一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $
$(a≠0)$的两个实数根为$x_1,x_2$，那么$x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_, x_1x_2 = \_\_\_\_\_\_.$

$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$

典例1 已知关于$x$的方程$x^2 -4x + m=0$的一个根是$-2$，则它的另一个根是，$m$的值是。
举一反三 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx -6=0$的一个根是$2$，则方程的另一个根是。

另一个根是6，m的值是-12；举一反三的另一个根是-3

典例2 设$x_1,x_2$是一元二次方程$2x^2+4x=3$的两个根，利用根与系数的关系求下列代数式的值：
(1)$(x_1+1)(x_2+1)$；
(2)$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$；
(3)$(x_1 - x_2)^2$。

解 方程的一般形式为$2x^2+4x-3=0$,
此时$a=2,b=4,c=-3$,
$\therefore \Delta =b^2-4ac=4^2-4×2×(-3)=40＞0,\therefore$方程有两个不相等的实数根.
$\therefore x_1+x_2=-\dfrac{4}{2}=-2,x_1x_2=-\dfrac{3}{2}.$
(1)$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+(x_1+x_2)+1=-\dfrac{3}{2}+(-2)+1=-\dfrac{5}{2}.$
(2)$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2)=-\dfrac{3}{2}×(-2)=3.$
(3)$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(-2)^2-4×(-\dfrac{3}{2})=10.$

举一反三 已知方程$x^2 + 3x -1=0$的两个实数根分别为$α,β$,不解方程求下列各式的值:
(1)$α^2 + β^2$；
(2)$α^3β + αβ^3$；
(3)$\frac{β}{α} + \frac{α}{β}$；
(4)$(α -1)(β -1)$。

解 $\because α,β$ 是方程 $x^2 + 3x -1=0$ 的两个实数根，
$\therefore α+β=-3,αβ=-1.$
(1)$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=(-3)^2-2×(-1)=11.$
(2)$α^3β+αβ^3=αβ(α^2+β^2)=(-1)×11=-11.$
(3)$\dfrac{β}{α}+\dfrac{α}{β}=\dfrac{α^2+β^2}{αβ}=\dfrac{11}{-1}=-11.$
(4)$(α-1)(β-1)=αβ-(α+β)+1=(-1)-(-3)+1=3.$