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基础知识·预习
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，那么它有多少条对称轴？
问题2 平分弦的直径一定平分弦所对的两条弧吗？
问题3 垂径定理的应用与我们之前学过的哪个定理关联最大？
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，那么它有多少条对称轴？
问题2 平分弦的直径一定平分弦所对的两条弧吗？
问题3 垂径定理的应用与我们之前学过的哪个定理关联最大？
答案
1. 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
2. 不一定。当被平分的弦是直径时，两条互相平分的直径不一定互相垂直，此时无法平分该弦所对的两条弧，只有被平分的弦不是直径时，平分弦的直径才一定平分弦所对的两条弧。
3. 垂径定理的应用与勾股定理关联最大，通常结合垂径定理得到的半弦长、弦心距、圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理完成相关长度的计算。
2. 不一定。当被平分的弦是直径时，两条互相平分的直径不一定互相垂直，此时无法平分该弦所对的两条弧，只有被平分的弦不是直径时，平分弦的直径才一定平分弦所对的两条弧。
3. 垂径定理的应用与勾股定理关联最大，通常结合垂径定理得到的半弦长、弦心距、圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理完成相关长度的计算。
解析
【分析】
1. 解决问题1时，先回忆轴对称图形的定义：平面内沿一条直线对折，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。结合圆的特征，沿任意一条直径所在直线对折，圆的两部分都能完全重合，而圆有无数条直径，即可推导得出对称轴数量，同时注意对称轴是直线，不能错误表述为直径是对称轴。
2. 解决问题2时，先回忆垂径定理的推论内容：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。需要考虑特殊情况：如果被平分的弦本身是直径，那么任意两条直径都互相平分，但不一定互相垂直，此时就无法平分弦所对的弧，因此要分情况判断结论是否成立。
3. 解决问题3时，先回忆垂径定理的应用特征：过圆心作弦的垂线，会得到由半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，直角三角形边长计算最常用的就是勾股定理，即可得出关联最大的定理。
【解析】
问题1：根据轴对称图形的定义判断，将圆沿任意一条直径所在的直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形；由于圆有无数条直径，因此它有无数条对称轴，所有直径所在的直线都是它的对称轴。
问题2：根据垂径定理的推论，平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，且平分弦所对的两条弧；若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定互相垂直，此时无法平分该弦所对的两条弧，因此该结论不一定成立。
问题3：垂径定理应用时，可构造出由半弦长、弦心距、圆的半径组成的直角三角形，这类直角三角形的边长计算通常需要用勾股定理求解，因此和勾股定理关联最大。
【答案】
1. 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
2. 不一定。当被平分的弦是直径时，两条互相平分的直径不一定互相垂直，此时无法平分该弦所对的两条弧，只有被平分的弦不是直径时，平分弦的直径才一定平分弦所对的两条弧。
3. 垂径定理的应用与勾股定理关联最大，通常结合垂径定理得到的半弦长、弦心距、圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理完成相关长度的计算。
【知识点】
轴对称图形的定义，垂径定理及推论，勾股定理
【点评】
这三道题是圆相关的基础概念辨析题，重点考查对圆的轴对称性、垂径定理推论的理解，以及垂径定理的应用思路，是后续解决圆中弦、弧相关计算问题的基础，学习时要注意区分概念中的易错点，不要遗漏推论里“被平分的弦不是直径”的前提条件。
【难度系数】
0.8
1. 解决问题1时，先回忆轴对称图形的定义：平面内沿一条直线对折，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。结合圆的特征，沿任意一条直径所在直线对折，圆的两部分都能完全重合，而圆有无数条直径，即可推导得出对称轴数量，同时注意对称轴是直线，不能错误表述为直径是对称轴。
2. 解决问题2时，先回忆垂径定理的推论内容：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。需要考虑特殊情况：如果被平分的弦本身是直径，那么任意两条直径都互相平分，但不一定互相垂直，此时就无法平分弦所对的弧，因此要分情况判断结论是否成立。
3. 解决问题3时，先回忆垂径定理的应用特征：过圆心作弦的垂线，会得到由半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，直角三角形边长计算最常用的就是勾股定理，即可得出关联最大的定理。
【解析】
问题1：根据轴对称图形的定义判断，将圆沿任意一条直径所在的直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形；由于圆有无数条直径，因此它有无数条对称轴，所有直径所在的直线都是它的对称轴。
问题2：根据垂径定理的推论，平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，且平分弦所对的两条弧；若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定互相垂直，此时无法平分该弦所对的两条弧，因此该结论不一定成立。
问题3：垂径定理应用时，可构造出由半弦长、弦心距、圆的半径组成的直角三角形，这类直角三角形的边长计算通常需要用勾股定理求解，因此和勾股定理关联最大。
【答案】
1. 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
2. 不一定。当被平分的弦是直径时，两条互相平分的直径不一定互相垂直，此时无法平分该弦所对的两条弧，只有被平分的弦不是直径时，平分弦的直径才一定平分弦所对的两条弧。
3. 垂径定理的应用与勾股定理关联最大，通常结合垂径定理得到的半弦长、弦心距、圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理完成相关长度的计算。
【知识点】
轴对称图形的定义，垂径定理及推论，勾股定理
【点评】
这三道题是圆相关的基础概念辨析题，重点考查对圆的轴对称性、垂径定理推论的理解，以及垂径定理的应用思路，是后续解决圆中弦、弧相关计算问题的基础，学习时要注意区分概念中的易错点，不要遗漏推论里“被平分的弦不是直径”的前提条件。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】如图,两个圆都以点O为圆心,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.
(1)求证:AC=BD.
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.
