于C选项，分析OE=DE成立的条件，判断是否有已知条件支撑该结论，即可得出答案。
【解析】
已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，根据垂径定理可得：
1. 直径CD平分弦AB，因此$AE=BE$，故A选项结论正确，不符合题意；
2. 直径CD平分弦AB所对的两条弧，因此$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，故B、D选项结论正确，不符合题意；
3. 对于C选项，题干未给出E是OD中点的相关条件，仅当AB处于特殊位置时$OE=DE$才成立，一般情况下该结论不一定成立，符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.垂径定理 2.圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查垂径定理的内容，解题时需注意审题，明确题目要求选择“不一定正确”的选项，避免因漏看题干要求选错答案。
【难度系数】
0.8

例3 如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝13 cm，O到AB的距离为5 cm，求弦AB的长。

【思路导析】作OC⊥AB，垂足为C，结合垂径定理和勾股定理求解。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 平行弦间的距离

解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，
由题意得OC = 5 cm。
根据垂径定理，可得AC = BC = $\frac{1}{2}$AB。
在Rt△AOC中，OA = 13 cm，OC = 5 cm，
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{cm}$，
∴ AB = 2AC = 2×12 = 24 cm。
答：弦AB的长为24 cm。

【分析】
要计算弦AB的长度，可结合垂径定理求解：先过圆心O作AB的垂线OC，根据垂径定理可知OC平分AB，因此只需算出半弦长AC的长度，再乘2即可得到AB的总长。辅助线构造出Rt△AOC后，已知斜边OA（圆的半径）和直角边OC（弦心距）的长度，利用勾股定理即可求出AC的长度，进而得到AB的长。
【解析】
过点O作OC⊥AB，垂足为C，
由题意得OC = 5 cm。
根据垂径定理，可得AC = BC = $\frac{1}{2}$AB。
在Rt△AOC中，OA = 13 cm，OC = 5 cm，
由勾股定理得：
$AC = \sqrt{OA^2 - OC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{cm}$，
∴ AB = 2AC = 2×12 = 24 cm。
【答案】
弦AB的长为24 cm
【知识点】
垂径定理、勾股定理、弦长计算
【点评】
本题是圆中线段计算的基础典型题，解题核心是通过作弦心距构造直角三角形，将弦长、半径、弦心距的数量关系转化为直角三角形的三边关系求解，该方法是圆内线段计算的常用思路。
【难度系数】
0.85

例4 在直径为50 cm的圆中,弦AB为40 cm,弦CD为48 cm,且AB//CD,求AB与CD之间的距离.
【探究点拨】运用分类讨论的思想:①弦AB,CD在圆心O的同侧;②弦AB,CD在圆心O的两侧.
【规范解答】如图,过点O作OM⊥AB,垂足为M,交CD于点N.
∵ AB//CD,OM⊥AB,
∴ ON⊥CD.
在Rt△BMO中,BO=25.
由垂径定理,得
$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20.$
$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{25^2-20^2}=15.$
同理可求得 $ON = \sqrt{OC^2-CN^2} = \sqrt{25^2-24^2}=7.$
即 $MN=OM-ON=15-7=8$,
或 $M'N=OM'+ON=15+7=22.$
∴ AB 与 CD 之间的距离为 8 cm 或 22 cm.

解：
过点O作OM⊥AB，垂足为M，交CD于点N。
∵ AB//CD，OM⊥AB，
∴ ON⊥CD。
由题意得圆的半径为$\frac{50}{2}=25\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OBM中，OB=25 cm，
由垂径定理，得
$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得
$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{25^2-20^2}=15\ \mathrm{cm}$。
同理，由垂径定理得$CN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×48=24\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得
$ON=\sqrt{OC^2-CN^2}=\sqrt{25^2-24^2}=7\ \mathrm{cm}$。
分两种情况：
① 当弦AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为$MN=OM-ON=15-7=8\ \mathrm{cm}$；
② 当弦AB、CD在圆心O的两侧时，AB与CD的距离为$MN=OM+ON=15+7=22\ \mathrm{cm}$。
答：AB与CD之间的距离为8 cm或22 cm。

