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1.方程$(x-2)(x+3)=0$的根是(
A.2
B.$-3$
C.$-2,3$
D.$2,-3$
D
).A.2
B.$-3$
C.$-2,3$
D.$2,-3$
答案
1. D
2. 解方程 $x(x - 5) + 2(x - 5) = 0$，最适当的方法是(
A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法
B
).A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法
答案
2. B
3. 方程 $x(x - 2) = x$ 的根是
0或3
.答案
3. 0或3
4. 用适当的方法解下列方程：
(1) $(3x - 2)^2 = x^2$；
(2) $(x + 1)(x - 1) + 2(x + 3) = 8$；
(3) $\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$；
(4) $4x(x - \frac{5}{2}) = 8$。
(1) $(3x - 2)^2 = x^2$；
(2) $(x + 1)(x - 1) + 2(x + 3) = 8$；
(3) $\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$；
(4) $4x(x - \frac{5}{2}) = 8$。
答案
4. 解 (1)根据平方根的意义,得$3x-2=\pm x$,$3x-2=x$,或$3x-2=-x$,即$x_1=1,x_2=\frac{1}{2}$.
(2)整理,得$x^2+2x-3=0$.左边分解因式,得$(x+3)(x-1)=0$.于是$x+3=0$,或$x-1=0$,即$x_1=-3,x_2=1$.
(3)移项,得$\frac{1}{2}x^2-x=1$.二次项系数化为1,得$x^2-2x=2$.配方,得$x^2-2x+1^2=2+1^2$,$(x-1)^2=3$.由此可得$x-1=\pm\sqrt{3}$,$x_1=1+\sqrt{3}$,$x_2=1-\sqrt{3}$.
(4)方程化为$2x^2-5x-4=0$,此时$a=2,b=-5,c=-4$,所以$\Delta =b^2-4ac=(-5)^2-4×2×(-4)=57＞0$.方程有两个不相等的实数根$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{57}}{2×2}=\frac{5\pm\sqrt{57}}{4}$,即$x_1=\frac{5+\sqrt{57}}{4}$,$x_2=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$.
(2)整理,得$x^2+2x-3=0$.左边分解因式,得$(x+3)(x-1)=0$.于是$x+3=0$,或$x-1=0$,即$x_1=-3,x_2=1$.
(3)移项,得$\frac{1}{2}x^2-x=1$.二次项系数化为1,得$x^2-2x=2$.配方,得$x^2-2x+1^2=2+1^2$,$(x-1)^2=3$.由此可得$x-1=\pm\sqrt{3}$,$x_1=1+\sqrt{3}$,$x_2=1-\sqrt{3}$.
(4)方程化为$2x^2-5x-4=0$,此时$a=2,b=-5,c=-4$,所以$\Delta =b^2-4ac=(-5)^2-4×2×(-4)=57＞0$.方程有两个不相等的实数根$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{57}}{2×2}=\frac{5\pm\sqrt{57}}{4}$,即$x_1=\frac{5+\sqrt{57}}{4}$,$x_2=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$.
5.若实数$k,b$是一元二次方程$(x+3)(x-1)=0$的两个根，且$k＜b$，则一次函数$y=kx+b$的图象不经过(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
).A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
5. C 解析
∵实数$k,b$是一元二次方程$(x+3)(x-1)=0$的两个根,且$k＜b$，
∴$k=-3,b=1$，
∴一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、第二、第四象限,不经过第三象限.故选C.
∵实数$k,b$是一元二次方程$(x+3)(x-1)=0$的两个根,且$k＜b$，
∴$k=-3,b=1$，
∴一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、第二、第四象限,不经过第三象限.故选C.
6. 对于非零实数$a$，$b$，定义新运算，规则如下：$a * b = b^2 - ab$，则等式$6 * x = 7$中$x$的值为(
A.1或−7
B.−1或7
C.−1
D.−7
B
).A.1或−7
B.−1或7
C.−1
D.−7
答案
6. B 解析
∵$a * b = b^2 - ab$,$6 * x = 7$，
∴$x^2-6x=7$，
∴$x^2-6x-7=0$，
∴$(x+1)(x-7)=0$，
∴$x+1=0$,或$x-7=0$，
∴$x_1=-1,x_2=7$.故选B.
∵$a * b = b^2 - ab$,$6 * x = 7$，
∴$x^2-6x=7$，
∴$x^2-6x-7=0$，
∴$(x+1)(x-7)=0$，
∴$x+1=0$,或$x-7=0$，
∴$x_1=-1,x_2=7$.故选B.