(1)【证明】如图,过点O作OE⊥AB,垂足为E.
∴CE=DE,AE=BE.
∴AE−CE=BE−DE,即AC=BD.
(2)【解】如图,连接OC,OA.
由(1)可知,OE⊥AB,且OE⊥CD,
∴OE=6.
∴CE=√(OC²−OE²)=√(8²−6²)=2√7,AE=√(OA²−OE²)=√(10²−6²)=8.
∴AC=AE−CE=8−2√7.
(1)求证:AC=BD.
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.
(1)【证明】如图,过点O作OE⊥AB,垂足为E.
∴CE=DE,AE=BE.
∴AE−CE=BE−DE,即AC=BD.
(2)【解】如图,连接OC,OA.
由(1)可知,OE⊥AB,且OE⊥CD,
∴OE=6.
∴CE=√(OC²−OE²)=√(8²−6²)=2√7,AE=√(OA²−OE²)=√(10²−6²)=8.
∴AC=AE−CE=8−2√7.
答案
(1) 证明：
过点O作$OE ⊥ AB$，垂足为E。
∵ 两圆的圆心均为点O，$OE ⊥ AB$，
由垂径定理可得：$CE=DE$，$AE=BE$。
∴ $AE - CE = BE - DE$，
即 $AC=BD$。
---
(2) 解：
连接$OA$，$OC$。
由(1)可知$OE ⊥ AB$，根据题意得$OE=6$，$OA=R=10$，$OC=r=8$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中：
$AE=\sqrt{OA^2 - OE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{8^2 - 6^2}=2\sqrt{7}$
∴ $AC=AE - CE=8 - 2\sqrt{7}$。
最终$AC$的长为$\boldsymbol{8-2\sqrt{7}}$。
过点O作$OE ⊥ AB$，垂足为E。
∵ 两圆的圆心均为点O，$OE ⊥ AB$，
由垂径定理可得：$CE=DE$，$AE=BE$。
∴ $AE - CE = BE - DE$，
即 $AC=BD$。
---
(2) 解：
连接$OA$，$OC$。
由(1)可知$OE ⊥ AB$，根据题意得$OE=6$，$OA=R=10$，$OC=r=8$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中：
$AE=\sqrt{OA^2 - OE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{8^2 - 6^2}=2\sqrt{7}$
∴ $AC=AE - CE=8 - 2\sqrt{7}$。
最终$AC$的长为$\boldsymbol{8-2\sqrt{7}}$。
解析
【分析】
(1) 要证明AC=BD，可利用垂径定理处理圆中弦的等分问题：过圆心作弦AB的垂线，根据垂径定理，该垂线会同时平分大圆的弦AB和小圆的弦CD，得到AE=BE、CE=DE，通过线段的差运算即可推导出AC=BD。
(2) 要求AC的长，由(1)可知AC=AE-CE，连接OA、OC可构造出Rt△OAE和Rt△OCE两个直角三角形，已知两圆半径和圆心O到AB的距离，分别用勾股定理求出AE和CE的长度，作差即可得到AC的长度。
【解析】
(1) 证明：
过点O作$OE ⊥ AB$，垂足为E。
∵ 两圆的圆心均为点O，$OE ⊥ AB$，
由垂径定理可得：$CE=DE$，$AE=BE$。
∴ $AE - CE = BE - DE$，
即 $AC=BD$。
(2) 解：
连接$OA$，$OC$。
由(1)可知$OE ⊥ AB$，根据题意得$OE=6$，$OA=R=10$，$OC=r=8$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中：
$AE=\sqrt{OA^2 - OE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{8^2 - 6^2}=2\sqrt{7}$
∴ $AC=AE - CE=8 - 2\sqrt{7}$。
【答案】
(1) AC=BD，证明成立；
(2) $AC$的长为$\boldsymbol{8-2\sqrt{7}}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
这是圆中弦长相关的基础题型，核心考查垂径定理的应用，过圆心作弦的垂线是解决这类问题的常用辅助线，结合勾股定理即可快速求出相关线段的长度，需熟练掌握该辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明AC=BD，可利用垂径定理处理圆中弦的等分问题：过圆心作弦AB的垂线，根据垂径定理，该垂线会同时平分大圆的弦AB和小圆的弦CD，得到AE=BE、CE=DE，通过线段的差运算即可推导出AC=BD。
(2) 要求AC的长，由(1)可知AC=AE-CE，连接OA、OC可构造出Rt△OAE和Rt△OCE两个直角三角形，已知两圆半径和圆心O到AB的距离，分别用勾股定理求出AE和CE的长度，作差即可得到AC的长度。
【解析】
(1) 证明：
过点O作$OE ⊥ AB$，垂足为E。
∵ 两圆的圆心均为点O，$OE ⊥ AB$，
由垂径定理可得：$CE=DE$，$AE=BE$。
∴ $AE - CE = BE - DE$，
即 $AC=BD$。
(2) 解：
连接$OA$，$OC$。
由(1)可知$OE ⊥ AB$，根据题意得$OE=6$，$OA=R=10$，$OC=r=8$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中：
$AE=\sqrt{OA^2 - OE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中：
$CE=\sqrt{OC^2 - OE^2}=\sqrt{8^2 - 6^2}=2\sqrt{7}$
∴ $AC=AE - CE=8 - 2\sqrt{7}$。
【答案】
(1) AC=BD，证明成立；
(2) $AC$的长为$\boldsymbol{8-2\sqrt{7}}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
这是圆中弦长相关的基础题型，核心考查垂径定理的应用，过圆心作弦的垂线是解决这类问题的常用辅助线，结合勾股定理即可快速求出相关线段的长度，需熟练掌握该辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.75