【分析】
要求两条平行弦AB与CD之间的距离，首先过圆心作两条弦的垂线，利用垂径定理可分别得到两条弦长的一半，再结合圆的半径，通过勾股定理算出圆心到两条弦的距离；由于两条平行弦的位置不确定，需要分类讨论：①两条弦在圆心的同侧，此时两弦距离为两个弦心距的差；②两条弦在圆心的两侧，此时两弦距离为两个弦心距的和，两种情况分别计算即可得到结果。
【解析】
过点O作OM⊥AB，垂足为M，交CD于点N。
∵ AB//CD，OM⊥AB，
∴ ON⊥CD。
由题意得圆的半径为$\frac{50}{2}=25\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OBM中，OB=25 cm，
由垂径定理，得$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{25^2-20^2}=15\ \mathrm{cm}$。
同理，由垂径定理得$CN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×48=24\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得$ON=\sqrt{OC^2-CN^2}=\sqrt{25^2-24^2}=7\ \mathrm{cm}$。
分两种情况：
① 当弦AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为$MN=OM-ON=15-7=8\ \mathrm{cm}$；
② 当弦AB、CD在圆心O的两侧时，AB与CD的距离为$MN=OM+ON=15+7=22\ \mathrm{cm}$。
【答案】
AB与CD之间的距离为8 cm或22 cm
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题是圆中平行弦距离的典型问题，核心是结合垂径定理与勾股定理计算弦心距，解题时需注意平行弦与圆心的位置关系有两种，避免因漏考虑情况导致少解。
【难度系数】
0.6

1.如图，半径为5的$\odot P$与y轴交于点$M(0,-4)$，$N(0,-10)$，求点P的坐标。

解：过点P作PA⊥y轴于点A，连接PM。
∵ M(0,-4)，N(0,-10)，
∴ MN = |-4 - (-10)| = 6。
根据垂径定理，得 $MA = \frac{1}{2}MN = 3$，
∴ 点A的纵坐标为 $-4 - 3 = -7$，即点P的纵坐标为-7。
∵ ⊙P的半径为5，∴ PM = 5。
在Rt△PMA中，由勾股定理得：
$PA = \sqrt{PM^2 - MA^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
由图可知点P在y轴左侧，点P的横坐标为-4。
∴ 点P的坐标为$(-4, -7)$。

【分析】
要求圆心P的坐标，可结合圆的性质和坐标系特征逐步推导：首先，MN是$\odot P$的弦，根据垂径定理，过圆心作弦的垂线，垂足会平分弦，因此过P作$PA⊥ y$轴，A即为MN的中点，可先求出A点的纵坐标，也就是P点的纵坐标；其次，已知$\odot P$的半径，即$PM=5$，在$Rt△ PMA$中，已知PM和MA的长度，用勾股定理可求出PA的长度，PA就是P点到y轴的距离，再结合P在y轴左侧确定横坐标的符号，即可得到P点坐标。
【解析】
过点P作$PA⊥ y$轴于点A，连接PM。
∵ $M(0,-4)$，$N(0,-10)$，
∴ $MN = |-4 - (-10)| = 6$。
根据垂径定理，得 $MA = \frac{1}{2}MN = 3$，
∴ 点A的纵坐标为 $-4 - 3 = -7$，即点P的纵坐标为-7。
∵ $\odot P$的半径为5，
∴ $PM = 5$。
在$Rt△ PMA$中，由勾股定理得：
$PA = \sqrt{PM^2 - MA^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
由图可知点P在y轴左侧，点P的横坐标为-4。
∴ 点P的坐标为$(-4, -7)$。
【答案】
$(-4,-7)$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；坐标与图形性质
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础常考题，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，结合垂径定理得到线段长度后用勾股定理计算，解题时要注意结合图形判断坐标的符号，避免出错。
【难度系数】
0.7