7.等腰三角形的两边长分别是方程$x^2 -10x +21=0$的两个根，则这个三角形的周长为(
A.17或13
B.13或21
C.17
D.13
C
).A.17或13
B.13或21
C.17
D.13
答案
7. C 解析
∵$x^2-10x+21=0$，
∴$(x-3)(x-7)=0$，解得$x_1=3,x_2=7$.当等腰三角形的三边长是3,3,7时,$3+3＜7$,不符合三角形的三边关系,舍去；当等腰三角形的三边长是7,7,3时,符合三角形的三边关系,此时这个三角形的周长是$7+7+3=17$.故选C.
∵$x^2-10x+21=0$，
∴$(x-3)(x-7)=0$，解得$x_1=3,x_2=7$.当等腰三角形的三边长是3,3,7时,$3+3＜7$,不符合三角形的三边关系,舍去；当等腰三角形的三边长是7,7,3时,符合三角形的三边关系,此时这个三角形的周长是$7+7+3=17$.故选C.
8. 若一元二次方程$x^2+mx+n=0$和$x^2+nx+m=0$（$m,n$为常数，且$m≠n$）有且只有一个公共解，则$m+n$的值为
-1
。答案
8. -1 解析 设两方程的公共解为$x_0$,则$\begin{cases}x_0^2+mx_0+n=0,\\x_0^2+nx_0+m=0,\end{cases}$得$(m-n)(x_0-1)=0$，因为$m≠n$，即$m-n≠0$，所以$x_0-1=0$，即$x_0=1$.把$x_0=1$代入上述方程,得$m+n=-1$.
9. 阅读下面材料,然后解答问题.
解方程$(x^2 -6)^2 -(x^2 -6)-2=0$.
解:设$x^2 -6 = m$,则原方程变形为
$m^2 -m -2=0$.
左边分解因式,得$(m-2)(m+1)=0$,
于是$m-2=0$,或$m+1=0$.
解得$m_1=2,m_2=-1$,
即$x^2 -6=2$,或$x^2 -6=-1$.
解得$x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2},x_3=\sqrt{5},x_4=-\sqrt{5}$.
请参考上述方法,解下列方程:
(1)$x^4 -5x^2 +6=0$;
(2)$x^2 +3x -\sqrt{x^2 +3x} -2=0$.
解方程$(x^2 -6)^2 -(x^2 -6)-2=0$.
解:设$x^2 -6 = m$,则原方程变形为
$m^2 -m -2=0$.
左边分解因式,得$(m-2)(m+1)=0$,
于是$m-2=0$,或$m+1=0$.
解得$m_1=2,m_2=-1$,
即$x^2 -6=2$,或$x^2 -6=-1$.
解得$x_1=2\sqrt{2},x_2=-2\sqrt{2},x_3=\sqrt{5},x_4=-\sqrt{5}$.
请参考上述方法,解下列方程:
(1)$x^4 -5x^2 +6=0$;
(2)$x^2 +3x -\sqrt{x^2 +3x} -2=0$.
答案
9. 解 (1)设$x^2=t$,则原方程可变形为$t^2-5t+6=0$,
∴$(t-2)(t-3)=0$,
∴$t=2$,或$t=3$,即$x^2=2$,或$x^2=3$.
∴$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{3},x_4=-\sqrt{3}$.
(2)设$\sqrt{x^2+3x}=y(y≥0)$,则$x^2+3x=y^2$,原方程可化为$y^2-y-2=0$,
∴$(y-2)(y+1)=0$,
∴$y=2$,或$y=-1$(舍去),即$\sqrt{x^2+3x}=2$,则$x^2+3x=4$,
∴$x^2+3x-4=0$,
∴$(x+4)(x-1)=0$,
∴$x_1=-4,x_2=1$.
∴$(t-2)(t-3)=0$,
∴$t=2$,或$t=3$,即$x^2=2$,或$x^2=3$.
∴$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{3},x_4=-\sqrt{3}$.
(2)设$\sqrt{x^2+3x}=y(y≥0)$,则$x^2+3x=y^2$,原方程可化为$y^2-y-2=0$,
∴$(y-2)(y+1)=0$,
∴$y=2$,或$y=-1$(舍去),即$\sqrt{x^2+3x}=2$,则$x^2+3x=4$,
∴$x^2+3x-4=0$,
∴$(x+4)(x-1)=0$,
∴$x_1=-4,x_2=1$.
